4. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej. - M_R_W10_M1 Wzór funkcji kwadratowej

R1PD7CBDFxYln

Wzór funkcji kwadratowej może przyjmować różne postacie: ogólną, kanoniczną oraz iloczynową. Czy każda z tych postaci zawsze istnieje? Okazuje, że dwie z nich istnieją zawsze, a trzecia zależy od wartości pewnej wielkości.

W tym materiale rozważymy warunki, które pozwolą (lub nie) zapisać wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Bazując na części teoretycznej materiału oraz przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Zapiszesz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynu.
Wyznaczysz miejsca zerowe funkcji kwadratowej, w celu zapisania wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.
Zamienisz postać iloczynową funkcji kwadratowej na postać ogólną oraz postać ogólną na postać iloczynową.
Zastosujesz wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej do wyznaczania wartości parametrów.
Wykorzystasz związki między różnymi postaciami funkcji kwadratowej.

Wzór funkcji kwadratowej $f$ możemy zapisać w postaci:

ogólnej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $x \in ℝ$ oraz $a \neq 0$ ,

kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ , gdzie $p = - \frac{b}{2 a}$ , $q = \frac{- ∆}{4 a}$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ oraz $a \neq 0$ .

Oprócz postaci ogólnej i kanonicznej, występuje również postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej.

Niektóre wzory funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej możemy zapisać w postaci iloczynowej poprzez wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, czy wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynowej wzór funkcji kwadratowej $f$ :

$f (x) = x^{2} - 25$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = (x - 5) (x + 5)$
$f (x) = 2 x^{2} - 10 x$
Rozwiązanie:
Po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias otrzymujemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej:
$f (x) = 2 x (x - 5)$
$f (x) = x^{2} - 12 x + 36$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, wzór funkcji $f$ przedstawiamy w postaci iloczynowej:
$f (x) = {(x - 6)}^{2}$

W ogólnym przypadku, wykorzystując postać kanoniczną funkcji kwadratowej zapiszemy wzór funkcji w postaci iloczynowej oraz podamy warunki, w których taki zapis jest możliwy. Mamy zatem:

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}]

f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}]

W ostatnim przekształceniu wyłączyliśmy $a$ przed nawias i zapisaliśmy $\frac{Δ}{4 a^{2}}$ jako ${(\frac{\sqrt{Δ}}{2 a})}^{2}$ . Zapis $Δ = {(\sqrt{Δ})}^{2}$ jest możliwy tylko w sytuacji, gdy $Δ \geq 0$ .

Kontynuując przekształcanie, wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów $n^{2} - k^{2} = (n - k) (n + k)$ :

f (x) = a (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a})

f (x) = a (x - \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a})

Oznaczając $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Jeśli $Δ = 0$ , to:

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

Oznaczając $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ otrzymujemy:

f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}

Widzimy teraz, że występowanie postaci iloczynowej wzoru funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Gdy $∆ > 0$

Jeżeli $∆ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Gdy $∆ = 0$

Jeżeli $∆ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe: $x_{0} = \frac{- b}{a}$ .

Wtedy wzór funkcji kwadratowej $f$ zapisujemy w postaci iloczynowejpostaci iloczynowej: $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ .

Gdy $∆ < 0$

Jeżeli $∆ < 0$ , to funkcja kwadratowa $f$ nie ma miejsc zerowych.

Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, wówczas postać iloczynowapostać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej nie istnieje.

Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ sprowadza się do rozwiązania równania $a x^{2} + b x + c = 0$ , czyli do wyznaczenia pierwiastków odpowiedniego równania kwadratowego.

Przedstawienie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej jest równoznaczne z zapisaniem wzoru tej funkcji w postaci iloczynu czynników liniowych.

W celu zamiany wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej na postać iloczynową, użyjemy podanych wcześniej zależności.

Przykład 2

Zapiszemy wzór funkcji $f$ w postaci iloczynowej, jeżeli $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ .

Rozwiązanie:

Współczynniki we wzorze funkcji $f$ wynoszą odpowiednio: $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

Obliczamy wyróżnik:

$∆ = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25$ .

Ponieważ $∆ > 0$ , to funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Zatem: $\sqrt{∆} = 5$ oraz $x_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ i $x_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$ .

Postać iloczynowa wzoru funkcji $f$ wynosi $f (x) = 2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3)$ .

