4. Twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych

RMCAMCGGRHG2Z

W naszej praktyce szkolnej, terminologia związana z twierdzeniem Talesa jest stosowana wyłącznie do badania związków miarowych między odcinkami utworzonymi na ramionach kąta przez proste równoległe.

Są jednak kraje, w których postać Talesa przywoływana jest częściej.

Zachowały się przekazy o tym, że już Egipcjanie i Babilończycy wiedzieli, że kąt wpisany rozpięty na średnicy okręgu jest prosty, jednak to Talesowi przypisuje się pierwszy zapisany dowód tego twierdzenia. Nie dziwi więc fakt, że w niektórych krajach nazwa „twierdzenie Talesa” jest używana także w odniesieniu do tego szczególnego przypadku związku między kątem środkowym i wpisanym.

RS8M6TKRONXTD

Grafika przedstawia okrąg, w który wpisany jest trójkąt. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Wierzchołki trójkąta to kolejno: A, B, C. Wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu. Bok AB oraz linia łącząca wierzchołek C z środkiem okręgu mają kolor niebieski. Kąt pomiędzy bokiem AB i bokiem AC jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy bokiem AC a odcinkiem OC jest również podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy bokiem AB i bokiem BC jest podpisany literą beta. Kąt pomiędzy bokiem BC i odcinkiem OC jest również podpisany

Twoje cele

Poznasz zależność między kątami wpisanym i środkowym opartymi na tym samym łuku.
Udowodnisz twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.
Zbadasz zależności między kątami wpisanymi opartymi na tym samym i na równych łukach.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

Zapoznaj się z apletem i sprawdź, jaki jest związek kąta środkowego z kątem wpisanym. Na podstawie obserwacji sformułuj twierdzenie.

R1X3R5GEV2V53

Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Dowód

Rozważymy trzy różne przypadki, w zależności od położenia kąta wpisanego względem środka okręgu, które wyczerpują wszystkie wzajemne położenia środka okręgu i kąta wpisanego w tym okręgu.

Przypadek 1.

Przypuśćmy, że średnica okręgu zawiera się w jednym z ramion kąta wpisanego, jak na rysunku.

R1UAO36Z8NVK2

Grafika przedstawia okrąg, 4 punkty: A, B, C, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, że punkty B, O, C leżą w jednej linii i tworzą średnicę okręgu. Kąt pomiędzy odcinkiem AB i odcinkiem BC jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem OC jest podpisany literą beta.

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Zauważmy, że $β$ jest kątem zewnętrznym w trójkącie równoramiennym $A O B$ , w którym $|∡ A B O| = |∡ B A O| = α$ .

Miara kąta zewnętrznego w trójkącie jest równa sumie miar dwóch kątów do niego nieprzyległych, czyli $β = 2 α$ , co należało wykazać.

Przypadek 2.

Przypuśćmy, że środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego, jak na rysunku.

R4BSXEZ74F1KJ

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Poprowadźmy średnicę o końcu w punkcie $B$ .

Dzieli ona kąty: wpisany i środkowy na kąty odpowiednio: $α_{1}$ , $α_{2}$ oraz $β_{1}$ , $β_{2}$ , jak na rysunku.

R1N1R1K2NLZ9T

Grafika przedstawia okrąg, 5 punktów: A, B, C, D, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, że punkty B, C leżą poniżej środka okręgu, natomiast punkt A znajduje się powyżej środka okręgu. Punkt D znajduje się na okręgu pomiędzy punktem A oraz C. Przez punkt B, O oraz poprowadzona jest średnica okręgu. Kąt pomiędzy odcinkiem BC i odcinkiem BD jest podpisany literą alfa dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkiem AB i odcinkiem BD jest podpisany literą alfa dolny indeks 2. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a odcinkiem OD jest podpisany literą beta dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem OD jest podpisany literą beta dolny indeks 2.

Zauważmy, że do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $C D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną już w Przypadku 1. Wtedy $β_{1} = 2 α_{1}$ .

Podobnie, do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $A D$ , możemy zastosować udowodnioną już zależność. Wtedy $β_{2} = 2 α_{2}$ .

