5*. Inne przekształcenia wykresów funkcji: y = f(|x|) , y = |f(x)| - M_R_W08_M2 Przekształcanie wykresów

R14d52P8bb8L0

5*. Inne przekształcenia wykresów funkcji: y = f(|x|) , y = |f(x)|. (DODATEK)

Matematyk, który nie jest po trosze poetą, nigdy nie będzie doskonały.

To słowa Karla Weierstrassa, niemieckiego matematyka, który w $1841$ roku wprowadził notację $|a|$ dla określenia wartości bezwzględnej liczby. Innymi określeniami tego terminu jest moduł, podany prawdopodobnie przez szwajcarskiego księgarza Jean‑Robert Arganda w $1806$ oraz $abs (a)$ , stosowany przede wszystkim w informatyce.

W tym materiale, opierając się na wykresie funkcji $y = f (x)$ , otrzymamy wykres funkcji $y = |f (x)|$ .

Twoje cele

Wykorzystasz definicję wartości bezwzględnej liczby do rozwiązania zadań.
Narysujesz wykres funkcji $y = |f (x)|$ na podstawie wykresu funkcji $y = f (x)$ .
Na podstawie wykresu funkcji $y = f (x)$ sporządzisz wykres funkcji $y = f (|x|)$ .
Odczytasz z wykresu funkcji jej własności.

Wykres funkcji $y = |f (x)|$

Funkcję $y = |f (x)|$ możemy, zgodnie z określeniem wartości bezwzględnej, zapisać:

y = |f (x)| = \{\begin{cases} f (x) & dla f (x) \geq 0 \\ - f (x) & dla f (x) < 0 \end{cases}

W poniższych przykładach pokażemy etapy rysowania wykresu funkcji $y = |f (x)|$ .

Przykład 1

Narysujemy wykres funkcji $y = |x - 1|$ .

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji $y = |x - 1|$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $a$ wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

$|x - 1| = \{\begin{cases} x - 1 & dla x - 1 \geq 0 \\ - (x - 1) & dla x - 1 < 0 \end{cases}$ ,

czyli

$|x - 1| = \{\begin{cases} x - 1 & dla x - 1 \geq 0 \\ - x + 1 & dla x - 1 < 0 \end{cases}$ .

Wykres funkcji $y = |x - 1|$ składa się z dwóch wykresów, dwóch funkcji liniowych: $y = x - 1$ , gdy $x \in ⟨1, \infty)$ oraz $y = - x + 1$ , gdy $x \in (- \infty, 1)$ .

Pokażemy etapy otrzymania wykresu funkcji $y = |x - 1|$ .

1. Rysujemy wykres funkcji $y = x - 1$ dla $x \in ⟨1, \infty)$ .

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y = x - 1$ .

Dla $x = 1$ mamy: $y = 1 - 1 = 0$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(1, 0)$ .
Dla $x = 2$ mamy: $y = 2 - 1 = 1$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(2, 1)$ .

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą, ograniczając się do przedziału $⟨1, \infty)$ .

R1Mqa6dFRxBZN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzy. W układzie znajduje się strzałka, która wskazuje na punkt nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Strzałka znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych i jest skierowana do osi X pod kątem ostrym.

2. Rysujemy wykres funkcji $y = - x + 1$ , gdy $x \in (- \infty, 1)$ .

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y = - x + 1$ .

Dla $x = 0$ mamy: $y = - 0 + 1 = 1$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(0, 1)$ .
Dla $x = - 1$ mamy: $y = - (- 1) + 1 = 2$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(- 1, 2)$ .

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą ograniczając się do przedziału $(- \infty, 1)$ .

R1W4P2VgGrFxv

Wykres funkcji $y = |x - 1|$ jest sumą obu wykresów:

R1IR1fJG5IQXB

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=x−1. Wykres ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a jej lewy bok przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Możemy zauważyć, że wykres funkcji $y = |x - 1|$ składa się z wykresu funkcji $y = x - 1$ położonego nad lub na osi $X$ oraz obrazu w symetrii względem osi $X$ tej części wykresu, która jest położona pod osią $X$ :

R1Ud4OwK4aR2q

Uogólnijmy powyższy wniosek na dowolną funkcję $y = |f (x)|$ .

