• Opiszesz za pomocą nierówności sytuację przedstawioną słownie.

• Rozwiążesz prostą nierówność wielomianową różnymi metodami.

Nierównością wielomianową stopnia $n$ nazywamy każdą nierówność  postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$,

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$.

Rozwiążemy nierówność $\left(x+4\right){\left(x-1\right)}^2\le 0$.

Lewa strona nierówności jest wielomianem $W\left(x\right)=\left(x+4\right){\left(x-1\right)}^2$, zapisanym w postaci iloczynowej. Liczba $\left(-4\right)$ jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu, liczba $1$ jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.

Ułożymy „siatkę znakówsiatka znakówsiatkę znaków”.

Zwróćmy uwagę, że przy przejściu przez pierwiastek podwójny $1$ wartość wielomianu $W\left(x\right)$ nie zmienia znaku.

$W\left(x\right)\le 0\iff x\in \left(-\infty , -4\right.⟩\cup \left\{1\right\}$.

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , -4\right.⟩\cup \left\{1\right\}$.

Rozwiążemy nierówność $x\left(x-1\right)\left(x+2\right)<0$, wykorzystując wykres funkcji wielomianowej.

Niech $y=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)$.

Funkcja ma trzy pojedyncze miejsca zerowe $-2$, $0$, $1$.

Aby wykonać szkic wykresu funkcji, zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe.

Wykres rozpoczynamy od prawej strony i od góry, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze niewiadomej jest dodatni $(1>0)$.

Wykres ma kształt „wężyka”, który spotykając się z pierwiastkiem pojedynczym „przechodzi” na drugą stronę osi $X$.

R1AnoDQL30Sxl

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi pustymi kółkami liczbami: $-2, 0, 1$. Liczby te dzielą oś na cztery przedziały, przy czym w każdym z nich funkcja, której wykres przypomina nieregularną sinusoidę, przyjmuje wartości tylko dodatnie albo tylko ujemne, czyli leży nad osią $X$, gdy jej wartości są dodatnie lub pod nią, gdy są ujemne. Pierwszy przedział to przedział otwarty od minus nieskończoności do minus dwóch, tu funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli wykres leży pod osią. Minusami umiejscowionymi między wykresem a osią podkreślono fakt, iż funkcja przyjmuje tu wartości ujemne. Drugi przedział to przedział otwarty od minus dwóch do zera, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie, co oznaczono plusami. Wykres leży nad osią. Trzeci przedział to przedział otwarty od zera do jeden, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne, co oznaczono minusami. Czwarty przedział to przedział otwarty od jeden do plus nieskończoności i tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, co oznaczono plusami.

Zbiór rozwiązań nierówności to $\left(-\infty , -2\right)\cup \left(\mathrm{0,} 1\right)$.

Rozwiążemy nierówność $5x^4-20x^2\le 0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias i wykorzystania wzoru skróconego mnożenia.

$5x^4-20x^2\le 0$

Wyłączymy przed nawias jednomian $5x^2$.

$5x^2\left(x^2-4\right)\le 0$

$5x^2\left(x-2\right)\left(x+2\right)\le 0$

Wyznaczymy miejsca zerowe wielomianu.

5$x^2=0$ lub $x-2=0$ lub $x+2=0$

$x=0$ (podwójny) lub $x=2$ lub $x=-2$

R10DSLtOa4FIF

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi zamalowanymi kółkami liczbami: $-2, 0, 2$. Liczby te dzielą oś na cztery przedziały, przy czym w każdym z nich funkcja, której wykres przypomina nieregularną sinusoidę, przyjmuje wartości dodatnie albo ujemne, czyli leży nad osią $X$, gdy jej wartości są dodatnie lub pod nią, gdy są ujemne. Pierwszy przedział to przedział lewostronnie otwarty od minus nieskończoności do minus dwóch, tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli wykres leży nad osią. Plusami umiejscowionymi między wykresem a osią podkreślono fakt, iż funkcja przyjmuje tu wartości dodatnie. Drugi przedział to przedział domknięty od minus dwóch do zera, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne, co oznaczono minusami. Wykres leży pod osią. Trzeci przedział to przedział domknięty od zera do dwóch, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne, co oznaczono minusami. Czwarty przedział to przedział prawostronnie otwarty od dwóch do plus nieskończoności i tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, co oznaczono plusami.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $⟨-2, 2⟩$.

Rozwiążemy nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową $x^3+x^2-x-1\le 0$ metodą grupowania wyrazów.

$x^3+x^2-x-1\le 0$

$x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)\le 0$

$\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)\le 0$

$\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\le 0$

${\left(x+1\right)}^2\left(x-1\right)\le 0$

Obliczamy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\left(x-1\right)$.