Ale $β = β_{1} + β_{2} = 2 α_{1} + 2 α_{2} = 2 \cdot (α_{1} + α_{2}) = 2 α$ , co należało wykazać.

Przypadek 3.

Pozostaje rozważyć sytuację, gdy środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego, jak na rysunku.

R9JO5G1TAEP2B

Kąt środkowy $β$ i kąt wpisany $α$ są oparte na łuku $A C$ .

Poprowadźmy średnicę o końcu w punkcie $B$ .

Tworzy ona z ramieniem $B C$ kąta wpisanego oraz z ramieniem $O C$ kąta środkowego odpowiednio kąty: wpisany $α_{1}$ oraz środkowy $β_{1}$ , jak na rysunku.

RQ22RECTXJJOR

Zauważmy, że do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $C D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną już w Przypadku 1. Wtedy $β_{1} = 2 α_{1}$ .

Podobnie, do kątów: wpisanego i środkowego, opartych na łuku $A D$ , możemy zastosować zależność udowodnioną w Przypadku 1. Wtedy $β + β_{1} = 2 \cdot (α + α_{1})$ .

Ale $β = (β + β_{1}) - β_{1} = 2 \cdot (α + α_{1}) - 2 α_{1} = 2 α$ , co należało wykazać.

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest twierdzenie Talesa o kącie wpisanym.

Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym

Kąt wpisany rozpięty na średnicy okręgu jest prosty, jako kąt dwa razy mniejszy od kąta półpełnego, czyli kąta środkowego rozpiętego na tej średnicy.

RwhQfMtkU4XgK

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O. W okręgu wykreślono średnicę. Zaznaczono kąt 180 stopni, który wyznacza średnica. W drugiej połowie okręgu zaznaczono trzy kąty oparte na średnicy o wierzchołkach na okręgu. Każdy z tych kątów ma miarę 90 stopni.

Pozostaje sformułować wniosek, który stanowi nie tylko uzupełnienie dowodu poprawności wcześniejszej konstrukcji, ale jest ważnym narzędziem w rozwiązywaniu zadań z planimetrii.

Twierdzenie o kątach wpisanych

Twierdzenie: Twierdzenie o kątach wpisanych

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Dowód

Zauważmy, że dany łuk $A B$ jednoznacznie wyznacza kąt środkowy. Z kolei istnieje wiele kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, ale miara każdego z tych kątów jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego, tym samym te miary są sobie równe (patrz rysunek).

RPZBJHO23E3EQ

Grafika przedstawia okrąg, 6 punktów: A, B, C dolny indeks 1, C dolny indeks 2, C dolny indeks 3, O oraz łączące je odcinki. Środek okręgu jest oznaczony literą O. Pozostałe punkty leżą na okręgu. Część okręgu pomiędzy punktem A i punktem B jest zaznaczona na kolor fioletowy. Kąt pomiędzy odcinkami AO i OB jest zaznaczony literą beta. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 1,A oraz C dolny indeks 1, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 1. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 2,A oraz C dolny indeks 2, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 2. Kąt pomiędzy odcinkami: C dolny indeks 3,A oraz C dolny indeks 3, B jest podpisany literą alfa dolny indeks 3.

Twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg

Twierdzenie: Twierdzenie o kątach wpisanych w okrąg

Kąty wpisane w dany okrąg, oparte na dwóch łukach o równej długości, są sobie równe.

Dowód

Popatrzmy na rysunek.

R141K24SAEMMC

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest zaznaczony literą O. Na okręgu znajdują się punkty: R, S, Q, P. Przy czym punkty fragment okręgu pomiędzy punktami R i S ma kolor fioletowy, oraz fragment okręgu znajdujący się pomiędzy punktami Q i P również ma kolor fioletowy. Punkty wyznaczają następujące odcinki: RO, SO, QO oraz PO. Kąt pomiędzy odcinkami RO i SO jest podpisany literą beta. Kąt pomiędzy odcinkami QO i PO jest również podpisany literą beta. Wewnątrz okręgu zaznaczone zostały jeszcze dwa kąty, w taki sposób, że wierzchołki tych kątów leżą na okręgu, kąty te popisane są literą alfa. Ramiona pierwszego kąta alfa są wyznaczone przez wierzchołek, znajdujący się na okręgu oraz punkt R oraz punkt S. Ramiona drugiego kąta alfa są wyznaczone przez wierzchołek znajdujący się na okręgu oraz punkt Q i punkt P. — Kąty oparte na równych łukach

Rozważmy łuki $P Q$ i $R S$ o równej długości.