Aby narysować wykres funkcji $y = |f (x)|$ , wykonujemy następujące czynności:

rysujemy wykres funkcji $f (x)$ ,

te części wykresu, które znajdują się pod osią $X$ , odbijamy symetrycznie względem osi $X$ ,

na wykres funkcji $y = |f (x)|$ składa się wykres funkcji $f (x)$ położony nad lub na osi $X$ i obraz w symetrii względem osi $X$ części wykresu funkcji $f (x)$ położonego pod osią $X$ .

Przykład 2

Mając dany wykres funkcji $y = (x - 2) x$ , narysujemy wykres funkcji $y = |(x - 2) x|$ , a następnie odczytamy z wykresu dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartościzbiór wartości i miejsca zerowe funkcji $y = |(x - 2) x|$ .

R1INrcrtjRNKk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 pionową osią y od minus 1 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=x−2x. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, jej lewe ramię przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

Odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu funkcji $y = (x - 2) x$ znajdującą się pod osią $X$ .

Wykres funkcji $y = |(x - 2) x|$ jest sumą wykresu funkcji $y = (x - 2) x$ , położonego nad lub na osi $X$ oraz obrazu w symetrii względem osi $X$ części wykresu funkcji $y = (x - 2) x$ , położonego pod osią $X$ :

R1App1P17PZ9H

Z wykresu funkcji $y = |(x - 2) x|$ możemy odczytać następujące własności:

dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych: $D_{f} = ℝ$ ,

zbiorem wartości funkcji jest zbiór: $Z W_{f} = ℝ_{+} \cup \{0\}$ ,

funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 2$ .

Przykład 3

Określimy dziedzinę funkcji $y = \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $y = \sqrt{f (x)}$ jest określona dla $f (x) \geq 0$ .

Wyrażenie znajdujące się pod pierwiastkiem może przyjmować tylko wartości nieujemne.

Zauważmy, że wyrażenie pod pierwiastkiem możemy zapisać następująco: $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ , stąd $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$ . Korzystając z własności $\sqrt{a^{2}} = |a|$ , możemy zapisać: $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} = |x - 3|$ . Ponieważ $|x - 3| \geq 0$ , to dziedziną funkcji $y = \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Przykład 4

Narysujemy wykres funkcji $y = \sqrt{0, 25 x^{2} + x + 1}$ .

Rozwiązanie:

Aby narysować wykres funkcji $y = \sqrt{0, 25 x^{2} + x + 1}$ , wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy następująco: $0, 25 x^{2} + x + 1 = {(0, 5 x + 1)}^{2}$ .

Korzystając z własności $\sqrt{a^{2}} = |a|$ , możemy zapisać: $y = \sqrt{0, 25 x^{2} + x + 1} = |0, 5 x + 1|$ . Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wykres funkcji $y = |0, 5 x + 1|$ otrzymamy opierając się na wykresie funkcji $y = 0, 5 x + 1$ . Szkicujemy wykres funkcji $y = 0, 5 x + 1$ .

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y = 0, 5 x + 1$ .

Dla $x = 0$ mamy: $y = 0, 5 \cdot 0 + 1 = 1$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(0, 1)$ .
Dla $x = 2$ mamy: $y = 0, 5 \cdot 2 + 1 = 2$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(2, 2)$ .

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą $y = 0, 5 x + 1$ .

RWQlWRytU6VBT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 4 pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=0,5x+1, wykres ma kształt ukośnej prostej, która przecina oś x w punkcie nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Teraz odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu znajdującą się pod osią $X$ , a część wykresu, która leży nad lub na osi $X$ , pozostawiamy bez zmiany.

Otrzymujemy wykres funkcji $y = \sqrt{0, 25 x^{2} + x + 1}$ .

R1H4DXUdCVmU5

Przykład 5

Opierając się na wykresie funkcji $y = |x|$ narysujemy wykres funkcji $y = |x - 2|$ .