Z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej możemy odczytać jej miejsce zerowe, bez wykonywania obliczeń.

Przykład 3

Bez obliczania wartości wyróżnika, podamy jego znak, jeżeli funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = - 3 (x + 8) (x - 2)$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ jest zapisany w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , zatem miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 8$ oraz $x_{2} = 2$ .

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, zatem $∆ > 0$ .

Postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy w łatwy sposób zamienić na postać ogólną.

Przykład 4

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 (x - 2) (x + 1)$ w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wystarczy wykonać mnożenie jednomianów, a następnie uporządkować je tak, aby otrzymać postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej.

Otrzymujemy, że: $f (x) = - 3 (x^{2} + x - 2 x - 2) = - 3 (x^{2} - x - 2) = - 3 x^{2} + 3 x + 6$ .

Wzór na postać iloczynową funkcji kwadratowej możemy wykorzystać do znajdowania brakujących współczynników we wzorze tej funkcji, mając dane np. miejsca zerowe tej funkcji.

Przykład 5

Zapiszemy wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci iloczynowej wiedząc, że jej miejscami zerowymi są liczby $3$ i $- 2$ , jeżeli do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$ należy punkt o współrzędnych $P = (- 3, 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, więc wykorzystamy jej wzór w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Po podstawieniu do wzoru funkcji $x_{1} = 3$ oraz $x_{2} = - 2$ mamy: $f (x) = a (x - 3) (x + 2)$ . Ponieważ punkt $P$ należy do wykresu funkcji, zatem do wyznaczania wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie:

$2 = a (- 3 - 3) (- 3 + 2)$

$a = \frac{1}{3}$ .

Postać iloczynowa funkcji $f$ wyraża się wzorem: $f (x) = \frac{1}{3} (x - 3) (x + 2)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wartości współczynników $b$ i $c$ we wzorze funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} + b x + c$ , jeżeli miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby $x_{1} = - 3$ oraz $x_{2} = 2$ .

Rozwiązanie:

W tym celu wykorzystamy wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Wtedy $f (x) = 2 (x + 3) (x - 2)$ , co po przekształceniu sprowadza się do postaci:

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 12$ , zatem $b = 2$ i $c = - 12$ .

Dla zainteresowanych

Przeanalizuj symulację i sprawdź swoją wiedzę w zakresie wyznaczania postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, mając daną jej postać ogólną.

RzBmlGxKZnRMN

RviMVSbgY4UWj

Ćwiczenie 1

Daną mamy funkcję: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwadzieścia osiem x, minus, dwadzieścia osiem. Wyznacznik tej funkcji kwadratowej to: DELTA, równa się, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery a c, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem minus, cztery ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem ×1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Zatem miejsce zerowe tej funkcji to: x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, minus, b, mianownik, dwa a, koniec ułamka, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem. Ostatecznie postać iloczynowa funkcji wygląda następująco: f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, a nawias, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem1. minus, dwadzieścia osiem, 2. nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. dwa, 4. dwadzieścia osiem indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 5. początek ułamka, minus, dwadzieścia osiem, mianownik, dwa ×, minus, siedem, koniec ułamka, 6. minus, siedem, 7. zero, 8. minus, siedem

Polecenie 1

Przeanalizuj poniższy schemat interaktywny, a następnie wykonaj polecenie.

RdnPmaIMLk61P1

Polecenie 2

Wyznacz postać iloczynową wzoru funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 7 x + 4$ .

Mamy $a = 2$ , $b = - 7$ i $c = 4$ , a następnie obliczamy wyróżnik:

$∆ = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 17$ .

Ponieważ $∆ > 0$ , więc funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe.

Obliczamy $x_{1} = \frac{7 - \sqrt{17}}{4}$ oraz $x_{2} = \frac{7 + \sqrt{17}}{4}$ .

Zatem otrzymujemy postać iloczynową wzoru funkcji $f$ : $f (x) = 2 (x - \frac{7 - \sqrt{17}}{4}) (x - \frac{7 + \sqrt{17}}{4})$ .