${\left(x+1\right)}^2\left(x-1\right)=0$

${\left(x+1\right)}^2=0$ lub $x-1=0$

$x=-1$ (podwójny) lub $x=1$

R1KxxO0AM2S5T

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi zamalowanymi kółkami liczbami: $-1, 1$. Liczby te dzielą oś na trzy przedziały, przy czym w każdym z nich funkcja, której wykres przypomina nieregularną sinusoidę, przyjmuje wartości dodatnie albo ujemne, czyli leży nad osią $X$, gdy jej wartości są dodatnie lub pod nią, gdy są ujemne. Pierwszy przedział to przedział lewostronnie otwarty od minus nieskończoności do minus jeden, tu funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli wykres leży pod osią. Minusami umiejscowionymi między wykresem a osią podkreślono fakt, iż funkcja przyjmuje tu wartości ujemne. Drugi przedział to przedział domknięty od minus jeden do jeden, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne, co oznaczono minusami. Wykres leży pod osią. Trzeci przedział to przedział lewostronnie domknięty od jeden do plus nieskończoności i tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, co oznaczono plusami.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , 1\right.⟩$.

Rozwiążemy nierówność $81x^4-1\ge 0$, rozkładając lewą stronę nierówności na czynniki za pomocą wzorów skróconego mnożenia.

$81x^4-1\ge 0$

Wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$\left(9x^2-1\right)\left(9x^2+1\right)\ge 0$

$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\left(9x^2+1\right)\ge 0$

Obliczymy miejsca zerowe wielomianu $W\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\left(9x^2+1\right)$.

$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\left(9x^2+1\right)=0$

$x=\frac{1}{3}$ lub $x=-\frac{1}{3}$, $\left(9x^2+1\right)>0$ dla dowolnego $x\in \mathrm{ℝ}$

RKhMoCQqWk6FH

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczonymi zamalowanymi kółkami liczbami: $-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$. Liczby te dzielą oś na trzy przedziały, przy czym w każdym z nich funkcja, której wykres przypomina nieregularną sinusoidę, przyjmuje wartości dodatnie albo ujemne, czyli leży nad osią $X$, gdy jej wartości są dodatnie lub pod nią, gdy są ujemne. Pierwszy przedział to przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do minus jednej trzeciej, tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, czyli wykres leży nad osią. Plusami umiejscowionymi między wykresem a osią podkreślono fakt, iż funkcja przyjmuje tu wartości dodatnie. Drugi przedział to przedział domknięty od minus jednej trzeciej do jednej trzeciej, gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne. Wykres leży pod osią. Trzeci przedział to przedział lewostronnie domknięty od jednej trzeciej do plus nieskończoności i tu funkcja przyjmuje wartości dodatnie, co oznaczono plusami.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest $\left(-\infty , -\frac{1}{3}\right.⟩\cup \left.⟨\frac{1}{3}, \infty \right)$.

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest mniejszy lub równy $6$. Jakie to liczby?

Kolejne liczby naturalne to $x$, $x+1$, $x+2$, $x\in {\mathbb{N}}_{+}$. Zapiszemy i rozwiążemy nierówność.

$x(x+1)(x+2)\le 6$

$x(x^2+2x+x+2)\le 6$

$x(x^2+3x+2)\le 6$

$x^3+3x^2+2x-6\le 0$

Zastosujemy metodę grupowania wyrazów. W tym celu zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$x^3-x^2+4x^2-4x+6x-6\le 0$

$x^2(x-1)-4x(x-1)+6\cdot (x-1)\le 0$

$(x-1)(x^2-4x+6)\le 0$

$x-1=0$ lub $x^2-4x+6=0$

$x=1$ lub $∆={\left(-4\right)}^2-4·6=16-24=-8<0$ (brak rozwiązań)

R1LyAa8yn6GSt

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ z zaznaczoną zamalowanym kółkiem liczbą: $1$. Liczby te dzielą oś na dwa przedziały, przy czym w każdym z nich funkcja, której wykres przypomina nieregularną sinusoidę, przyjmuje wartości dodatnie albo ujemne, czyli leży nad osią $X$, gdy jej wartości są dodatnie lub pod nią, gdy są ujemne. Pierwszy przedział to przedział prawostronnie domknięty od minus nieskończoności do jeden, tu funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli wykres leży pod osią. Minusami umiejscowionymi między wykresem a osią podkreślono fakt, iż funkcja przyjmuje tu wartości ujemne. Drugi przedział to przedział lewostronnie domknięty od jeden

Uwzględniając warunki zadania $x=1$.

$x+1=2$

$x+2=3$

Szukane liczby to $1$, $2$, $3$. Są to jedyne liczby naturalne dodatnie spełniające warunki zadania.

każda nierówność postaci:

$W\left(x\right)>0$ lub $W\left(x\right)\ge 0$ lub $W\left(x\right)<0$ lub $W\left(x\right)\le 0$

gdzie:
$W$ – jest wielomianem stopnia $n$

tabela, za pomocą której określamy znak wielomianu w poszczególnych przedziałach