4. Wykresy wybranych funkcji

R2O51JNBGVTHF

Wykresy są nieodzownym elementem życia codziennego. Spotykamy je na każdym kroku. Ilustrują różne zależności. Wykorzystywane są w statystyce, biologii, geografii, fizyce, chemii, finansach.

R9SGOBLE3HFQG

Ilustracja przedstawia dziewczynkę i chłopca stojących przy tablicy i patrzących na to, co jest na niej zapisane i narysowane. Na tablicy zapisano wzór funkcji f od x równa się 2 przez x. Obok wzoru narysowano układ współrzędnych bez jednostek. W układzie narysowano wykres tej funkcji, będący hiperbolą o ramionach znajdujących się w pierwszej i w trzeciej ćwiartce układu.

W prognozie pogody często spotykamy się z wykresem przedstawiającym zależność temperatury powietrza od godziny pomiaru. Statystyka często posługuje się wykresami ilustrującymi np. zmiany liczby mieszkańców danego miasta na przestrzeni lat. W fizyce wiele zjawisk jest przedstawianych na wykresach. Np. droga w ruchu jednostajnym, zależność współczynnika aktywności gazów rzeczywistych od ciśnienia i temperatury. Chemia posługuje się wykresami między innymi do określania rozpuszczalności substancji w zależności od temperatury. Przykładów zastosowania wykresów w życiu codziennym i w różnych dziedzinach nauki można przytaczać bardzo dużo.

Twoje cele

Opiszesz funkcję za pomocą wykresu, gdy dana funkcja przedstawiona jest za pomocą wzoru, opisu słownego, zbioru par uporządkowanych lub tabelki.
Opiszesz funkcję za pomocą wzoru, tabelki, opisu słownego lub zbioru par uporządkowanych, gdy dany jest jej wykres.
Opiszesz funkcję określoną różnymi wzorami w różnych przedziałach.
Sporządzisz wykres funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach.
Odczytasz z wykresu funkcji, opisanej różnymi wzorami w różnych przedziałach, zbiór wartości funkcji.

Jednym ze sposobów opisywania funkcji liczbowej jest wykres.

Wykres funkcji

Definicja: Wykres funkcji

Wykres funkcji $f$ jest to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $(x, f (x))$ w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ należy do dziedziny tej funkcji, natomiast $f (x)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$ .

Czy każdy dowolnie wybrany zbiór punktów w układzie współrzędnych jest wykresem funkcji?

Odpowiedź na to pytanie znajdziesz, analizując Przykład $1$ .

Przykład 1

Na rysunkach przedstawione są zbiory punktów w układzie współrzędnych, które nie są wykresami funkcji zmiennej $x$ . Dlaczego?

RVXRVX15ZTR6G

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, cztery do cztery oraz z pionową osią Y od minus, trzy do cztery. Na płaszczyźnie zaznaczone są dwie półproste. Półprosta po lewej stronie przechodzi przez punkt nawias, minus, dwa, średnik, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, a jej koniec leży w punkcie nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Półprosta po prawej stronie ma swój koniec w punkcie nawias, jeden, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i przechodzi przez punkt nawias, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 1$ przyporządkowane są dwie liczby: $(- 1)$ oraz $3$ .

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

RS2NBUVD93VSV

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 1$ przyporządkowane są trzy liczby: $(- 2)$ , $\frac{1}{2}$ , $3$ .

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

R9724BUB5DJ4T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, trzy do cztery oraz z pionową osią Y od minus, trzy do cztery. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta przecinająca oś X w punkcie dwa.

Rysunek ten nie przedstawia wykresu funkcji, ponieważ liczbie $x = 2$ przyporządkowano nieskończenie wiele różnych liczb rzeczywistych.

Nie jest to zgodne z definicją funkcji, z której wynika, że każdemu argumentowi musi być przyporządkowana tylko jedna wartość.

Ważne!

Z powyższego przykładu wynika, że:

zbiór punktów w prostokątnym układzie współrzędnych jest wykresem funkcji tylko wtedy, gdy każda prosta równoległa do osi $Y$ ma z danym zbiorem nie więcej, niż jeden punkt wspólny.

W jaki sposób rysujemy wykres funkcjiwykres funkcjiwykres funkcji? Pomogą nam to zrozumieć poniższe przykłady.