Polecenie 3

Stwórz algorytm wyznaczający postać iloczynową funkcji kwadratowej, mając daną postać ogólną $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R16PS4jhMZqHU

Przygotuj w języku Python algorytm wyznaczający postać iloczynową funkcji kwadratowej, mając daną postać ogólną $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

R1O5exZiyzQTf

Linia 1. import math. Linia 3. a znak równości None. Linia 4. delta znak równości None. Linia 5. x0 znak równości None. Linia 6. x1 znak równości None. Linia 7. x2 znak równości None. Linia 8. b znak równości None. Linia 9. c znak równości None. Linia 11. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Wyznaczanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej na. Linia 12. podstawie postaci ogólnej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości ax kareta 2 plus bx plus c znak równości 0 kropka. Linia 13. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 14. def Posta podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik iloczynowa podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 15. global a przecinek delta przecinek x0 przecinek x1 przecinek x2 przecinek b przecinek c. Linia 16. a znak równości 1. Linia 17. b znak równości minus 4. Linia 18. c znak równości 0. Linia 19. if a znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 20. print otwórz nawias okrągły apostrof To nie jest równanie kwadratowe kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 21. else dwukropek. Linia 22. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły for x in otwórz nawias kwadratowy apostrof otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości b kareta 2 minus 4ac znak równości otwórz nawias okrągły apostrof przecinek b przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kareta 2 minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek a przecinek apostrof zamknij nawias okrągły asterysk otwórz nawias okrągły apostrof przecinek c przecinek apostrof zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 23. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias ostrokątny 0 dwukropek. Linia 24. print otwórz nawias okrągły apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny 0 przecinek to postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje kropka apostrof zamknij nawias okrągły. Linia 25. else dwukropek. Linia 26. if delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły znak równości znak równości 0 dwukropek. Linia 27. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x3 zamknij nawias okrągły for x3 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny znak równości 0 przecinek to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci x podkreślnik 0 znak równości apostrof przecinek x podkreślnik 0 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Postać iloczynowa funkcji kwadratowej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości a otwórz nawias okrągły x minus x podkreślnik 0 zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek a przecinek apostrof otwórz nawias okrągły x minus apostrof przecinek x podkreślnik 0 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 28. else dwukropek. Linia 29. print otwórz nawias okrągły apostrof apostrof kropka join otwórz nawias okrągły otwórz nawias kwadratowy str otwórz nawias okrągły x4 zamknij nawias okrągły for x4 in otwórz nawias kwadratowy apostrof Ponieważ otwórz nawias ostrokątny span aria minus hidden znak równości cudzysłów true cudzysłów zamknij nawias ostrokątny Δ otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny span class znak równości cudzysłów sr minus only cudzysłów lang znak równości cudzysłów pl cudzysłów data minus editor minus no minus parse zamknij nawias ostrokątny delta otwórz nawias ostrokątny prawy ukośnik span zamknij nawias ostrokątny zamknij nawias ostrokątny 0 przecinek to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci x podkreślnik 1 znak równości apostrof przecinek x podkreślnik 1 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof przecinek x podkreślnik 2 znak równości apostrof przecinek x podkreślnik 2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof kropka Postać iloczynowa funkcji kwadratowej f otwórz nawias okrągły x zamknij nawias okrągły znak równości a otwórz nawias okrągły x minus x podkreślnik 1 zamknij nawias okrągły otwórz nawias okrągły x minus x podkreślnik 2 zamknij nawias okrągły znak równości apostrof przecinek a przecinek apostrof otwórz nawias okrągły x minus apostrof przecinek x podkreślnik 1 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły otwórz nawias okrągły x minus apostrof przecinek x podkreślnik 2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły przecinek apostrof zamknij nawias okrągły kropka apostrof zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias kwadratowy zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły. Linia 31. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 32. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 33. def delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 34. global a przecinek delta przecinek x0 przecinek x1 przecinek x2 przecinek b przecinek c. Linia 35. delta znak równości b asterysk b minus 4 asterysk otwórz nawias okrągły a asterysk c zamknij nawias okrągły. Linia 36. return delta. Linia 38. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 39. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 40. def x podkreślnik 0 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 41. global a przecinek delta przecinek x0 przecinek x1 przecinek x2 przecinek b przecinek c. Linia 42. x0 znak równości otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk b zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły. Linia 43. return x0. Linia 45. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 46. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 47. def x podkreślnik 1 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 48. global a przecinek delta przecinek x0 przecinek x1 przecinek x2 przecinek b przecinek c. Linia 49. x1 znak równości otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk b minus math kropka sqrt otwórz nawias okrągły delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły. Linia 50. return x1. Linia 52. cudzysłów cudzysłów cudzysłów Opisz tę funkcję kropka kropka kropka. Linia 53. cudzysłów cudzysłów cudzysłów. Linia 54. def x podkreślnik 2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły dwukropek. Linia 55. global a przecinek delta przecinek x0 przecinek x1 przecinek x2 przecinek b przecinek c. Linia 56. x2 znak równości otwórz nawias okrągły minus 1 asterysk b plus math kropka sqrt otwórz nawias okrągły delta2 otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły 2 asterysk a zamknij nawias okrągły. Linia 57. return x2. Linia 60. Posta podkreślnik C4 podkreślnik 87 podkreślnik iloczynowa podkreślnik funkcji podkreślnik kwadratowej otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły.

