4. Wykresy wybranych funkcji

R18AJKZ55VVR8

Wykresy są nieodzownym elementem życia codziennego. Spotykamy je na każdym kroku. Ilustrują różne zależności. Wykorzystywane są w statystyce, biologii, geografii, fizyce, chemii, finansach.

RzPFAIuieatFL

Ilustracja przedstawia dziewczynkę i chłopca stojących przy tablicy i patrzących na to, co jest na niej zapisane i narysowane. Na tablicy zapisano wzór funkcji f od x równa się 2 przez x. Obok wzoru narysowano układ współrzędnych bez jednostek. W układzie narysowano wykres tej funkcji, będący hiperbolą o ramionach znajdujących się w pierwszej i w trzeciej ćwiartce układu.

W prognozie pogody często spotykamy się z wykresem przedstawiającym zależność temperatury powietrza od godziny pomiaru. Statystyka często posługuje się wykresami ilustrującymi np. zmiany liczby mieszkańców danego miasta na przestrzeni lat. W fizyce wiele zjawisk jest przedstawianych na wykresach. Np. droga w ruchu jednostajnym, zależność współczynnika aktywności gazów rzeczywistych od ciśnienia i temperatury. Chemia posługuje się wykresami między innymi do określania rozpuszczalności substancji w zależności od temperatury. Przykładów zastosowania wykresów w życiu codziennym i w różnych dziedzinach nauki można przytaczać bardzo dużo.

Twoje cele

Opiszesz funkcję za pomocą wykresu, gdy dana funkcja przedstawiona jest za pomocą wzoru, opisu słownego, zbioru par uporządkowanych lub tabelki.
Opiszesz funkcję za pomocą wzoru, tabelki, opisu słownego lub zbioru par uporządkowanych, gdy dany jest jej wykres.
Opiszesz funkcję określoną różnymi wzorami w różnych przedziałach.
Sporządzisz wykres funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach.
Odczytasz z wykresu funkcji, opisanej różnymi wzorami w różnych przedziałach, zbiór wartości funkcji.

Jednym ze sposobów opisywania funkcji liczbowej jest wykres.

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

Czy każdy dowolnie wybrany zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji?

Odpowiedź na to pytanie znajdziesz, analizując Przykład $1$ .

Przykład 1

Na rysunkach przedstawione są zbiory punktów w układzie współrzędnych, które nie są wykresami funkcji zmiennej $x$ . Dlaczego?

RRi0Aa1RM916V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -4 do 4 oraz z pionową osią Y od -3 do 4. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwie półproste. Półprosta po lewej stronie przechodzi przez punkt -2;312, a jej koniec leży w punkcie 1;3. Półprosta po prawej stronie ma swój koniec w punkcie 1;-1 i przechodzi przez punkt 112;0.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 1$ przyporządkowane są dwie liczby: $(- 1)$ oraz $3$ .

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

RbpIZhjQToFX4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -4 do 4 oraz z pionową osią Y od -3 do 4. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji przypominający odbicie lustrzane litery S. Na wykresie oznaczono kilka punktów. Ich współrzędne to: 1;3, 1;12, 1;-2.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 1$ przyporządkowane są trzy liczby: $(- 2)$ , $\frac{1}{2}$ , $3$ .

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

RVAn5Oiwc0Ie5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -3 do 4 oraz z pionową osią Y od -3 do 4. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta przecinająca oś X w punkcie 2.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 2$ przyporządkowano nieskończenie wiele różnych liczb rzeczywistych.

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

Ważne!

Z powyższego przykładu wynika, że:

zbiór punktów w prostokątnym układzie współrzędnych jest wykresem funkcji tylko wtedy, gdy każda prosta równoległa do osi $Y$ ma z danym zbiorem nie więcej, niż jeden punkt wspólny.

W jaki sposób rysujemy wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji? Pomogą nam to zrozumieć poniższe przykłady.

