5. Podobieństwo. Czworokąty podobne

R18BDEYAm91yH

W życiu codziennym bardzo często spotykamy się z przekształceniem, które nosi nazwę podobieństwa. Na przykład możemy zaobserwować wieżę Eiffla w rzeczywistych rozmiarach w Paryżu oraz jej pomniejszenie w parku miniatur.

R1GeZTTOa9aT3

Na ilustracji przedstawiono panoramę Paryża. W centrum fotografii znajduje się wieża Eiffla, na tle malowniczego nieba. — Wieża Eiffla, Paryż, Francja
Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

W materiale omówimy, czym jest podobieństwo, podamy jego cechy oraz wprowadzimy pojęcie skali podobieństwa figur, chociaż nie tylko figury płaskie, ale bryły geometryczne też mogą być podobne. Opierając się na części teoretycznej oraz omówionych przykładach, rozwiążemy ćwiczenia interaktywne.

Twoje cele

Określisz definicję podobieństwa dwóch figur.
Uzasadnisz podobieństwo dwóch figur.
Obliczysz skalę podobieństwa figur podobnych za pomocą różnych zależności.
Poznasz warunki charakteryzujące czworokąty podobne.
Wykorzystasz zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów matematycznych.

Wprowadźmy definicję i własności podobieństwapodobieństwopodobieństwa.

Podobieństwo

Definicja: Podobieństwo

Przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w pewnym stosunku nazywamy podobieństwem.

Podobieństwo o skali

k

Definicja: Podobieństwo o skali

k

Podobieństwem o skali $k > 0$ nazywamy takie przekształcenie $P$ płaszczyzny na tę samą płaszczyznę (mówimy wówczas o podobieństwie płaszczyzny) lub przestrzeni na tę samą przestrzeń (mówimy wówczas o podobieństwie przestrzeni), w którym

|A' B'| = k \cdot |A B|

gdzie:
$A$ i $B$ – są dwoma dowolnymi punktami,
$A'$ i $B'$ – obrazami tych punktów w przekształceniu $P$ .

Wobec tego definicję figur podobnych możemy sformułować następująco:

Figury podobne

Definicja: Figury podobne

Figury nazywamy podobnymi wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem drugiej w pewnym podobieństwie. Relację podobieństwa figur oznaczamy symbolem „ $~$ ”. Fakt, że figura $F$ jest podobna do figury $G$ możemy zapisać następująco:

F ~ G

Skalę $k > 0$ tego podobieństwa nazywamy wtedy skalą podobieństwa figury $G$ do figury $F$ .

Własności podobieństwa

Własność: Własności podobieństwa

Własności podobieństwa:

zachowuje stosunek odcinków,

przekształca kąt w kąt do niego przystający,

zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.

O figurach, mających ten sam kształt, a różniących się co najwyżej wielkością mówimy, że są podobne.

Wprowadźmy definicję wielokątów podobnych.

Wielokąty podobne

Definicja: Wielokąty podobne

O dwóch wielokątach mówimy, że są podobne, jeśli miary ich kątów są odpowiednio równe, a długości odpowiednich boków są proporcjonalne.

R1YUQXOJCZ9OT

Na ilustracji przedstawiono dwa pięciokąty, różniące się długością boków. Długości boków mniejszego pięciokąta oznaczono a, b, c, d, e. Długości boków drugiego pięciokąta oznaczono a', b', c', d', e'. Kąty w obu pięciokątach między odpowiadającymi sobie bokami, są takie same. Zaznaczono kąt α, β, γ, ϖ, ε.

Zatem

\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = \frac{d'}{d} = \frac{e'}{e}

Współczynnik proporcjonalności odpowiadających sobie boków w wielokątach podobnych będziemy nazywać skalą podobieństwaskala podobieństwaskalą podobieństwa i oznaczać jako $k$ .

Załóżmy, że trójkąty $A' B' C'$ i $A B C$ z rysunków są podobne.