import math

a = None
delta = None
x0 = None
x1 = None
x2 = None
b = None
c = None

"""Wyznaczanie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej na
podstawie postaci ogólnej f(x) = ax^2 + bx + c = 0.
"""
def Posta_C4_87_iloczynowa_funkcji_kwadratowej():
  global a, delta, x0, x1, x2, b, c
  a = 1
  b = -4
  c = 0
  if a == 0:
    print('To nie jest równanie kwadratowe.')
  else:
    print(''.join([str(x) for x in ['Δdelta=b^2-4ac=(', b, ')^2-4*(', a, ')*(', c, ')=', delta2()]]))
    if delta2() < 0:
      print('Ponieważ Δdelta<0, to postać iloczynowa funkcji kwadratowej nie istnieje. ')
    else:
      if delta2() == 0:
        print(''.join([str(x3) for x3 in ['Ponieważ Δdelta=0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci x_0=', x_0(), '. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej f(x)=a(x-x_0)=', a, '(x-', x_0(), '.']]))
      else:
        print(''.join([str(x4) for x4 in ['Ponieważ Δdelta>0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe postaci x_1=', x_1(), ', x_2=', x_2(), '. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=', a, '(x-', x_1(), ')(x-', x_2(), ').']]))

"""Opisz tę funkcję...
"""
def delta2():
  global a, delta, x0, x1, x2, b, c
  delta = b * b - 4 * (a * c)
  return delta

"""Opisz tę funkcję...
"""
def x_0():
  global a, delta, x0, x1, x2, b, c
  x0 = (-1 * b) / (2 * a)
  return x0

"""Opisz tę funkcję...
"""
def x_1():
  global a, delta, x0, x1, x2, b, c
  x1 = (-1 * b - math.sqrt(delta2())) / (2 * a)
  return x1

"""Opisz tę funkcję...
"""
def x_2():
  global a, delta, x0, x1, x2, b, c
  x2 = (-1 * b + math.sqrt(delta2())) / (2 * a)
  return x2


Posta_C4_87_iloczynowa_funkcji_kwadratowej()

Przykład 7

Zapiszemy wzór funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ w postaci ogólnej i iloczynowej.

Rozwiązanie

Przekształcenie do postaci ogólnej.

$I$ sposób:

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$

$f (x) = (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 4$

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$

$II$ sposób

Wykorzystujemy informacje o wartościach $p$ i $q$ :

$f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ , zatem: $a = 1$ , $p = - 3$ , $q = - 4$ .

Wykorzystamy wzór: $p = - \frac{b}{2 a}$ .

Podstawiając: $a = 1$ i $p = - 3$ otrzymujemy:

$- 3 = - \frac{b}{2 \cdot 1}$ , czyli: $b = 6$ .

Ponadto $Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 c$ , zaś $q = - \frac{Δ}{4 a}$ , zatem, po podstawieniu:

$- 4 = - \frac{36 - 4 c}{4 \cdot 1}$ , co daje: $c = 5$ .

Zatem postać ogólna funkcji $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4$ to:

$f (x) = x^{2} + 6 x + 5$ .

Przekształcenie do postaci iloczynowej

$I$ sposób:

Wykorzystamy wyliczone wartości współczynników: $a = 1$ , $b = 6$ i $c = 5$ oraz wzory:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

$Δ = b^{2} - 4 a c = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ ,

stąd:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 + 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 - 4}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$ .

Zatem:

$f (x) = 1 \cdot (x - (- 1)) (x - (- 5))$

$f (x) = 1 \cdot (x + 1) (x + 5)$ .