Wtedy kąty środkowe oparte na tych łukach mają taką samą miarę – oznaczmy ją $β$ .

Ale każdy z kątów wpisanych opartych odpowiednio na łukach $P Q$ i $R S$ jest połową kąta środkowego, czyli ma miarę $α = \frac{β}{2}$ , co należało wykazać.

Przykład 1

Jeśli kąt wpisany ma miarę $β = 23 °$ , to kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę $α = 2 \cdot 23 ° = 46 °$ .

Przykład 2

Kąt wpisany i kąt środkowy oparte są na tym samym łuku okręgu, a suma ich miar wynosi $120 °$ . Oblicz miarę kąta wpisanego.

Rozwiązanie

Oznaczmy miarę kąta wpisanego przez $α$ , wówczas miara kąta środkowego opartego na tym samym łuku okręgu jest równa $2 α$ . Mamy zatem:
$α + 2 α = 120 °$ ,
$α = 40 °$ .

Odpowiedź: Kąt wpisany ma miarę równą $40 °$ .

Przykład 3

Pokażemy zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym w okręgu. Przyjmijmy, że na okręgu wyznaczono łuki $A B$ i $B C$ . Kąty środkowe oparte na tych łukach mają odpowiednio miary $50 °$ i $70 °$ . Wyznaczymy miary kątów trójkąta $A B C$ .

Popatrzmy na rysunek ilustrujący dane z zadania.

RDNZNLPMLQT9G

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest zaznaczony literą O. Na okręgu znajdują się punkty: A, B, C, które tworzą trójkąt w kolorze różowym. Odcinki AO, BO oraz CO są zaznaczone linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość 50 stopni. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a odcinkiem BO ma wartość 70 stopni.

Dwa spośród kątów trójkąta to kąty oparte odpowiednio na tych samych łukach, co dane kąty środkowe.

Zatem $|∡ A C B| = \frac{1}{2} \cdot 50 ° = 25 °$ oraz $|∡ B A C| = \frac{1}{2} \cdot 70 ° = 35 °$ .

Z bilansu kątów trójkąta wynika, że $|∡ A B C| = 180 ° - 35 ° - 25 ° = 120 °$ .

Oczywiście, trzeci z kątów trójkąta można też wyznaczyć, jako kąt wpisany oparty na tym łuku o końcach $A$ , $C$ do którego nie należy punkt $B$ – kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę $360 ° - 70 ° - 50 ° = 240 °$ , a kąt wpisany jest dwa razy mniejszy.

Przykład 4

Punkty: $K, L, M, N$ są czterema kolejnymi wierzchołkami piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg o środku $O$ . Oblicz sumę miar mniejszego z kątów środkowych $N O K$ oraz kąta wpisanego $N L M$ .

Rozwiązanie

Wierzchołki piętnastokąta foremnego dzielą okrąg na piętnaście przystających łuków. Kąt środkowy, oparty na każdym z takich łuków, ma miarę $\frac{360 °}{15} = 24 °$ . Stąd miara mniejszego z kątów środkowych $N O K$ wynosi:
$3 \cdot 24 ° = 72 °$
Kąt wpisany $N L M$ jest oparty na piętnastej części okręgu, czyli ma miarę równą:
$\frac{1}{2} \cdot 24 ° = 12 °$ .

Odpowiedź: Suma miar mniejszego z kątów środkowych $N O K$ i kąta wpisanego $N L M$ jest równa $84 °$ .