Przykład 2

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} + x - 6$ , gdzie $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Narysujemy wykres tej funkcji i odczytamy z wykresu współrzędne punktów wspólnych wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wykonamy obliczenia wartości funkcji $f$ , a następnie opiszemy tę funkcję za pomocą tabelki.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + (- 4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + (- 3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + (- 2) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4$

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + (- 1) - 6 = 1 - 1 - 6 = - 6$

$f (0) = 0^{2} + 0 - 6 = - 6$

$f (1) = 1^{2} + 1 - 6 = - 4$

$f (2) = 2^{2} + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$

$f (3) = 3^{2} + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$

$f (4) = 4^{2} + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14$

Dziedzina funkcji oraz zbiór wartości funkcji	Wartości
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$6$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6$	$- 4$	$0$	$6$	$14$

Wykres funkcji jest następujący:

R1D7tzvCxbsQh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -8 do 8 oraz z pionową osią Y od -6 do 15. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty o współrzędnych: 4;14, 3;6, -4;6, 2;0, -3;0, 1;-4; -2;-4, 0;-6, -1;-6.

Wykres funkcji ma z osią $Y$ jeden punkt wspólny. Jest to punkt o współrzędnych $(0, - 6)$ . Z osią $X$ ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(2, 0)$ .

Po uważnej analizie powyższego przykładu możemy zauważyć, że:

Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $Y$ tylko wtedy, gdy $0 \in D_{f}$ . Współrzędne tego punktu są równe $(0, f (0))$ .
Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $X$ tylko wtedy, gdy istnieje argument $x_{0}$ , dla którego funkcja liczbowafunkcja liczbowafunkcja liczbowa $f$ przyjmuje wartość $0$ . Współrzędne tego punktu są równe $(x_{0}, 0)$ .

Wiedząc, że prosta prostopadła do osi $X$ może mieć z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny, odpowiedzmy na pytanie:

ile punktów wspólnych może mieć wykres funkcji z osią $X$ , a ile z osią $Y$ ?

Odpowiedź:

Wykres funkcji może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią $Y$ , a z osią może mieć wiele punktów wspólnych.

Dotychczas rysowaliśmy wykresy funkcji, których dziedzina była zbiorem skończonym. W jaki sposób narysować wykres funkcji, której dziedzina nie jest zbiorem skończonym? Pomogą nam w tym kolejne przykłady.

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest słownie.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ , takiej, że $x \in ⟨- 9, 9⟩$ przyporządkowuje wartość bezwzględną sumy połowy liczby $x$ i liczby $3$ . Narysuj wykres tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zapiszemy wzór tej funkcji.

$f (x) = |\frac{1}{2} x + 3|$

Zbudujemy tabelkę częściową tej funkcji.

Naniesiemy na wykres wyznaczone punkty i połączymy je odcinkami, ponieważ dziedziną funkcji jest nie zbiór punktów, a przedział.

Dziedzina funkcji oraz zbiór wartości funkcji	Wartości
$x$	$- 9$	$- 8$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$8$	$9$
$f (x)$	$1 \frac{1}{2}$	$1$	$1$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$3 \frac{1}{2}$	$4$	$7$	$7 \frac{1}{2}$

R1F1zrWD78ASA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -9 do 9 oraz z pionową osią Y od -2 do 9. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji składający się z dwóch odcinków o jednym wspólnym końcu. Odcinki przypominają kształt haczyka. Odcienk położony na leo ma początek w punkcie -9;12 i koniec w punkcie -6;0. Koniec ten jest wspólny z drugim odcinkiem, którego drugi koniec jest w punkcie 9;152. Na wykresie oprócz wymienionych końców, zaznaczone są punkty o współrzędnych: -8;1, -4;1, -1;52, 0;3, 1;72, 2;4, 8;7.

Przykład 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \sqrt{x} - 2$ , $x \in (0, 4) \cup \{9\}$ .

Narysuj wykres tej funkcji. Czy wykres funkcji ma punkty wspólne z osiami układu współrzędnych? Jeśli tak, odczytaj współrzędne tych punktów.

Rozwiązanie:

Przed narysowaniem wykresu opisujemy tę funkcję za pomocą częściowego zbioru par uporządkowanych.