Przykład 2

Dana jest funkcja $f (x) = x^{2} + x - 6$ , gdzie $x \in \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Narysujemy wykres tej funkcji i odczytamy z wykresu współrzędne punktów wspólnych wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wykonamy obliczenia wartości funkcji $f$ , a następnie opiszemy tę funkcję za pomocą tabelki.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + (- 4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + (- 3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + (- 2) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4$

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + (- 1) - 6 = 1 - 1 - 6 = - 6$

$f (0) = 0^{2} + 0 - 6 = - 6$

$f (1) = 1^{2} + 1 - 6 = - 4$

$f (2) = 2^{2} + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$

$f (3) = 3^{2} + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$

$f (4) = 4^{2} + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14$

	Wartości
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$6$	$0$	$- 4$	$- 6$	$- 6$	$- 4$	$0$	$6$	$14$

Wykres funkcji jest następujący:

R1ZVCJPPF1CAB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, osiem do osiem oraz z pionową osią Y od minus, sześć do piętnaście. Na płaszczyźnie zaznaczone są punkty o współrzędnych: nawias, cztery, średnik, czternaście, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, cztery, średnik, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, średnik, nawias, minus, dwa, średnik, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, sześć, zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji ma z osią $Y$ jeden punkt wspólny. Jest to punkt o współrzędnych $(0, - 6)$ . Z osią $X$ ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych $(- 3, 0)$ oraz $(2, 0)$ .

Po uważnej analizie powyższego przykładu możemy zauważyć, że:

Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $Y$ tylko wtedy, gdy $0 \in D_{f}$ . Współrzędne tego punktu są równe $(0, f (0))$ .
Wykres funkcji $f$ ma punkt wspólny z osią $X$ tylko wtedy, gdy istnieje argument $x_{0}$ , dla którego funkcja liczbowafunkcja liczbowafunkcja liczbowa $f$ przyjmuje wartość $0$ . Współrzędne tego punktu są równe $(x_{0}, 0)$ .

Wiedząc, że prosta prostopadła do osi $X$ może mieć z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny, odpowiedzmy na pytanie:

ile punktów wspólnych może mieć wykres funkcji z osią $X$ , a ile z osią $Y$ ?

Odpowiedź:

Wykres funkcji może mieć co najwyżej jeden punkt wspólny z osią $Y$ , a z osią może mieć wiele punktów wspólnych.

Dotychczas rysowaliśmy wykresy funkcji, których dziedzina była zbiorem skończonym. W jaki sposób narysować wykres funkcji, której dziedzina nie jest zbiorem skończonym? Pomogą nam w tym kolejne przykłady.

Przykład 3

Funkcja $f$ opisana jest słownie.

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej $x$ , takiej, że $x \in ⟨- 9, 9⟩$ przyporządkowuje wartość bezwzględną sumy połowy liczby $x$ i liczby $3$ . Narysuj wykres tej funkcji.

Rozwiązanie:

Zapiszemy wzór tej funkcji.

$f (x) = |\frac{1}{2} x + 3|$

Zbudujemy tabelkę częściową tej funkcji.

Naniesiemy na wykres wyznaczone punkty i połączymy je odcinkami, ponieważ dziedziną funkcji jest nie zbiór punktów, a przedział.

	Wartości
$x$	$- 9$	$- 8$	$- 4$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$8$	$9$
$f (x)$	$1 \frac{1}{2}$	$1$	$1$	$2 \frac{1}{2}$	$3$	$3 \frac{1}{2}$	$4$	$7$	$7 \frac{1}{2}$

R131LHZHNBA5M

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, dziewięć do dziewięć oraz z pionową osią Y od minus, dwa do dziewięć. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji składający się z dwóch odcinków o jednym wspólnym końcu. Odcinki przypominają kształt haczyka. Odcienk położony na leo ma początek w punkcie nawias, minus, dziewięć, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias, minus, sześć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Koniec ten jest wspólny z drugim odcinkiem, którego drugi koniec jest w punkcie nawias, dziewięć, średnik, początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Na wykresie oprócz wymienionych końców, zaznaczone są punkty o współrzędnych: nawias, minus, osiem, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, jeden, średnik, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, dwa, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, osiem, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

Przykład 4

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru $f (x) = \sqrt{x} - 2$ , $x \in (0, 4) \cup \{9\}$ .