Aplet

Polecenie 1

Uruchom Aplet. Naciśnij przycisk: „ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY KĄTAMI” i wybierz jeden z łuków okręgu, klikając wskaźnikiem. Zmieniaj położenie punktów $A$ , $B$ lub $C$ i zapisz miary kątów: środkowego i wpisanego dla kilku różnych położeń punktu $C$ . Wybierz następnie przycisk „DOWÓD” i przeanalizuj pojawiające się oznaczenia kątów.

Zapoznaj się z opisem apletu.

RLHPPJ45X27PR

Polecenie 2

Wciśnij przycisk „ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY KĄTAMI”. Na podstawie obserwacji miar kątów wpisanego i środkowego, opartych na tym samym łuku, sformułuj twierdzenie o zależności między miarami kąta środkowego i kąta wpisanego.

R1A5XD4Z5F9JC

Polecenie 3

Wciśnij przycisk „DOWÓD”. Uzasadnij, dlaczego przy ustalonym oznaczeniu miary kąta $A C B$ , jako $α$ , można kątowi $O B C$ także przypisać miarę $α$ , a kątom $C O B$ i $A O B$ odpowiednio miary $180 ° - 2 α$ oraz $2 α$ .

R1V94C3P6O8HT

Prezentacja multimedialna

Zapoznaj się ze sposobami rozwiązywania zadań przedstawionymi w poniżej prezentacji, a następnie rozwiąż poniższe polecenia.

Zapoznaj się ze sposobami rozwiązywania zadań przedstawionymi poniżej, a następnie rozwiąż dalsze polecenia.

RFJhnOlrmip2W

Zadanie pierwsze
W pięciokącie foremnym $A B C D E$ poprowadzono przekątne $A C$ i $E C$ . Wyznacz miary kątów ostrych $B C A$ oraz $A C E$ oraz $E C D$ . Polecenie zilustrowano rysunkiem pięciokąta foremnego. Środek figury oznaczono punktem $O$ .
Rozwiązanie
Naszym zadaniem jest znaleźć miary kątów $α$ , $β$ i $γ$ przestawionych na rysunku. Rysunek przedstawia pięciokąt foremny $A B C D E$ . W środku figury zaznaczono punkt $O$ . Narysowano przekątne $C E$ oraz $A C$ . Zaznaczono trzy kąty: $D C E$ to kąt $α$ , kąt $E C A$ to kąt $β$ oraz kąt $A C B$ to kąt $γ$ . Opiszmy okrąg na danym pięciokącie foremnym. Wówczas kąty $α$ , $β$ i $γ$ są kątami równymi. Są to bowiem kąty wpisane, z których każdy oparty jest na piątej części okręgu. Na rysunku pokazano, że kąt $α$ , kąt $D C E$ oparty jest na łuku $D E$ , kąt $β$ , czyli kąt $E C A$ oparty jest na łuku $E A$ oraz kąt $γ$ , czyli kąt $A C B$ oparty jest na łuku $A B$ . Ponieważ kąt środkowy oparty na piątej części okręgu ma miarę $\frac{360 °}{15} = 72 °$ , więc na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie otrzymujemy: $α = β = γ = \frac{72 °}{2} = 36 °$ .
Ilustracja przedstawia pary kątów: para zielona to kąt wpisany $α$ , czyli kąt $D C E$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $D O E$ o mierze $72$ stopni, para kątów pomarańczowych to kąt wpisany $β$ , czyli kąt $E C A$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $E O A$ o mierze $72$ stopni, para kątów niebieskich to kąt wpisany $γ$ , czyli kąt $A C B$ oraz kąt środkowy opisany na tym samym łuku, czyli kąt $A O B$ o mierze $72$ stopni.
Odpowiedź: Miara każdego z kątów $A C B$ , kąta $A C E$ oraz $E C D$ jest równa $36$ stopni.