$II$ sposób

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

${(x + 3)}^{2} - 4 = ((x + 3) - 2) ((x + 3) + 2) =$

$= (x + 3 - 2) (x + 3 + 2) = (x + 1) (x + 5)$

$f (x) = (x + 1) (x + 5)$

Przykład 8

Wzór pewnej funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej jest taki sam. Znajdziemy wzór tej funkcji, jeżeli wiadomo, że $f (- 1) = 4$ oraz $f (0) = - 3$ .

Rozwiązanie

Przypomnijmy, jak wygląda wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej.

Postać ogólna: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Postać kanoniczna: $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Aby wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej był taki sam, to współczynniki $b$ i $p$ muszą być równe $0$ oraz $c = q$ .

Z treści zadania wiemy, że $f (- 1) = 4$ i $f (0) = - 3$ . Musimy ułożyć i rozwiązać odpowiedni układ równań.

$\{\begin{cases} a \cdot {(- 1)}^{2} + c = 4 \\ a \cdot 0^{2} + c = - 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 7 \\ c = - 3 \end{cases}$

Zatem postać ogólna i kanoniczna tej funkcji, to $f (x) = 7 x^{2} - 3$ .

Przykład 9

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, gdy współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem tej funkcji to $W = (2, - 5)$ oraz jedno z miejsc zerowych, to $x = 4$ .

Rozwiązanie

Na początku zapiszemy wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej $f (x) = a {(x - p)}^{2} + q$ . Z treści zadania wiemy, że $p = 2$ oraz $q = - 5$ . Zatem $f (x) = a {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Musimy wyznaczyć teraz współczynnik $a$ . Ponieważ dla argumentu $x = 4$ funkcja przyjmuje wartość równą $0$ , to

$0 = a {(4 - 2)}^{2} - 5$

$4 a = 5$

$a = \frac{5}{4}$ .

Wzór funkcji w postaci kanonicznej, to $f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Przejdziemy teraz do postaci ogólnej wzoru funkcji $f$ :

$f (x) = \frac{5}{4} {(x - 2)}^{2} - 5 = \frac{5}{4} (x^{2} - 4 x + 4) - 5 = \frac{5}{4} x^{2} - 5 x$ .

Przykład 10

Napiszemy postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo, że dla argumentu $(- 3)$ osiąga wartość równą $6$ , jednym z jej miejsc zerowych jest liczba $5$ , dla argumentu 2 osiaga wartość najmniejszą równą $- \frac{27}{8}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $5$ . Musimy ułożyć odpowiednie równanie:

$25 a + 5 b + c = 0$ .

Ponadto funkcja dla argumentu $2$ osiąga wartość najmniejszą równą $- \frac{27}{8}$ . Zatem $p = \frac{- b}{2 a} = 2$ oraz $q = \frac{- Δ}{4 a} = - \frac{27}{8}$ .

Funkcja dla argumentu $(- 3)$ osiąga wartość równą $6$ , więc ${(- 3)}^{2} \cdot a + (- 3) \cdot b + c = 6$ .

Na tej podstawie układamy układ równań i obliczamy wartości szukanych współczynników.

$\{\begin{cases} 25 a + 5 b + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 9 a - 3 b + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 25 a - 20 a + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 9 a + 12 a + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 5 a + c = 0 \\ b = - 4 a \\ 21 a + c = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = \frac{3}{8} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = - \frac{15}{8} \end{cases}$

Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, to $f (x) = \frac{3}{8} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{15}{8}$ .

Zapiszemy teraz wzór funkcji $f (x) = \frac{3}{8} x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{15}{8}$ w postaci iloczynowej.

Wykorzystamy wyliczone wartości współczynników: $a = \frac{3}{8}$ , $b = - \frac{3}{2}$ i $c = - \frac{15}{8}$ oraz wzory: $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ .

$x_{1} = \frac{- (- \frac{3}{2}) + \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{15}{8})}}{2 \cdot \frac{3}{8}} = 5$

$x_{2} = \frac{- (- \frac{3}{2}) - \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{15}{8})}}{2 \cdot \frac{3}{8}} = - 1$

Zatem wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, to $f (x) = \frac{3}{8} (x - 5) (x + 1)$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją prezentującą związki między postacią iloczynową, kanoniczną i ogólną funkcji kwadratowej, a następnie rozwiąż polecenia.