R1NiwyoLXXA9D

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC, oraz A'B'C'. W obu trójkątach zaznaczono kąty α, β i γ. Odpowiednio przy wierzchołkach A i A' znajduje się kąt α. Przy wierzchołkach B i B' znajduje się kąt β. Przy wierzchołkach C i C' znajduje się kąt γ.

Wówczas skalę podobieństwa $k$ tych trójkątów obliczamy z zależności:

k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}

o skali podobieństwa

Twierdzenie: o skali podobieństwa

Jeżeli figura o obwodzie długości $L'$ jest podobna do figury o obwodzie długości $L$ , to skalę podobieństwa tych figur obliczamy ze wzoru:

k = \frac{L'}{L}

Dowód

Załóżmy bez utraty ogólności, że trójkąt $A' B' C'$ jest podobny do trójkąta $A B C$ w skali $k$ .

R14UACUIs1Arn

Zatem:

$k = \frac{a'}{a}$ , czyli $a' = k \cdot a$

$k = \frac{b'}{b}$ , czyli $b' = k \cdot b$

$k = \frac{c'}{c}$ , czyli $c' = k \cdot c$

Wobec tego:

$\frac{L'}{L} = \frac{a' + b' + c'}{a + b + c} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c} = \frac{k \cdot (a + b + c)}{a + b + c} = k$

Jeżeli skala podobieństwa $k = 1$ , to przekształcenie jest izometriąizometriaizometrią.

o skali figur podobieństwa figur podobnych

Twierdzenie: o skali figur podobieństwa figur podobnych

Jeżeli figura $F$ jest podobna do figury $G$ w skali $k$ , to figura $G$ jest podobna do figury $F$ w skali $\frac{1}{k}$ .

Ważne!

Każde dwa wielokąty foremne, mające tę samą liczbę boków są podobne.

Każde dwa odcinki są podobne.

Każde dwa koła są podobne.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy równoległoboki przedstawione na poniższych rysunkach są podobne.

RA4xrb3LBSYmx

Na ilustracji przedstawiono dwa równoległoboki różniące się długością boków. Zaznaczono ich kąty wewnętrzne. W równoległoboku pierwszym, długość dłuższego boku jest równa 9, natomiast długość krótszego boku wynosi 43. Kąt ostry między bokami wynosi 50°, natomiast kąt rozwarty jest równy β. W drugim równoległoboku, długość krótszego boku wynosi 273, natomiast długość dłuższego boku wynosi trzydzieści sześć. Kąt ostry między bokami wynosi α, natomiast kąt rozwarty między bokami wynosi 130°.

Rozwiązanie:

Ponieważ figury przedstawione na rysunkach są równoległobokami, zatem $α = 50 °$ oraz $β = 130 °$ .

Jeżeli figury mają te same kąty, to wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie boki są proporcjonalne.

Wobec tego:

$\frac{36}{4 \sqrt{3}} = \frac{27 \sqrt{3}}{9}$

Ponieważ równość jest prawdziwa, zatem równoległoboki z rysunku są podobne.

Przykład 2

Trójkąt prostokątny $T_{1}$ o przyprostokątnych długości $12$ i $16$ jest podobny do trójkąta prostokątnego $T_{2}$ o przeciwprostokątnej długości $40 \sqrt{2}$ . Obliczymy obwód trójkąta $T_{2}$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy rysunki pomocnicze trójkątów $T_{1}$ i $T_{2}$ i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RU3u65mRyKZx5

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty prostokątne, które są względem siebie podobne. Mniejszy trójkąt T1, oraz większy T2. W trójkącie T1, przyprostokątne są długości 12 i 16, natomiast przeciwprostokątną oznaczono małą literą c. W trójkącie T2a, przyprostokątne oznaczono a i b, natomiast długość przeciwprostokątnej jest równa 402.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość przeciwprostokątnej $c$ trójkąta $T_{1}$ .