R8cLfTuqPCoPG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji,pierwszy z nich o równaniu y=x, wykres ten został namalowany linią przerywaną i ma kształt litery V, wierzchołek tedo wykresy znajduje się w środku układu współrzędnych. Drugi wykres ma równanie y=x-2, on również ma kształt litery V , jego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, a jego lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu. Od wykresu y=x do wykresu y=x-2 prowadzą poziome strzałki.

Widzimy, że wykres funkcji $y = |x - 2|$ otrzymamy przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ o dwie jednostki w prawo.

Przykład 6

Opierając się na wykresie funkcji $y = |x|$ narysujemy wykres funkcji $y = |x + 3|$ .

RjKNpYkBuRL4S

Widzimy, że wykres funkcji $y = |x + 3|$ otrzymamy przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ o trzy jednostki w lewo.

Możemy na podstawie powyższych wykresów podać wniosek.

Wykres funkcji $y = |x - a|$ otrzymamy, przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ względem osi $X$ :

o $a$ jednostek w prawo, gdy $a$ jest dodatnie,

o $a$ jednostek w lewo, gdy $a$ jest ujemne.

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją prezentującą, jak narysować wykres funkcji $y = |f (x)|$ . Następnie rozwiąż zadania znajdujące się pod animacją i porównaj z odpowiedziami.

RcK8J2bChWc96

Polecenie 2

Narysuj wykres funkcji $y = |x + 4|$ .

Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od narysowania wykresu funkcji $y = x + 4$ .

Obliczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta $y = x + 4$ .

Dla $x = - 4$ mamy: $y = - 4 + 4 = 0$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(- 4, 0)$ .
Dla $x = 0$ mamy: $y = 0 + 4 = 4$ , czyli do wykresu funkcji należy punkt $(0, 4)$ .

Teraz możemy zaznaczyć oba punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą.

RcxNyfoSAtXD9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 8 do 4 pionową osią y od minus 4 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=x+4, wykres ma kształt ukośnej prostej, która przecina oś x w punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Teraz odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu znajdującą się pod osią $X$ . Część wykresu, która leży nad lub na osi $X$ pozostawiamy bez zmian.

Otrzymujemy wykres funkcji $y = |x + 4|$ .

R2aHBDAOKZpBA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 3 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=x+4, wykres ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, a jej prawe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu.

Możemy również otrzymać wykres funkcji $y = |x + 4|$ , przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ względem osi $X$ o $4$ jednostki w lewo.

RNWN7TJ3sgXnN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 3 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji, pierwszy o równaniu y=x został namalowany linią przerywaną, ma kształt litery V o wierzchołku w środku układu współrzędnych. Drugi ma równanie y=x+4, wykres ten ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, a jej prawe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Wykres pierwszy z wykresem drugim połączono trzema poziomymi strzałkami z grotami skierowanymi w stronę lewą.

Polecenie 3

Na podstawie wykresu funkcji $y = (x - 2) (x - 3)$ narysuj wykres funkcji $y = |(x - 2) (x - 3)|$ , a następnie odczytaj z wykresu: dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Aby naszkicować wykres funkcji $y = (x - 2) (x - 3)$ , wyznaczymy punkty charakterystyczne wykresu tzn. miejsca zerowe oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Rozwiązując równanie $(x - 2) (x - 3) = 0$ , obliczymy miejsca zerowe funkcji.
Równanie $(x - 2) (x - 3) = 0$ ma dwa rozwiązania: $x_{1} = 2$ i $x_{2} = 3$ .

Aby wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli $(p, q)$ zapisujemy wzór funkcji $y = (x - 2) (x - 3)$ w postaci ogólnej $y = a x^{2} + b x + c$ . W tym celu dokonujemy następujących przekształceń:

$y = (x - 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x - 2 x + 6 = x^{2} - 5 x + 6$ .

Ostatecznie otrzymaliśmy wzór funkcji w postaci $y = x^{2} - 5 x + 6$ , gdzie $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 5)}{2} = \frac{5}{2}$ ,

$q = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = - \frac{1}{4}$ .

Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry ( $a > 0$ ), jej wierzchołek ma współrzędne $p = \frac{5}{2}$ , $q = - \frac{1}{4}$ .

R1aWoj4l0kEge

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od 0 do 4 pionową osią y od 0 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=x−2x−3. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry. Wierzchołek paraboli znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, jej lewe ramię przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu.

Po naszkicowaniu wykresu funkcji $y = (x - 2) (x - 3)$ , odbijamy symetrycznie względem osi $X$ część wykresu tej funkcji znajdującą się pod osią $X$ . Część wykresu, która znajduje się nad lub na osi $X$ , pozostawiamy bez zmian. Otrzymujemy wykres funkcji $y = |(x - 2) (x - 3)|$ :

R1JdWfyok8stO

Z wykresu funkcji $y = |(x - 2) (x - 3)|$ możemy odczytać jej własności:

dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $D_{f} = ℝ$ ,

zbiorem wartości funkcji jest zbiór $Z W_{f} = ℝ_{+} \cup \{0\}$ ,

funkcja ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = 2$ i $x_{2} = 3$ .

Wykres funkcji $y = f (|x|)$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej zapisujemy:

f (|x|) = \{\begin{cases} f (x) & dla & x \geq 0 \\ f (- x) & dla & x < 0 \end{cases}

Zatem wykres funkcji $f (- x)$ otrzymujemy, odbijając symetrycznie względem osi $Y$ wykres funkcji $f (x)$ .

Aby narysować wykres funkcji $y = f (|x|)$ , wykonujemy następujące czynności:

1. rysujemy wykres funkcji $f (x)$ ograniczając się tylko do tych części wykresu dla których $x \geq 0$ (części wykresu leżące w $I$ i $IV$ ćwiartce układu współrzędnych i na osi $Y$ );

2. odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ wykres funkcji $f (x)$ dla $x \geq 0$ i otrzymujemy część wykresu dla $x < 0$ ;

3. wykres funkcji $f (|x|)$ jest sumą wykresów funkcji: $f (x)$ dla $x \geq 0$ i $f (- x)$ dla $x < 0$ .

Przykład 7

Narysujemy wykres funkcji $y = |x| - 1$ .

Rozwiązanie

Rysujemy wykres funkcji $f (x) = x - 1$ .

Wyznaczamy $f (0) = 0 - 1 = - 1$ (interesuje nas część wykresu dla $x \geq 0$ ).

R1KrA0GPOjTO8

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono ukośną prostą o równaniu fx=x−1, która przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden i przecina oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono kolorem ćwiartkę pierwszą i czwartą.

Odbijamy symetrycznie części wykresu, dla których $x \geq 0$ względem osi $Y$ .

RUiKweoDOGxHk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do cztery. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=x−1, ma on kształt litery V o ramionach skierowanych do góry, wierzchołek ma współrzędne nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, lewe ramię przecina oś x w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono kolorem ćwiartkę pierwszą i czwartą.

Przykład 8

Narysujemy wykres funkcji $y = 2 |x| - 1$ .

Rozwiązanie

Rysujemy część wykresu funkcji $f (x) = 2 x - 1$ .

Wyznaczamy: $f (0) = 2 \cdot 0 - 1 = - 1$ , $f (1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ , a następnie, odbijając symetrycznie względem osi $Y$ części wykresu, dla których $x \geq 0$ , otrzymujemy rozwiązanie.

RS5Tamzk6tsrt

Przykład 9

Wykresem funkcji $f (x) = - (x - 1) x$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ .

R8mHy70I2XN3i

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 3 i pionową osią y od minus 4 do jeden. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=−x−1x. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu, jej wierzchołek znajduje się w pierwszej ćwiartce układu, lewe ramię przechodzi przez środek układu, a prawe przecina oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

Korzystając z wykresu tej funkcji, narysujemy wykres funkcji: $g (x) = - (|x| - 1) |x|$ .

Odczytamy z wykresu: dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji $g$ i jej miejsca zerowe.

Rozwiązanie

Odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ części wykresu, dla których $x \geq 0$ .