${$ $(\frac{1}{4}; - 1 \frac{1}{2})$ , $(\frac{9}{16}; - 1 \frac{1}{4})$ , $(1; - 1)$ , $(1,44; - 0,8)$ , $(1,69; - 0,7)$ , $(1,96; - 0,6)$ , $(2,25; - 0,5)$ , $(9; 1)$ $}$

RQrsK2FbX0UBQ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -1 do 9 oraz z pionową osią Y od -3 do 2. Na płaszczyźnie narysowany jest wklęsły wykres funkcji składający się z wymienionych w zadaniu punktów. Funkcja ograniczona jest puntami: 0;-2 oraz 4;0. Punkty te standardowo są puste w środku (niezamalowane). Sam wykres ma kształt wygięty w stronę początku układu współrzędnych. Do wykresu należy też odizolowany punkt w współrzędnych 9;1 zaznaczony na płaszczyźnie.

Wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych.

Funkcje liczbowefunkcja liczbowaFunkcje liczbowe można opisywać wzorem zapisanym za pomocą kilku wyrażeń w różnych przedziałach. W jaki sposób należy rysować wtedy wykres tak opisanej funkcji? Odpowiedź na to pytanie uzyskamy po przeanalizowaniu poniższych przykładów.

Przykład 5

Naszkicujmy wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcja ta ma swoją nazwę. Jest to funkcja signum, sgn (łac. signum „znak”).

$f (x) = \{\begin{cases} 1, & dla x > 0 \\ 0, & dla x = 0 \\ - 1, & dla x < 0 \end{cases}$

R1MwiiYVrunbc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do zera funkcja jest stała i przyjmuje wartość minus 1. Wykresem jest pozioma półprosta otwarta ograniczona prawostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych 0;-1. Następnym elementem wykresu jest zamalowany punkt o współrzędnych 0;0. Dalej funkcja jest stała i przyjmuje wartość 1 od zera do plus nieskończoności. Część wykresu na tym przedziale jest poziomą otwartą półprostą ograniczoną od lewej strony punktem 0;1.

Przykład 6

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ .

$f (x) = \{\begin{cases} x + 2, & dla x \in (- \infty, 1) \\ 3, & dla x \in ⟨1, 3⟩ \\ - x + 6, & dla x \in (3, \infty) \end{cases}$

Odczytamy z rysunku współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru wyrażonego trzema wyrażeniami. W celu narysowania wykresu wykonamy odpowiednie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę częściową wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wyrażeniem i dla kilku argumentów należących do pierwszego przedziału.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f_{} (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

$f_{} (- 3) = - 3 + 2 = - 1$

$f_{} (- 2) = - 2 + 2 = 0$

$f_{} (- 1) = - 1 + 2 = 1$

$f_{} (0) = 0 + 2 = 2$

Druga część wykresu nie wymaga tabelki. Dla każdego argumentu $x$ , takiego, że $x \in ⟨1, 3⟩$ funkcja ma stałą wartość równą trzy.

Dla argumentów należących do trzeciego przedziału wykonamy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f_{} (x)$	$2$	$1$	$0$	$- 1$

$f_{} (4) = - 4 + 6 = 2$

$f_{} (5) = - 5 + 6 = 1$

$f_{} (6) = - 6 + 6 = 0$

$f_{} (7) = - 7 + 6 = - 1$

Na podstawie wyznaczonych współrzędnych, szkicujemy wykres funkcji.

Rx4GEh3NbQXGz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do jeden funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x odjąć dwa. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta o końcu w punkcie 1;3. Wykres funkcji przechodzi w tej części przez wyróżnione punkty -2;0 oraz 0;2. Druga część wykresu znajduje się w przedziale od jeden do trzy. W tym przedziale składową wykresu jest poziomy odcinek o końcach 1;3 oraz 3;3, tu funkcja jest stała i jest opisana wzorem y równa się trzy. W trzecim przedziale, czyli od trzech do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 6 odjąć x. W tym przedziale składowa wykres jest ukośną półprostą o końcu w punkcie 3;3. Półprosta przechodzi przez wyróżniony punkt 6;0.