Zatem

$12^{2} + 16^{2} = c^{2}$

$c^{2} = 400$

$c = 20$

Obliczamy skalę podobieństwa $k$ trójkąta $T_{2}$ do trójkąta $T_{1}$ .

Wobec tego:

$k = \frac{40 \sqrt{2}}{20} = 2 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{2} = \frac{a}{16}$

$a = 32 \sqrt{2}$

$2 \sqrt{2} = \frac{b}{12}$

$b = 24 \sqrt{2}$

Zatem obwód trójkąta $T_{2}$ jest równy:

$L = 24 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2} + 40 \sqrt{2} = 96 \sqrt{2}$

Ważne!

Jeżeli dwie figury są podobne, to każde odpowiadające sobie odcinki w obu figurach są do siebie proporcjonalne. Tymi odcinkami są (o ile istnieją) wysokości, przekątne, środkowe itp.

Przykład 3

Dwa romby są podobne w skali $\frac{5}{3}$ . Obliczymy obwód każdego z nich, jeżeli długości przekątnych mniejszego rombu są równe $4 \sqrt{3}$ i $4$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy dwa romby $R_{1}$ i $R_{2}$ , które są podobne i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższych rysunkach.

RzZ7AmHKF8iY9

Na ilustracji przedstawiono dwa romby które są względem siebie podobne. Mniejszy romb R1 i większy romb R2. W rombie R1 długość boku oznaczono małą literą a. Długość dłuższej przekątnej wynosi 43, natomiast długość krótszej przekątnej jest równa cztery. W rombie R2 oznaczono jedynie bok a'.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość boku mniejszego rombu.

Zatem:

$a^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}$

$a^{2} = 16$

$a = 4$

Ponieważ skala $k = \frac{5}{3}$ , zatem:

$k = \frac{a'}{a}$

$\frac{5}{3} = \frac{a'}{4}$

$a' = \frac{20}{3}$

Wobec tego obwody rombów $R_{1}$ i $R_{2}$ wynoszą odpowiednio:

$L = 4 \cdot 4 = 16$

$L' = 4 \cdot \frac{20}{3} = \frac{80}{3}$

Przykład 4

Dane są równoległoboki $A B C D$ oraz $A' B' C' D'$ , które są podobne. Krótsza przekątna równoległoboku $A B C D$ tworzy z jego krótszym bokiem kąt prosty. Obliczymy obwody obu równoległoboków, jeżeli boki równoległoboku $A B C D$ wynoszą $6$ i $12$ , a krótsza przekątna równoległoboku $A' B' C' D'$ ma długość $8 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Narysujmy równoległoboki $A B C D$ oraz $A' B' C' D'$ , które są podobne oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

R1KdOoyVg6A4G

Na ilustracji przedstawiono mniejszy równoległobok ABCD, oraz większy A'B'C'D'. Równoległoboki są względem siebie podobne. W równoległoboku ABCD, długość krótszego boku wynosi 6, natomiast długość dłuższego boku jest równa dwanaście. Wewnątrz tego równoległoboku zaznaczono przekątną x. W równoległoboku A'B'C'D' zaznaczono przekątną wewnątrz figury, jest równa 83.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej $x$ w równoległoboku $A B C D$ .

Zatem

$x^{2} + 6^{2} = 12^{2}$

$x^{2} + 36 = 144$

$x^{2} = 108$

$x = 6 \sqrt{3}$ .

Niech $k$ będzie skalą podobieństwa równoległoboku $A' B' C' D'$ do równoległoboku $A B C D$ .

Wtedy $k = \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{3}} = \frac{4}{3}$ .

Obwód $L$ równoległoboku $A B C D$ wynosi:

$L = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 12 = 12 + 24 = 36$ .

Niech $L'$ będzie obwodem równoległoboku $A' B' C' D'$ .