Narysuj wykres tej funkcji. Czy wykres funkcji ma punkty wspólne z osiami układu współrzędnych? Jeśli tak, odczytaj współrzędne tych punktów.

Rozwiązanie:

Przed narysowaniem wykresu opisujemy tę funkcję za pomocą częściowego zbioru par uporządkowanych.

${$ $(\frac{1}{4}; - 1 \frac{1}{2})$ , $(\frac{9}{16}; - 1 \frac{1}{4})$ , $(1; - 1)$ , $(1,44; - 0,8)$ , $(1,69; - 0,7)$ , $(1,96; - 0,6)$ , $(2,25; - 0,5)$ , $(9; 1)$ $}$

R1MSKXFO69Z45

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, jeden do dziewięć oraz z pionową osią Y od minus, trzy do dwa. Na płaszczyźnie narysowany jest wklęsły wykres funkcji składający się z wymienionych w zadaniu punktów. Funkcja ograniczona jest puntami: nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu oraz nawias, cztery, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Punkty te standardowo są puste w środku (niezamalowane). Sam wykres ma kształt wygięty w stronę początku układu współrzędnych. Do wykresu należy też odizolowany punkt w współrzędnych nawias, dziewięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu zaznaczony na płaszczyźnie.

Wykres funkcji nie ma punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych.

Polecenie 1

Przeanalizuj uważnie przykłady wykresów funkcji przedstawionych w aplecie. Zmieniając położenia suwaków obserwuj, jak zmienia się położenie wybranego wykresu.

Po przeanalizowaniu apletu, wykonaj poniższe polecenia.

RBG88ALRPNOJ81

Określ krótko rolę współczynnika kierunkowego oraz wyrazu wolnego w położeniu funkcji w układzie współrzędnych. Opisz własnymi słowami położenie w układzie współrzędnych modułu funkcji, funkcji kwadratowej, logarytmicznej, potęgowej oraz wykładniczej. Czym się charakteryzują? Czy każda z nich posiada miejsca zerowe? Czy ich wykresy są szczególne? Jeśli tak, to dlaczego?

RUFVS6CT6M7HX

Polecenie 2

Funkcja $f$ opisana jest wzorem $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2$ , gdzie $x \in ⟨- 3, 3⟩$ . Wykonaj tabelkę częściową tej funkcji i narysuj jej wykres.

Sporządzam tabelkę częściową tej funkcji.

	Wartości
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$0$	$- 1 \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 1 \frac{1}{2}$	$0$	$2 \frac{1}{2}$

Obliczam wartości funkcji dla wybranych elementów dziedziny.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - 2 = \frac{9}{2} - 2 = 2 \frac{1}{2}$

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 0$

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = - 1 \frac{1}{2}$

$f (0) = \frac{0^{2}}{2} - 2 = - 2$

$f (1) = \frac{1^{2}}{2} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = - 1 \frac{1}{2}$

$f (2) = \frac{2^{2}}{2} - 2 = \frac{4}{2} - 2 = 0$

$f (3) = \frac{3^{2}}{2} - 2 = \frac{9}{2} - 2 = 2 \frac{1}{2}$

RES1RDHETMM8R

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f będący kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie nawias, zero, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli obcięto w punktach: nawias, minus, trzy, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu oraz nawias, trzy, średnik, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Na wykresie wyróżniono zamalowanymi kółkami następujące punkty: końce ramiom, wierzchołek, miejsca zerowe o współrzędnych nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz punkty nawias, minus, jeden, średnik, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu oraz nawias, jeden, średnik, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Polecenie 3

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych:

$\{(- 3 \frac{1}{2}, - 1), (- 2, - \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, 0), (0, \frac{3}{2}), (\frac{5}{2}, 2), (3, \frac{7}{2}), (3 \frac{1}{2}, 4), (5, 5)\}$

Narysuj wykres tej funkcji. Podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.

Opisz wykres tej funkcji. Podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.

$D_{f} = \{- 3 \frac{1}{2}, - 2, - \frac{1}{2}, 0, \frac{5}{2}, 3, 3 \frac{1}{2}, 5\}$

$Z W_{f} = \{- 1, - \frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}, 2, \frac{7}{2}, 4, 5\}$

R1LHN655TEQ8X

Rysunek przestawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czetrech do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z nastepujących punktów zaznaczonych zamalowanymi kółkami: nawias, minus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, zero, przecinek, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy, przecinek, początek ułamka, siedem, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć przecinek pięć, zamknięcie nawiasu

Funkcje liczbowefunkcja liczbowaFunkcje liczbowe można opisywać wzorem zapisanym za pomocą kilku wyrażeń w różnych przedziałach. W jaki sposób należy rysować wtedy wykres tak opisanej funkcji? Odpowiedź na to pytanie uzyskamy po przeanalizowaniu poniższych przykładów.