Korzystając z wykresu odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z osią $X$ – są to punkty o współrzędnych $(- 2, 0)$ i $(6, 0)$ .

Z osią $Y$ wykres funkcji ma jeden punkt wspólny o współrzędnych $(0, 2)$ .

Przykład 7

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ .

$f (x) = \{\begin{cases} x, & dla x \in (- \infty, - 2) \\ {(x + 1)}^{2}, & dla x \in \{- 2, - 1, 0\} \\ - x + 3, & dla x \in (0, \infty) \end{cases}$

Odczytamy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Czy wykres funkcji jest linią ciągłą?

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest wzorem zapisanym za pomocą trzech wyrażeń. W celu narysowania wykresu funkcji wykonamy dwie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wzorem i argumentów należących do pierwszego przedziału.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 3$
$f_{} (x)$	$- 4$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 3$

Funkcja opisana drugim wzorem jest określona dla trzech argumentów.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f_{} (x)$	$1$	$0$	$1$

$f_{} (- 2) = {(- 2 + 1)}^{2} = {(- 1)}^{2} = 1$

$f_{} (- 1) = {(- 1 + 1)}^{2} = 0$

$f_{} (0) = {(0 + 1)}^{2} = 1$

Dla argumentów należących do przedziału trzeciego wykonujemy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$\frac{1}{2}$	$2$	$3 \frac{1}{2}$	$4$
$f_{} (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$1$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$

$f_{} (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 3 = 2 \frac{1}{2}$

$f_{} (2) = - 2 + 3 = 1$

$f_{} (3 \frac{1}{2}) = - 3 \frac{1}{2} + 3 = - \frac{1}{2}$

$f_{} (4) = - 4 + 3 = - 1$

RUxrpyNNHjnFC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami w trzech różnych zbiorach. Od minus nieskończoności do minus dwóch funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta otwarta ograniczona niezamalowanym punktem -2;-2. Druga część wykresu przebiega przez trzyelementowy zbiór otwarcie nawiasu klamrowego minus dwa średnik minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu klamrowego. Tutaj funkcję opisuje wzór otwarcie nawiasu x dodać 1 zamknięcie nawiasu do kwadratu. Ta składowa wykresu to trzy zamalowane punkty o następujących współrzędnych: -2;1, -1;0 oraz 0;1. W trzeciej części, czyli w przedziale od zera do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 3 odjąć x. Ta część wykresu to ukośna półprosta otwarta ograniczona z lewej strony niezamalowanym punktem 0;3, przechodząca między innymi przez punkt 3;0.

Wykres funkcji ma jeden punkt wspólny z osią $Y$ . Jest to punkt o współrzędnych $(0, 1)$ .

Z osią $X$ wykres ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych: $(- 1, 0)$ i $(3, 0)$ .

Wykres funkcji nie jest linią ciągłą.

Ważne!

W matematyce niekiedy posługujemy się funkcjami zmiennej $x$ , których wzór składa się z kilku wyrażeń połączonych klamrą. Aby naszkicować wykres tak opisanej funkcji należy naszkicować wykres funkcji dla każdej części wzoru, uwzględniając przedział liczbowy, do którego dana część wzoru jest przypisana. Wykresy szkicujemy w tym samym układzie współrzędnych.

Materiały multimedialne

Przeanalizuj uważnie przykłady wykresów funkcji przedstawionych w aplecie. Zmieniając położenia suwaków obserwuj, jak zmienia się położenie wybranego wykresu.

Po przeanalizowaniu apletu, wykonaj poniższe polecenia.Określ krótko rolę współczynnika kierunkowego oraz wyrazu wolnego w położeniu funkcji w układzie współrzędnych. Opisz własnymi słowami położenie w układzie współrzędnych modułu funkcji, funkcji kwadratowej, logarytmicznej, potęgowej oraz wykładniczej. Czym się charakteryzują? Czy każda z nich posiada miejsca zerowe? Czy ich wykresy są szczególne? Jeśli tak, to dlaczego?