Jeżeli skala podobieństwa $A' B' C' D'$ do równoległoboku $A B C D$ wynosi $\frac{4}{3}$ , to:

$\frac{4}{3} = \frac{L'}{36}$ .

Wobec tego $L' = 48$ .

Zatem obwody omawianych równoległoboków wynoszą odpowiednio $36$ i $48$ .

Przykład 5

Wiadomo, że suma obwodów dwóch figur podobnych wynosi $224$ . Wyznaczymy obwody tych figur, jeżeli wiadomo, że ich skala podobieństwa wynosi $\frac{2}{5}$ .

Rozwiązanie:

Niech $L_{1}$ i $L_{2}$ będą obwodami dwóch figur podobnych.

Do wyznaczenia wartości $L_{1}$ i $L_{2}$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 224 \\ \frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{2}{5} \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do postaci:

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 224 \\ L_{1} = \frac{2}{5} \cdot L_{2} \end{cases}$

Wobec tego:

$\frac{2}{5} L_{2} + L_{2} = 224$

$\frac{7}{5} L_{2} = 224$

$L_{2} = 224 \cdot \frac{5}{7} = 160$

Zatem:

$L_{1} = 224 - 160 = 64$

Zatem obwody tych figur wynoszą odpowiednio $64$ i $160$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami figur podobnych, które możemy zauważyć w różnych figurach geometrycznych.

R1OoYtt5SPpQ6

RlatvLe3JLh2v

RE7GOHXp5q1wG

R1bqVsULyvJtU

RBPdtHYQiQ0rm

R5kJuvaK94rLN

Polecenie 2

Wyznacz długość odcinka $x$ w każdym z poniższych trójkątów.

RsRe3QjFmeakl

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołku A. Przyprostokątna AB ma długość 12, a przyprostokątna AC ma długość pięć. Poprowadzono odcinek DE równoległy do przyprostokątnej AB, oraz odcinek EF, równoległy do przyprostokątnej AC. Punkt E, jest punktem wspólnym obu odcinków i leży na przyprostokątnej BC. Odcinek BF ma długość cztery. Odcinek EE ma długość x.

RwHh9hNkng5OJ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC o podstawie AB równej dwadzieścia cztery. Zaznaczono punkt D, dzielący bok trójkąta w stosunku 1 do trzech, na odcinek 2y oraz y. Odcinek x, jest odcinkiem równoległym do podstawy AB, łączącym punkt D z punktem E. Kąty CAB oraz CDE są równe alfa.

RjuCI4onzm1w1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, z kątem prostym przy wierzchołku A. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną BC z wierzchołka A, wynosi x. Wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinek długości 2 i x+4.

a) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych wynika zależność:

$\frac{5}{12} = \frac{x}{4}$

Zatem $x = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ .

b) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynika zależność:

$\frac{24}{x} = \frac{3 y}{y}$

Zatem

$x = 8$

c) Z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych otrzymujemy zależność:

$\frac{x}{2} = \frac{x + 4}{x}$

$x^{2} = 2 \cdot (x + 4)$

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

$∆ = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) = 4 + 32 = 36$

$x_{1} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 < 0$

$x_{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 > 0$

Zatem $x = 4$ .

o podobieństwie czworokątów

Twierdzenie: o podobieństwie czworokątów

$1 .$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie kąty oraz równe stosunki odpowiednich boków.

$2 .$ Czworokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki odpowiednich boków i stosunki odpowiednich przekątnych są równe.

Przykład 6

Pokażemy, że równe stosunki odpowiednich boków nie wystarczą do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie

Wystarczy wziąć rombrombromb, który nie jest kwadratem i kwadratkwadratkwadrat o takich samych długościach boków. Czworokąty te mają równe boki, ale odpowiednie kąty nie są równe.

Przykład 7

Pokażemy, że równość miar odpowiednich kątów nie wystarczy do pokazania podobieństwa czworokątów.