Zadanie drugie
Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ leżą w tej kolejności na okręgu przy czym punkty $A$ , $B$ , $D$ , $F$ są wierzchołkami kwadratu, natomiast punkty $A$ , $C$ , $E$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Oblicz miarę kąta $B E C$ .
Rysunek przedstawia okrąg o środku w punkcie $O$ . Na górnym biegunie okręgu zaznaczono punkt $A$ . Na dolnym półokręgu zaznaczono w równych odległościach punkty od $B$ do $F$ w taki sposób, że punkt $D$ leży naprzeciwko punktu $A$ . W okręgu linią przerywaną poprowadzono kilka cięciw. Cztery z nich utworzyły kwadrat $A B D F$ . Kolejne cięciwy to $A C$ oraz $A E$ . Kolorem wyróżniono kąt wpisany $B E C$ .
Rozwiązanie:
Krótszy łuk $A C$ jest trzecią częścią danego okręgu, a krótszy łuk $A B$ jest jego czwartą częścią. Zatem kąt wpisany $B E C$ jest oparty na łuku, który stanowi jedną dwunastą okręgu.
Odpowiedź: Miara kąta $B E C$ jest równa $\frac{1}{12} \cdot 180 ° = 15 °$ .

Zadanie trzecie
Kąt wpisany oparty na łuku $A B C$ ma miarę 70 stopni. Ile wynosi miara kąta opartego na łuku $A D C$ ?
Rozwiązanie:
Kąt środkowy oparty na pomarańczowym łuku ma miarę $140$ stopni na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartym na tym samym łuku. Wobec tego miara kąta środkowego opartego na łuku $A D C$ jest równa $220$ stopni, ponieważ razem z kątem $140$ stopni tworzą tworzą kąt pełny. Kąt wpisany oparty na łuku $A D C$ ma więc miarę $110$ stopni.
Odpowiedź: Kąt wpisany oparty na łuku zielonym ma miarę $110$ stopni.

Polecenie 4

Jaka jest odległość środka przeciwprostokątnej $B C$ w trójkącie prostokątnym $A B C$ od wierzchołka $A$ , jeśli wiadomo, że $|A B| = \sqrt{11}$ oraz $|A C| = \sqrt{5}$ ?

Odległość środka przeciwprostokątnej $B C$ w trójkącie prostokątnym $A B C$ od wierzchołka $A$ wynosi $2$ .

Polecenie 5

Oblicz miarę kąta środkowego, jeśli wiadomo, że oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma miarę $75 °$ .

Miara kąta środkowego wynosi $150 °$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rl9HLPInwyDnS

R1XHkdj2VkRMe

Ćwiczenie 2

Na okręgu wyznaczono łuki $A B$ i $B C$ . Kąty środkowe oparte na tych łukach mają odpowiednio miary $124 °$ i $92 °$ . Wyznacz miary kątów trójkąta $A B C$ .

Oto ilustacja do zadania.

RPOUAENQZQF77

Grafika przedstawia okrąg, w który wpisany jest trójkąt. Środek okręgu jest podpisany literą O. Wierzchołki trójkąta, kolejno: A, B, C leżą na okręgu. Trójkąt ma kolor różowy. Odcinki AO, BO oraz CO są narysowane linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość 124 stopnie. Kąt pomiędzy odcinkiem CO a BO ma wartość 92 stopnie.

Zauważ, że kąt $A C B$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $A O B$ oraz kąt $C A B$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $B O C$ . Wykorzystaj twierdzenie o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku.

Popatrzmy na rysunek ilustrujący dane z zadania.

RPOUAENQZQF77

Kąt $A C B$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $A O B$ , zatem $|∡ A C B| = \frac{1}{2} \cdot 124 ° = 62 °$ .

Analogicznie kąt $C A B$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy $B O C$ , zatem $|∡ B A C| = \frac{1}{2} \cdot 92 ° = 46 °$ .

Z bilansu kątów trójkąta wynika, że $|∡ A B C| = 180 ° - 62 ° - 46 ° = 72 °$ .

Ćwiczenie 3

Jedna z cięciw zawartych w ramionach kąta wpisanego w okrąg i opartego na półokręgu ma długość równą promieniowi tego okręgu. Oblicz miarę kąta wpisanego, jaki tworzy ta cięciwa ze średnicą, na której rozpięty jest półokrąg.