R2S2MSPSL9JVM

Dana jest funkcja określona wzorem

f (x) = 2 \cdot x

Opisz, jak będzie wyglądał wykres tej funkcji jeżeli dziedziną jej jest:

Zbiór liczb {1, 2, 3, 4, 5}
Przedział <3, 5>
zbiór liczb rzeczywistych

RKzTtFmcjzWJ3

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj samodzielnie wykonać polecenia, a następnie porównaj uzyskane wyniki z rozwiązaniami pokazanymi w animacji.

W dwóch przykładach zaprezentowanych w animacji wykorzystywany jest wykres funkcji kwadratowej. Aby wykonać taki wykres (czyli parabolę), można posłużyć się tabelką lub skorzystać z własności paraboli.

Ramiona paraboli są skierowane do góry, gdy współczynnik liczbowy, występujący przy najwyższej potędze zmiennej we wzorze funkcji kwadratowej, jest liczbą dodatnią.

Ramiona paraboli są skierowane w dół, gdy współczynnik liczbowy, występujący przy najwyższej potędze zmiennej, jest liczbą ujemną. Współrzędne wierzchołka paraboli wyznaczyć można w sposób następujący: pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych odpowiedniej funkcji kwadratowej, a druga współrzędna to odpowiadająca jej wartość tej funkcji.

Rz9XYXrZbXwpe

Polecenie 1

Naszkicuj wykres funkcji $f$ . Odczytaj z wykresu funkcji współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 4, & dla x \in (- \infty, 0⟩ \\ \frac{1}{x}, & dla x \in (0, \infty) \end{cases}$

Tabelka częściowa dla pierwszej części wzoru:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$
$f_{} (x)$	$- 2$	$- 1$	$2$	$3$	$4$

Tabelka częściowa dla drugiej części wzoru:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f_{} (x)$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Rq0qfYMMo48yJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej dwoma wzorami na dwóch różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do zera funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się 2 x dodać cztery. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta o końcu w punkcie 0;4. Wykres funkcji przechodzi w tej części między innymi przez punkt -2;0. W przedziale od zera do plus nieskończoności funkcję opisuje wzór y równa się jeden przez x. Tutaj wykres przyjmuje postać łuku umieszczonego w pierwszej ćwiartce układu. Wybrzuszenie łuku skierowane jest do początku układu współrzędnych. Ramiona wykresu wypłaszczają się przy dodatnich półosiach i biegną tuż przy nich.

Wykres funkcji przecina oś $X$ w punkcie o współrzędnych $(- 2, 0)$ , a oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, 4)$ .

Polecenie 2

Sprawdź, czy wykres funkcji $f$ jest linią ciągłą.

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, & dla x \in (- \infty, - 1) \\ 2 x^{2}, & dla x \in ⟨- 1, 1⟩ \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, & dla x \in (1, \infty) \end{cases}$

Dla każdej części wzoru sporządzamy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 2$
$f_{} (x) = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$	$- \frac{2}{3}$	$0$	$\frac{2}{3}$

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 1$	$0$	$1$
$f_{} (x) = 2 x^{2}$	$2$	$0$	$2$

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$2$	$3$	$4$
$f_{} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$

RsqUXX2NAXD5z

Wykres funkcji $f$ jest linią ciągłą.

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2$ , gdzie $x \in ⟨- 3, 3⟩$ . Wykonaj tabelkę częściową tej funkcji i narysuj jej wykres.

Sporządzam tabelkę częściową tej funkcji.