RbDE4xBCLHEC1

Polecenie 5

Wzór funkcji $f (x) = - 2 x^{2} - 3 x - 2$ przedstaw w postaci kanonicznej. Czy wzór ten można zapisać w postaci iloczynowej?

Zauważ, że $a = - 2$ , $b = - 3$ , $c = - 2$ .

Zatem:

$Δ = b^{2} - 4 a c = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 9 - 16 = - 7$ ,

co oznacza, że wzoru tej funkcji nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

Wyznaczmy:

$p = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 3}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{3}{4}$ ,

$q = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{- 7}{4 \cdot (- 2)} = - \frac{7}{8}$ .

Stąd postać kanoniczna wyraża się wzorem: $f (x) = - 2 {(x + \frac{3}{4})}^{2} - \frac{7}{8}$ .

Polecenie 6

Wzór funkcji $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ przedstaw w postaci iloczynowej.

Aby zapisać wzór w postaci iloczynowej, musimy sprawdzić znak wyróżnika trójmianu kwadratowego $Δ$ .

Ponieważ $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$ , to:

$Δ = b^{2} - 4 a c = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ .

$Δ > 0$ , więc dany trójmian kwadratowy możemy zapisać w postaci iloczynowej. Wyznaczmy jego miejsca zerowe:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ ,

$x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- (- 4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ ,

$f (x) = 1 \cdot (x - 3) (x - 1)$ .

Postać iloczynowa funkcji $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ wyraża się więc wzorem:

$f (x) = 1 \cdot (x - 3) (x - 1)$ .

RNuI4ndGLFpaP1

Ćwiczenie 1

Dopasuj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej do odpowiadającej jej postaci iloczynowej: f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, minus, dwanaście Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, minus, trzy zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, dwa nawias x, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu, 3. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, cztery zamknięcie nawiasu, 4. f nawias x zamknięcie nawiasu, równa się, minus, nawias x, minus, jeden zamknięcie nawiasu indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R105bWkEVwuw51

Ćwiczenie 2

RWvxJUC8pTZon1

Ćwiczenie 3

Rx3pAg632FDq42

Ćwiczenie 4

R1cqaF2s3NrXY2

Ćwiczenie 5

RXTqwTlgYazZC2

Ćwiczenie 6

RaVVI6YlsfrJT3

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wyznacz wartość parametru $a$ we wzorze funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , jeżeli wiadomo, że do paraboli, będącej wykresem tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 3, 2)$ , a jedynym miejscem zerowym jest liczba $4$ .

Ponieważ funkcja ma jedno miejsce zerowe, zatem jej wzór zapisujemy w postaci $f (x) = a {(x - 4)}^{2}$ .

W celu wyznaczenia wartości współczynnika $a$ rozwiązujemy równanie

$2 = a \cdot {(- 3 - 4)}^{2}$ , więc $a = \frac{2}{49}$ .

RtaZbXzchHYqd1

Ćwiczenie 9

R1IB9MATgargp1

Ćwiczenie 10

Dobierz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej do odpowiadającego jej wzoru w postaci iloczynowej. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, minus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, osiem x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu k nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem x, plus, sześć Możliwe odpowiedzi: 1. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. y, równa się, dwa nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. y, równa się, dwa nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

Rb5Zz2EeeT5po1

Ćwiczenie 11

RXnN1Lmpb7zBf2

Ćwiczenie 12

R15f02l6aMiwy2

Ćwiczenie 13

R1cK3FqHIJyY32

Ćwiczenie 14

R1TIQXLbaL4Yy3

Ćwiczenie 15

R1A7hoXTWayj03

Ćwiczenie 16

Słownik

postać iloczynowa wzoru funkcji kwadratowej

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , gdy $∆ > 0$ , $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$f (x) = a {(x - x_{0})}^{2}$ , gdy $∆ = 0$ , $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

brak postaci iloczynowej, gdy $∆ < 0$

funkcja kwadratowa

funkcja określona na zbiorze $ℝ$ wzorem $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ oraz $a \neq 0$

3. Postać ogólna i kanoniczna wzoru funkcji kwadratowej.

M_R_W10_M1 Wzór funkcji kwadratowej

Gdy ∆>0

Gdy ∆=0

Gdy ∆<0

Dla zainteresowanych

Słownik

Gdy $∆ > 0$

Gdy $∆ = 0$

Gdy $∆ < 0$