Zauważmy, że kąt wpisany opary na półokręgu jest kątem prostym.

Zatem cięciwa oraz średnica są bokami utworzonego trójkąta prostokątnego, w którym dwa boki mają się do siebie tak, jak $2 r : r = 2 : 1$ .

Jest to cecha charakterystyczna trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Pozostaje zauważyć, że szukanym kątem jest kąt o mierze $60 °$ .

Ćwiczenie 4

Z jednego z wierzchołków ośmiokąta foremnego poprowadzono trzy przekątne, które są jednocześnie cięciwami okręgu opisanego na tym ośmiokącie, jak na rysunku.

R32RH9A2R8AFR

Rysunek przedstawia okrąg, w który wpisany jest ośmiokąt foremny A B C D E F G H. W okręgu poprowadzono następujące cięciwy: F G, F H, F A oraz F B. Poza tym wszystkie boki ośsmiokąta również można określić jako cięciwy okręgu. Na rysunku zaznaczono kąty ograniczone cięciwami. Są to kolejno: G F H opisany jako BETA, H F A opisany jako GAMMA oraz A F B opisany jako BETA.

R1OPOJD1C5BPV

Korzystając tylko z zależności poznanych na lekcji (nie stosując twierdzenia o związku między kątem wpisanym i środkowym) uzasadnić, że kąty alfa, BETA i GAMMA mają równe miary.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.
Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. Warto zauważyć, ze względu na symetrię ośmiokąta, że wszystkie kąty wpisane, oparte na krótszych łukach wyznaczonych przez kolejne boki ośmiokąta, mają równe miary., 2. Ponadto, odcinek B F jest średnicą okręgu, na której rozpięty jest kąt wpisany B A F., 3. Wyznaczymy w kolejności miary kątów alfa, BETA i GAMMA., 4. Pozostaje zauważyć, że trójkąty A B F i F G B są przystającymi trójkątami prostokątnymi., 5. Stąd BETA, równa się, początek ułamka, sto osiemdziesiąt stopni, minus, sto trzydzieści pięć stopni, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni., 6. Stąd GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni, minus, dwa, razy, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, sześćdziesiąt siedem przecinek pięć stopni, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni., 7. Odcinek B F jest osią symetrii ośmiokąta i dwusieczną kąta wewnętrznego A B C, dlatego miara kąta A B F jest równa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, sto trzydzieści pięć stopni., 8. Zatem kąt B A F jest kątem prostym., 9. Miarę kąta wewnętrznego wielokąta foremnego opisuje wzór: początek ułamka, n, minus, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, razy, sto osiemdziesiąt stopni., 10. Dlatego kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego ma miarę sto trzydzieści pięć stopni., 11. Zatem alfa, plus, BETA, plus, GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, czyli GAMMA, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, BETA, minus, dwa alfa., 12. Trójkąt F G H jest równoramienny, a kąt F G H jest kątem wewnętrznym ośmiokąta. Zatem dwa BETA, plus, sto trzydzieści pięć stopni, równa się, sto osiemdziesiąt stopni., 13. Stąd alfa, równa się, dziewięćdziesiąt stopni, minus, miara kąta, kąt A B F, koniec miary kąta, równa się, dwadzieścia dwa przecinek pięć stopni.

R9D73XXS34BDA3

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i cięciwa $A B$ tego okręgu. Na okręgu wyznaczono taki punkt $C$ , że $2 \cdot |∡ A O B| = |∡ A C B|$ . Wyznacz miarę kąta $A O B$ .

Przyjrzyj się ilustacji prezentującej treść zadania.

RG4TMXZBDVJPT

Grafika przedstawia okrąg. Środek okręgu jest podpisany literą O. Punkty: A, B, C leżą na okręgu, w taki sposób, ze punkt C znajduje się pomiędzy punktem A i punktem B. Odcinki AO i BO są narysowane linią przerywaną. Kąt pomiędzy odcinkiem AO a odcinkiem BO ma wartość jest podpisany literą alfa. Kąt pomiędzy odcinkiem

Zauważ, że kąt $A C B$ jest oparty na łuku, który jest dopełnieniem do całego okręgu tego łuku, na którym oparty jest kąt środkowy $A O B$ , jak zostało to przedstawione na rysunku.