R2cI0TbEK7giN

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 3 i pionową osią y od minus 4 do jeden. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=−x−1x. Wykres ma kształt przypominający dwie połączone ze sobą parabole o ramionach skierowanych w dół. Wykres rozpoczyna się w trzeciej ćwiartce układu i biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku do punktu znajdującego się w pierwszej ćwiartce układu, skąd biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Ze środka układu współrzędnych linią przerywaną poprowadzono łuk, równoległy do pierwszego fragmentu wykresu.

Z wykresu odczytujemy:

dziedzinadziedzina funkcjidziedzina: $D_{f} = ℝ$ ;
zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = (- \infty, \frac{1}{4}⟩$ ;
miejsca zerowe: $y = 0$ dla $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 0$ i $x_{3} = 1$ .

Przykład 10

Mając dany wykres funkcji $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ :

RKC9fMFRP6X7a

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=1x+1. Wykres ma kształt hiperboli, której poziomą asymptotą jest oś x a pionową asymptotą prosta o równaniu y=-1.

narysujemy wykres funkcji $y = \frac{1}{|x| + 1}$ . Odczytamy z wykresu: dziedzinędziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościzbiór wartości funkcjizbiór wartości i miejsca zerowe funkcji $y = \frac{1}{|x| + 1}$ .

Rozwiązanie

Odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ część wykresu dla $x \geq 0$ .

RrDuXsBAV8nU6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=1x+1. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu, biegnie nad osią x i po łuku biegnie do punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, dalej biegnie najpierw po łuku, a potem znów nad osią x i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Odczytujemy z wykresu:

dziedzinadziedzina funkcjidziedzina: $D_{f} = ℝ$ ;
zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = (0, 1⟩$ ;
miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.

W przypadku funkcji postaci $y = |x| + b$ możemy jej wykres otrzymać opierając się na wykresie funkcji $y = |x|$ .

Przykład 11

Narysujemy wykres funkcji $y = |x| + 2$ .

Rozwiązanie

R1BsPCGTMJ0Wd

Przesuwamy wykres funkcji $y = |x|$ wzdłuż osi $Y$ o dwie jednostki w górę (czyli przesuwamy o wektor $[0, 2]$ ).

Przykład 12

Narysujemy wykres funkcji $y = |x| - 1$ .

Rozwiązanie

RORlvzzv754TL

Przesuwamy wykres funkcji $y = |x|$ wzdłuż osi $Y$ o jedną jednostkę w dół (czyli przesuwamy o wektor $[0, - 1]$ ).

bg‑azure

Wykres funkcji $y = |x| + b$ otrzymamy, przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ wzdłuż osi $Y$ :

o $b$ jednostek w górę, gdy $b$ jest dodatnie,
o $b$ jednostek w dół, gdy $b$ jest ujemne.

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją prezentującą, jak narysować wykres funkcji $y = f (|x|)$ . Następnie rozwiąż zadania i porównaj z odpowiedziami.

R1FZGFkQJyz49

Polecenie 5

Narysuj wykres funkcji $y = |x| - 3$ .

Opisz własnymi słowami jak będzie przedstawiał się wykres funkcji $y = (x) - 3$ .

Rysujemy część wykresu funkcji $f (x) = x - 3$ dla $x \geq 0$ . Wyznaczamy $f (0) = 1 \cdot 0 - 3 = - 3$ , następnie odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ tę część wykresu.

R1DAXVeTE55Qj

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 4 do dwa. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=x−3, wykres ten ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię tego wykresu przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię tego wykresu przecina oś w punkcie nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu. Prawe ramię tego wykresu zostało przedłużone linią przerywaną i w trzeciej ćwiartce wychodzi poza płaszczyznę układu.

Możemy również otrzymać wykres funkcji $y = |x| - 3$ , przesuwając wykres funkcji $y = |x|$ wzdłuż osi $Y$ o $3$ jednostki w dół:

R1WEMBoIXCxbF

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 5 i pionową osią y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=x−3, wykres ten ma kształt litery V, której wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Wykres ten powstał z przesunięcia wykresu o tym samym kształcie, namalowanego linią przerywaną, którego wierzchołek znajduje się w punkcie nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Przesunięcie pokazują pionowe strzałki, zwrócone do dołu, które łączą ze sobą oba wykresy.