Przykład 5

Naszkicujmy wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcja ta ma swoją nazwę. Jest to funkcja signum, sgn (łac. signum „znak”).

$f (x) = \{\begin{cases} 1, & dla x > 0 \\ 0, & dla x = 0 \\ - 1, & dla x < 0 \end{cases}$

RX1L4FUVJGMV7

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do zera funkcja jest stała i przyjmuje wartość minus 1. Wykresem jest pozioma półprosta otwarta ograniczona prawostronnie niezamalowanym punktem o współrzędnych nawias, zero, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Następnym elementem wykresu jest zamalowany punkt o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. Dalej funkcja jest stała i przyjmuje wartość 1 od zera do plus nieskończoności. Część wykresu na tym przedziale jest poziomą otwartą półprostą ograniczoną od lewej strony punktem nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.

Przykład 6

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ .

$f (x) = \{\begin{cases} x + 2, & dla x \in (- \infty, 1) \\ 3, & dla x \in ⟨1, 3⟩ \\ - x + 6, & dla x \in (3, \infty) \end{cases}$

Odczytamy z rysunku współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru wyrażonego trzema wyrażeniami. W celu narysowania wykresu wykonamy odpowiednie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę częściową wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wyrażeniem i dla kilku argumentów należących do pierwszego przedziału.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f_{} (x)$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

$f_{} (- 3) = - 3 + 2 = - 1$

$f_{} (- 2) = - 2 + 2 = 0$

$f_{} (- 1) = - 1 + 2 = 1$

$f_{} (0) = 0 + 2 = 2$

Druga część wykresu nie wymaga tabelki. Dla każdego argumentu $x$ , takiego, że $x \in ⟨1, 3⟩$ funkcja ma stałą wartość równą trzy.

Dla argumentów należących do trzeciego przedziału wykonamy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f_{} (x)$	$2$	$1$	$0$	$- 1$

$f_{} (4) = - 4 + 6 = 2$

$f_{} (5) = - 5 + 6 = 1$

$f_{} (6) = - 6 + 6 = 0$

$f_{} (7) = - 7 + 6 = - 1$

Na podstawie wyznaczonych współrzędnych, szkicujemy wykres funkcji.

R543DJ36HFD1L

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami na trzech różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do jeden funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x odjąć dwa. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta o końcu w punkcie nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji przechodzi w tej części przez wyróżnione punkty nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Druga część wykresu znajduje się w przedziale od jeden do trzy. W tym przedziale składową wykresu jest poziomy odcinek o końcach nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu oraz nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, tu funkcja jest stała i jest opisana wzorem y równa się trzy. W trzecim przedziale, czyli od trzech do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 6 odjąć x. W tym przedziale składowa wykres jest ukośną półprostą o końcu w punkcie nawias, trzy, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu. Półprosta przechodzi przez wyróżniony punkt nawias, sześć, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Korzystając z wykresu odczytujemy współrzędne punktów przecięcia wykresu z osiami układu współrzędnych.

Wykres funkcji ma dwa punkty wspólne z osią $X$ – są to punkty o współrzędnych $(- 2, 0)$ i $(6, 0)$ .

Z osią $Y$ wykres funkcji ma jeden punkt wspólny o współrzędnych $(0, 2)$ .

Przykład 7

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ .

$f (x) = \{\begin{cases} x, & dla x \in (- \infty, - 2) \\ {(x + 1)}^{2}, & dla x \in \{- 2, - 1, 0\} \\ - x + 3, & dla x \in (0, \infty) \end{cases}$

Odczytamy z wykresu współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Czy wykres funkcji jest linią ciągłą?

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest wzorem zapisanym za pomocą trzech wyrażeń. W celu narysowania wykresu funkcji wykonamy dwie tabelki częściowe.