Kąt $A O B$ jest kątem środkowym w danym okręgu, a kąt $A C B$ jest kątem wpisanym.

Oczywiście nie jest możliwe, aby były oparte na tym samy łuku.

Zatem kąt $A C B$ jest oparty na łuku, który jest dopełnieniem do całego okręgu tego łuku, na którym oparty jest kąt środkowy $A O B$ , jak na rysunku.

RG4TMXZBDVJPT

Oznaczmy przez $α$ miarę kąta $A O B$ . Wtedy mamy: $2 α = \frac{1}{2} \cdot (360 ° - α)$ .

Stąd $α = 72 °$ .

R5O3SDT58J9BU2

Ćwiczenie 7

RFPRA2KKQK9RH

R1B493G5AC6MH2

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Okrąg o średnicy $B C$ przecina bok $A B$ trójkąta $A B C$ w punkcie $D$ , jak na rysunku.

R1ZS88RG5T4LL

Grafika przedstawia okrąg oraz trójkąt. Na okręgu zaznaczone są 3 punkty: B, C, D. Poza okręgiem, z lewej strony znajduje się punkt A. Wierzchołki trójkąta to punkty A, B i C, przy czym Punkt D leży na odcinku AB. Długość odcinka AC to 15. Długość odcinka AB to 14, długość odcinka BC to 13.

Długości boków trójkąta są odpowiednio równe: $|A B| = 14$ , $|A C| = 15$ , $|B C| = 13$ . Oblicz długość odcinka $A D$ .

Zauważ że kąt wpisany $B D C$ , jako rozpięty na średnicy okręgu, jest kątem prostym. Oznacza to, że ocinek $C D$ jest wysokością tego trójkąta i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa do tych trójkątów.

Oznaczmy długość odcinka $A D$ przez $x$ .

Kąt wpisany $B D C$ , jako rozpięty na średnicy okręgu jest kątem prostym, zatem trójkąty $B D C$ i $A D C$ są prostokątne.

Zatem: $x^{2} + {|C D|}^{2} = 15^{2}$ oraz ${(14 - x)}^{2} + {|C D|}^{2} = 13^{2}$ .

Odejmując stronami oba równania otrzymujemy: $x^{2} - {(14 - x)}^{2} = 15^{2} - 13^{2}$ , czyli $28 x - 196 = 225 - 169$ .

Stąd $x = 9$ .

Ćwiczenie 10

Na niewspółliniowych odcinkach $A B$ i $B C$ , jako na średnicach, wykreślono dwa okręgi. Okręgi te przecinają się w punkcie $D \neq B$ (patrz rysunek).

RBJF5JU9VNR6A

Grafika przedstawia dwa okręgi. Okręgi nachodzą na siebie. Miejsca przecięcia okręgów są zaznaczone punktami B i D. Na mniejszym okręgu znajduje się punkt A. Na większym okręgu znajduje się punkt C. W mniejszym okręgu został narysowany odcinek AB. W większym okręgu narysowany został odcinek BC.

RHT1XQTBG76N1

Słownik

okrąg

okręgiem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny odległych od punktu $O$ o dany odcinek $r$

koło

kołem o środku $O$ i promieniu $r$ nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest nie większa niż $r$

łuk okręgu

łukiem okręgu nazywamy każdą z dwóch części, na które dzielą okrąg dwa różne punkty leżące na tym okręgu, wraz z tymi punktami

cięciwa okręgu

cięciwą okręgu nazywamy odcinek, którego końce są różnymi punktami leżącymi na tym okręgu

rozmiar kątowy

rozmiar kątowy, inaczej odległość kątowa $θ$ , pomiędzy dwoma obiektami, to kąt, którego ramionami są promienie „wychodzące z oka obserwatora” i przechodzące przez te obiekty; miarą takiej odległości są stopnie i jego części: minuty i sekundy

3. Pole koła. Pole wycinka koła

5. Wzajemne położenie prostej i okręgu