Polecenie 6

Na podstawie wykresu funkcji $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ narysuj wykres funkcji $y = (|x| - 1) (|x| - 2)$ , a następnie odczytaj z wykresu: dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Na podstawie wykresu funkcji $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ opisz własnymi słowami jak będzie przedstawiał się wykres funkcji $y = ((x) - 1) ((x) - 2)$ , a następnie podaj: dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ :

$x_{1} = 1$ i $x_{2} = 2$ .

Obliczamy teraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f$ . W tym celu z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ przejdźmy do postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ :

$f (x) = x^{2} - x - 2 x + 2$

$f (x) = x^{2} - 3 x + 2$

Zatem: $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 2$ .

$W$ - wierzchołek paraboli $W = (x_{0}, y_{0})$

$x_{0} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 3)}{2} = \frac{3}{2}$

$y_{0} = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = \frac{- 1}{4}$

Wykresem funkcji jest parabola skierowana ramionami do góry $(a > 0)$ . Rysujemy wykres funkcji $y = (x - 1) (x - 2)$ , następnie odbijamy symetrycznie względem osi $Y$ część wykresu dla $x \geq 0$ .

R14toH06iMiSb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres o równaniu fx=x−1x−2. Wykres ma kształt przypominający dwie połączone ze sobą parabole o ramionach skierowanych do góry. Wykres rozpoczyna się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w trzeciej ćwiartce układu, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu, skąd biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Ze środka układu współrzędnych linią przerywaną poprowadzono łuk, równoległy do pierwszego fragmentu wykresu.

Odczytujemy z wykresu:

dziedzina: $D_{f} = ℝ$ ;
zbiór wartości funkcji: $Z W_{f} = ⟨- \frac{1}{4}, \infty)$ ;
miejsca zerowe: $y = 0$ dla $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = - 1$ , $x_{3} = 1$ i $x_{4} = 2$ .

Ćwiczenie 1

R1DlwcAeGR7FS

RQBgytl9e1vQ0

Ćwiczenie 2

R1D4a6lzAQz5f

RbALfJmapnKsU

Ćwiczenie 3

R6wvW2CCT6dzm

R1Qbye7EGlBJK

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f (x)$ .

RaxVnGkZI9KVa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie również po łuku do punktu nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie prze punkt nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

ROXAb13zMk9K8

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f (x)$ . W jakim punkcie wykres funkcji $y = |f (x)|$ przecina oś $Y$ ?

RWVNQUsx4iqm5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=fx. Wykres ten rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus sześć średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie przez punkt nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawias sześć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu.

Re6OxAT8ek8Le

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g (x) = |f (x)|$ , gdzie funkcja f jest pewną funkcją kwadratową.

R14mleAcf1nCt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osią y od minus 1 do dziesięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji y=gx. Wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce układu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku przecinając oś y w punkcie nawias zero średnik osiem zamknięcie nawiasu do punktu znajdującego się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, stąd biegnie dalej po łuku to punktu nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

RL4JUwbXyEKKW

Ćwiczenie 7

R74xov4EZbAV8

RU98T9iJXU9j0

Najpierw rysujemy wykres funkcji pomocniczej $f (x) = 4 - {(x + 1)}^{2}$ .

RvpsXvuGLm9zr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=4−x+12. Wykres ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do dołu. Wierzchołek paraboli znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, jej lewe ramię przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu , prawe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu.

Następnie odbijamy część wykresu leżącą pod osią $X$ względem osi $X$ , otrzymując w ten sposób wykres funkcji $g (x) = |4 - {(x + 1)}^{2}|$ .

R1FZ0wOXCrSCM

Na podstawie otrzymanego wykresu sprawdzamy, które z powyższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe.

Ćwiczenie 8

RWg8iu0LCOYBS

RWFI3U32EMxhi

Najpierw rysujemy wykres funkcji pomocniczej $f (x) = \frac{1 - 3 x}{x - 1}$ .