Pierwszą tabelkę wykonamy dla funkcji opisanej pierwszym wzorem i argumentów należących do pierwszego przedziału.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 4$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 3$
$f_{} (x)$	$- 4$	$- 3 \frac{1}{2}$	$- 3$

Funkcja opisana drugim wzorem jest określona dla trzech argumentów.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f_{} (x)$	$1$	$0$	$1$

$f_{} (- 2) = {(- 2 + 1)}^{2} = {(- 1)}^{2} = 1$

$f_{} (- 1) = {(- 1 + 1)}^{2} = 0$

$f_{} (0) = {(0 + 1)}^{2} = 1$

Dla argumentów należących do przedziału trzeciego wykonujemy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$\frac{1}{2}$	$2$	$3 \frac{1}{2}$	$4$
$f_{} (x)$	$2 \frac{1}{2}$	$1$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$

$f_{} (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 3 = 2 \frac{1}{2}$

$f_{} (2) = - 2 + 3 = 1$

$f_{} (3 \frac{1}{2}) = - 3 \frac{1}{2} + 3 = - \frac{1}{2}$

$f_{} (4) = - 4 + 3 = - 1$

R14UAC8S9FSN3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej trzema wzorami w trzech różnych zbiorach. Od minus nieskończoności do minus dwóch funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się x. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta otwarta ograniczona niezamalowanym punktem nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Druga część wykresu przebiega przez trzyelementowy zbiór otwarcie nawiasu klamrowego minus dwa średnik minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu klamrowego. Tutaj funkcję opisuje wzór otwarcie nawiasu x dodać 1 zamknięcie nawiasu do kwadratu. Ta składowa wykresu to trzy zamalowane punkty o następujących współrzędnych: nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, minus, jeden, średnik, zero, zamknięcie nawiasu oraz nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. W trzeciej części, czyli w przedziale od zera do plus nieskończoności, funkcja jest malejąca i opisuje ją wzór y równa się 3 odjąć x. Ta część wykresu to ukośna półprosta otwarta ograniczona z lewej strony niezamalowanym punktem nawias, zero, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przechodząca między innymi przez punkt nawias, trzy, średnik, zero, zamknięcie nawiasu.

Wykres funkcji ma jeden punkt wspólny z osią $Y$ . Jest to punkt o współrzędnych $(0, 1)$ .

Z osią $X$ wykres ma dwa punkty wspólne. Są nimi punkty o współrzędnych: $(- 1, 0)$ i $(3, 0)$ .

Wykres funkcji nie jest linią ciągłą.

Ważne!

W matematyce niekiedy posługujemy się funkcjami zmiennej $x$ , których wzór składa się z kilku wyrażeń połączonych klamrą. Aby naszkicować wykres tak opisanej funkcji należy naszkicować wykres funkcji dla każdej części wzoru, uwzględniając przedział liczbowy, do którego dana część wzoru jest przypisana. Wykresy szkicujemy w tym samym układzie współrzędnych.

Polecenie 4

Przeanalizuj uważnie przykłady przedstawione w animacji. Spróbuj samodzielnie wykonać polecenia, a następnie porównaj uzyskane wyniki z rozwiązaniami pokazanymi w animacji.

W dwóch przykładach zaprezentowanych w animacji wykorzystywany jest wykres funkcji kwadratowej. Aby wykonać taki wykres (czyli parabolę), można posłużyć się tabelką lub skorzystać z własności paraboli.

Ramiona paraboli są skierowane do góry, gdy współczynnik liczbowy, występujący przy najwyższej potędze zmiennej we wzorze funkcji kwadratowej, jest liczbą dodatnią.

Ramiona paraboli są skierowane w dół, gdy współczynnik liczbowy, występujący przy najwyższej potędze zmiennej, jest liczbą ujemną. Współrzędne wierzchołka paraboli wyznaczyć można w sposób następujący: pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych odpowiedniej funkcji kwadratowej, a druga współrzędna to odpowiadająca jej wartość tej funkcji.

R118228EH929V

Po przeanalizowaniu materiału przedstawionego w animacji wykonaj poniższe polecenia.