Dziedzina funkcji oraz zbiór wartości funkcji	Wartości
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$0$	$- 1 \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 1 \frac{1}{2}$	$0$	$2 \frac{1}{2}$

Obliczam wartości funkcji dla wybranych elementów dziedziny.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - 2 = \frac{9}{2} - 2 = 2 \frac{1}{2}$

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 0$

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = - 1 \frac{1}{2}$

$f (0) = \frac{0^{2}}{2} - 2 = - 2$

$f (1) = \frac{1^{2}}{2} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = - 1 \frac{1}{2}$

$f (2) = \frac{2^{2}}{2} - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 0$

$f (3) = \frac{3^{2}}{2} - 2 = \frac{9}{2} - 2 = 2 \frac{1}{2}$

Rpye7DK4j0p8i

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie 0;-2. Ramiona paraboli obcięto w punktach: -3;212 oraz 3;212. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami następujące punkty: końce ramiom, wierzchołek, miejsca zerowe o współrzędnych -2;0 oraz 2;0 oraz punkty -1;-112 oraz 1;-112

Polecenie 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych:

$\{(- 3 \frac{1}{2}, - 1), (- 2, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, 0), (0, \frac{3}{2}), (\frac{5}{2}, 2), (3, \frac{7}{2}), (3 \frac{1}{2}, 4), (5, 5)\}$

Narysuj wykres tej funkcji. Podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.

Opisz wykres tej funkcji. Podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.

$D_{f} = \{- 3 \frac{1}{2}, - 2, - \frac{1}{2}, 0, \frac{5}{2}, 3, 3 \frac{1}{2}, 5\}$

$Z W_{f} = \{- 1, - \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}, 2, \frac{7}{2}, 4, 5\}$

RWPo1pWSp2L66

Rysunek przestawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czetrech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z nastepujących punktów zaznaczonych zamalowanymi kółkami: -312,-1,-2,-12,-12,0,0,32,52,2,3,72,312,4,5,5

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1cRJoVdDZ4ZJ

RhcyHxH3MVQfW

Ćwiczenie 2

Dany jest wykres funkcji $f$ jak na rysunku poniżej.

R1AUbvzGnrFhq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od -4 do 5 oraz z pionową osią Y od -3 do 3. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji składający się pięciu odcinków mających wspólne końce. Od lewej pierwszy odcinek jest ukośny. Jego początek jest w punkcie -4;2, a koniec w punkcie -2;-2. Punkt ten jest wspólny z drugim odcienkiem o końcu w punkcie 0;1, który jest wspólnym punktem z trzecim odcinkiem. Koniec trzeciego odcinka znajduje się w punkcie 2;-1 i jest wspólny z czwartym odcinkiem, położonym poziomo. Jego prawy koniec znajduje się w punkcie 4;-1 i jest lewym końcem piątego, odcinka, którego prawy koniec ma współrzędne 5;1.

R1N1HkVqEbC3D

Ćwiczenie 3

Dany jest wykres funkcji $f$ przebiegający jak na rysunku poniżej.

R1RUES9E74RE7

Na grafice widoczny jest układ współrzędnych z poziomą osią X i pionową osią Y, obie opisane liczbami całkowitymi od −5 do 4 na osi X oraz od −3 do 3 na osi Y. Przedstawiony jest niebieski wykres funkcji y=f(x), który tworzy łamaną, częściowo zaokrągloną krzywą. Na lewo od zera wykres zaczyna się w punkcie około (−5, −2), rośnie do maksimum w punkcie zaznaczonym kółkiem (−3, 2), następnie opada, przecinając oś X w pobliżu (−2,5, 0), aż do punktu około (−1, −1,5). Następnie krzywa rośnie, przechodzi przez punkt (0, 1) i osiąga kolejne maksimum w punkcie oznaczonym kółkiem (1, 2). Od tego miejsca wykres jest prostą malejącą, przecina oś X blisko (3, 0) i kończy się w punkcie około (4, −1,5). W prawym górnym obszarze znajduje się napis y=f(x).

R1QLZEjIJFgXi

R3Vgnd9b4QrOo

R12nhOREPFpVD2

Ćwiczenie 4

RjSWAQHh3SX6w2

Ćwiczenie 5

R14YZztXjQR4t2

Ćwiczenie 6

R1NjMrwRpgd913

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R17v4Wq7QobD2

RycqMdcvWxY7J

Ćwiczenie 9

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego wykresu.