R1TtmOtHPDayT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 pionową osią y od minus 6 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=1−3xx−1. Wykres ma kształt hiperboli o asymptotach: x=1, y=-3. Jedna część znajduje się w pierwszej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu i przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w całości w czwartej ćwiartce układu.

Następnie odbijamy część wykresu leżącą pod osią $X$ względem osi $X$ , otrzymując w ten sposób wykres funkcji $g (x) = |\frac{1 - 3 x}{x - 1}|$ .

RtVt9Yn567aFv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji, o równaniu y=1−3xx−1. Pierwsza część wykresu pojawia się w drugiej ćwiartce uładu i biegnie po łuku przez punkt nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu do punktu leżącego na osi x pomiędzy wartością zero i jeden, dalej biegnie ukośnie i wychodzi poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce układu. Druga część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Na podstawie otrzymanego wykresu sprawdzamy, które ze powyższych zdań jest prawdziwe.

Ćwiczenie 9

RdPTxon6DxXyq

R1DKiiWRTBC2f

Ćwiczenie 10

R1TbZfI2owzoK

R1ANjsK0WWu5z

Ćwiczenie 11

R1YzkNOWSKWQF

RijfvW6qvSRTy

Ćwiczenie 12

Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f (x)$ (przyjmij, że jedna jednostka to jedna kratka).

RaaPGSRrzPlWc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 4 do 4. W układzie zaznaczono wykres funkcji fx. Wykres ten rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez środek układu współrzędnych do punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias trzy średnik zero zamknięcie nawisu do punktu nawias cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Z tego punktu biegnie poziomo do punktu nawias siedem średnik minus cztery zamknięcie nawiasu.

R1ETxJk76E9Fo

Ćwiczenie 13

Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $f (x)$ (przyjmij, że jedna jednostka to jedna kratka).

R1RdcTQf4fmpv

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 4 do 4. W układzie zaznaczono wykres funkcji gx. Wykres rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus sześć średnik trzy zamknięcie nawiasu, biegnie poziomo do punktu nawias minus pięć średnik trzy, dalej biegnie ukośnie przez punkt nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie poziomo do zamalowanego punktu nawis sześć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu.

RCmbuM3NHZatI

R1ePpSXsK6KBK2

Ćwiczenie 14

RGUwZHd8etfW63

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $g (x) = f (|x|)$ (przyjmij, że jedna jednostka to jedna kratka).

R1kvQxXBj9Tot

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osią y od minus 1 do cztery. W układzie zaznaczono wykres gx. Wykres ma kształt przypominający dwie połączone ze sobą parabole o ramionach skierowanych do góry. Wykres rozpoczyna się w drugiej ćwiartce układu i biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie nawias minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu o współrzędnych nawias minus jeden minus osiem zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik minus dziewięć zamknięcie nawiasu, stąd biegnie po łuku przecinając oś x w punkcie nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu do i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Rehd4vk6WVZEw

Słownik

wartość bezwzględna liczby

a

wartość bezwzględna liczby

a

liczba $a$ , jeśli $a$ jest liczbą dodatnią lub zerem oraz liczba przeciwna, czyli $(- a)$ , jeśli $a$ jest liczbą ujemną

dziedzina funkcji

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej $x$ , dla których funkcja $f (x)$ jest określona

zbiór wartości

wszystkie wartości, które może przybierać zmienna zależna $y$ danej funkcji $f (x)$

wartość bezwzględna liczby a

ta sama liczba, jeśli $a$ jest liczbą nieujemną lub liczba do niej przeciwna, czyli $- a$ , jeśli $a$ jest liczbą ujemną

zbiór wartości funkcji

zbiór wszystkich tych liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów

4. Symetria środkowa względem punktu (0, 0)

M_R_W08_M2 Przekształcanie wykresów

5*. Inne przekształcenia wykresów funkcji: y = f(|x|) , y = |f(x)|. (DODATEK)

Wykres funkcji y=fx

Wykres funkcji y=fx

Słownik

Wykres funkcji $y = |f (x)|$

Wykres funkcji $y = f (|x|)$