Polecenie 5

Naszkicuj wykres funkcji $f$ . Odczytaj z wykresu funkcji współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

$f (x) = \{\begin{cases} 2 x + 4, & dla x \in (- \infty, 0⟩ \\ \frac{1}{x}, & dla x \in (0, \infty) \end{cases}$

Tabelka częściowa dla pierwszej części wzoru:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$
$f_{} (x)$	$- 2$	$- 1$	$2$	$3$	$4$

Tabelka częściowa dla drugiej części wzoru:

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f_{} (x)$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

R1NQ2GVNJRDR2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji opisanej dwoma wzorami na dwóch różnych przedziałach. Od minus nieskończoności do zera funkcja jest rosnąca i opisuje ją wzór y równa się 2 x dodać cztery. Wykresem na tym przedziale jest ukośna półprosta o końcu w punkcie nawias, zero, średnik, cztery, zamknięcie nawiasu. Wykres funkcji przechodzi w tej części między innymi przez punkt nawias, minus, dwa, średnik, zero, zamknięcie nawiasu. W przedziale od zera do plus nieskończoności funkcję opisuje wzór y równa się jeden przez x. Tutaj wykres przyjmuje postać łuku umieszczonego w pierwszej ćwiartce układu. Wybrzuszenie łuku skierowane jest do początku układu współrzędnych. Ramiona wykresu wypłaszczają się przy dodatnich półosiach i biegną tuż przy nich.

Wykres funkcji przecina oś $X$ w punkcie o współrzędnych $(- 2, 0)$ , a oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, 4)$ .

Polecenie 6

Sprawdź, czy wykres funkcji $f$ jest linią ciągłą.

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, & dla x \in (- \infty, - 1) \\ 2 x^{2}, & dla x \in ⟨- 1, 1⟩ \\ \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, & dla x \in (1, \infty) \end{cases}$

Dla każdej części wzoru sporządzamy tabelkę częściową.

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 3$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 2$
$f_{} (x) = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$	$- \frac{2}{3}$	$0$	$\frac{2}{3}$

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$- 1$	$0$	$1$
$f_{} (x) = 2 x^{2}$	$2$	$0$	$2$

Argumenty i wartości funkcji
$x$	$2$	$3$	$4$
$f_{} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$	$\frac{5}{2}$	$3$	$\frac{7}{2}$

R2CKEX627SZL6

Wykres funkcji $f$ jest linią ciągłą.

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1OLV1674UKOD

R1UKB7DRTQ1DV

Ćwiczenie 2

Dany jest wykres funkcji $f$ jak na rysunku poniżej.

R1DHSZR18TP4X

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus, cztery do pięć oraz z pionową osią Y od minus, trzy do trzy. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji składający się pięciu odcinków mających wspólne końce. Od lewej pierwszy odcinek jest ukośny. Jego początek jest w punkcie nawias, minus, cztery, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, a koniec w punkcie nawias, minus, dwa, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu. Punkt ten jest wspólny z drugim odcienkiem o końcu w punkcie nawias, zero, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu, który jest wspólnym punktem z trzecim odcinkiem. Koniec trzeciego odcinka znajduje się w punkcie nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i jest wspólny z czwartym odcinkiem, położonym poziomo. Jego prawy koniec znajduje się w punkcie nawias, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu i jest lewym końcem piątego, odcinka, którego prawy koniec ma współrzędne nawias, pięć, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.

R12CLUZUDD2EN

Ćwiczenie 3

Dany jest wykres funkcji $f$ przebiegający jak na rysunku poniżej.

R15SQE5425EGN

R1ACAMJKRXU1D

R17Z73M6L37M5

RXD9GMQFLH5GF2

Ćwiczenie 4

R1SRLAQR8MGU42

Ćwiczenie 5

R8AH3OJ54QGDX2

Ćwiczenie 6

R1F3BACZ5ZJA23

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R148FHOPL3ZB2

RFQR9964GU3FD

Ćwiczenie 9

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą poniższego wykresu.

RQBBGGD4OCCSH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch ukośnych odcinków. Pierwszy odcinek jest lewostronnie otwarty. Z lewej strony ograniczony jest niezamalowanym punktem nawias, minus, pięć, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Prawy koniec tego odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie nawias, minus, dwa, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu. Drugi odcinek będący składową wykresu jest odcinkiem otwartym ograniczonym niezamalowanymi punktami o współrzędnych nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu oraz nawias, pięć, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.

R1UZCM742O6VL

RSSEVSM756USQ1

Ćwiczenie 10

RJ9RG1S5U6NKO1

Ćwiczenie 11

R1GG49UO2S2VG2

Ćwiczenie 12

RK129LA7DUUFQ2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R9K4A85D6M2DB

R14ZCGT3HBVPC

R11TZRUV6AG6E2

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16