R1elPZTllwtgS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek jest lewostronnie otwarty. Z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem -5;-1. Prawy koniec tego odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie -2;2. Drugi odcinek będący składową wykresu jest odcinkiem otwartym ograniczonym niezamalowanymi punktami o współrzędnych -2;1 oraz 5;-1.

RkJ6jdr7xhinK

R1ezfaleetcyw1

Ćwiczenie 10

RXi2Hahu1sucR1

Ćwiczenie 11

RIGxLKXnnKzuR2

Ćwiczenie 12

R1Qour7lLwHv62

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RBnfwR5I3AYfo

R2qMhwmccu2Ub

R4q5nugk6LO5T2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Rysunek przedstawia wykres funkcji $f$ .

RVqpvyL1rg7pU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z trzech części. W przedziale od minus nieskończoności do minus jeden funkcja przyjmuje postać lewego ramienia paraboli skierowanego w dół. Ramię to biegnie od minus nieskończoności do zamalowanego punktu -1;-1. W przedziale od minus jeden do jeden wykres przyjmuje postać poziomego lewostronnie otwartego odcinka ograniczonego z lewej strony niezamalowanym punktem -1;1. Prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie 1;1. W trzecim przedziale wykres przyjmuje postać ukośnej półprostej otwartej ograniczonej z lewej strony niezamalowanym punktem 1;2. Półprosta przebiega między innymi przez punkt 2;4.

R1ctJ29cqW0ed

Ćwiczenie 17

RrW165PVMPoLQ

RPRHCJ7xvvyJ5

Jak przedstawia się wykres funkcji
f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, jeden, przecinek, koniec równania, pierwsze równanie, dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, jeden zamknięcie nawiasu, koniec równania, drugie równanie, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, przecinek, koniec równania, drugie równanie, dla x, należy do, nawias ostry jeden, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu, koniec równania, koniec układu równań?

Uzupełnij luki podanymi pojęciami. Wykres funkcji w przedziale od minus nieskończoności do jeden to 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu półprosta otwarta ograniczona 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu punktem o współrzędnych 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. W przedziale od jeden do plus nieskończoności funkcja przyjmuje postać 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Tutaj wykres zaczyna się w 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu punkcie 1. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 2. niezamalowanym, 3. ukośna, 4. pozioma, 5. łuku, 6. zamalowanym, 7. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, 8. nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 9. pionowa, 10. paraboli, 11. nawias, minus, jeden, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 18

R1KdGwok1OOnb

RWRvyuMtFIuB2

Jak przedstawia się wykres funkcji
f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, przecinek, koniec równania, pierwsze równanie, dla x, należy do, nawias, minus, nieskończoność, przecinek, minus, jeden zamknięcie nawiasu ostrego, koniec równania, drugie równanie, dwa x, przecinek, koniec równania, drugie równanie, dla x, należy do, nawias, minus, jeden przecinek jeden zamknięcie nawiasu, koniec równania, trzecie równanie, dwa, przecinek, koniec równania, trzecie równanie, dla x, należy do, nawias ostry jeden, przecinek, plus, nieskończoność zamknięcie nawiasu, koniec równania, koniec układu równań?

Uzupełnij luki podanymi pojęciami. W przedziale od minus nieskończoności do minus jeden wykres przyjmuje postać 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka półprostej o końcu w 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka punkcie 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka.
W przedziale od minus jeden do jeden wykres przyjmuje postać 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka otwartego ograniczonego 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka punktami 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka oraz 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka.
W przedziale od jeden do plus nieskończoności funkcja jest 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka półprostą o końcu w 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka punkcie 1. nawias, minus, jeden, średnik, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 2. ukośnej, 3. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. niezmalowanymi, 5. poziomą, 6. ukośną, 7. łuku, 8. pionowej, 9. nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, 10. poziomej, 11. nawias, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, 12. nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 13. pionową, 14. zmalowanym, 15. zamalowanym, 16. odcinka.

Słownik

funkcja liczbowa

funkcja, której dziedzina i zbiór wartości to zbiory liczbowe

wykres funkcji

wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ , w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$

3. Funkcja liczbowa

Wprowadzenie do funkcji