Rozwiązanie

Wystarczy wziąć kwadrat i prostokąt, który nie jest kwadratem. Czworokąty te mają równe kąty, ale stosunki odpowiednich boków nie są równe.

Przy ocenie czy czworokąty są podobne stajemy przed problemem określenia co to znaczy, że kąty i boki są odpowiednie. Należy dopasowywać boki i kąty poprzez szukanie cech charakterystycznych, na przykład porównujemy boki po uporządkowaniu w kolejności malejącej. Można również wziąć dłuższą/ krótszą przekątną, wysokości itp. Ważna jest też równoległość i prostopadłość boków i innych odcinków w czworokącie.

Przykład 8

Czworokąty $A B C D$ i $A' B' C' D'$ są podobne. Boki czworokąta $A B C D$ mają długości $8$ , $4$ , $16$ i $12$ centymetrów. Najdłuższy bok czworokąta $A' B' C' D'$ ma
$20 cm$ .

Wyznaczymy długości pozostałych boków czworokąta $A' B' C' D'$ .

Rozwiązanie

Najdłuższy bok czworokąta $A B C D$ ma długość $16 cm$ i odpowiada on najdłuższemu bokowi czworokąta $A' B' C' D'$ o długości $20 cm$ .

Stosunek tych boków wynosi $k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ . Stąd stosunek pozostałych boków też jest równy $k$ , więc boki czworokąta $A' B' C' D'$ zapisane w kolejności malejącej mają długości:

$20$ , $12 \cdot \frac{5}{4} = 15$ , $8 \cdot \frac{5}{4} = 10$ , $4 \cdot \frac{5}{4} = 5$ centymetrów.

równoległoboków podobnych

Własność: równoległoboków podobnych

Równoległobok o bokach $a \geq b$ jest podobny do równoległoboku o bokach $c \geq d$ wtedy i tylko wtedy, gdy mają przynajmniej jeden kąt równy i $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Dowód

Jeśli znamy jeden z kątów równoległoboku, to potrafimy jednoznacznie wyznaczyć pozostałe kąty, więc kryterium równości kątów jest spełnione. Jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , to po przekształceniu tej proporcji mamy $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ . Stąd stosunki odpowiednich boków są równe.

Przykład 9

Pokażemy, że romby, które mają przynajmniej jeden kąt równy są podobne.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, romby mają równe boki, więc stosunek boków w dowolnym rombie jest $1$ . Informacja o równości przynajmniej jednego kąta prowadzi do wyznaczenia pozostałych kątów. Ostatecznie, z własności równoległobokówrównoległobokrównoległoboków podobnych, takie romby są podobne.

prostokątów podobnych

Własność: prostokątów podobnych

Prostokąt o bokach $a \geq b$ jest podobny do prostokąta o bokach $c \geq d$ jeśli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Dowód

Prostokąty mają wszystkie kąty równe, więc kryterium równości kątów jest spełnione. Równość stosunków odpowiednich boków wynika z własności równoległoboków podobnych.

Przykład 10

Mamy do wyboru dwa telewizory, oba w rozdzielczości $3840 \times 2160 px$ . Mniejszy ma przekątną $55$ cali a większy – $65$ cali. Pokażemy, że ekrany obu telewizorów są podobnymi prostokątamiprostokątprostokątami oraz wyznaczymy skalę podobieństwa $k$ .

Rozwiązanie

Rozdzielczość ekranu $3840 \times 2160 px$ mówi, że jest $3840$ pikseli w każdej linii, a linii tych jest $2160$ . Przyjmujemy, że piksel jest małym kwadracikiem.

Zatem rozdzielczość mówi o proporcji obrazu, czyli o stosunku boku dłuższego do krótszego.

Stąd ekrany tych telewizorów są podobne w skali $k = \frac{55}{65} = \frac{11}{13}$ .

Przykład 11

Główną zasadą perspektywy w malarstwie (zobacz rysunek z wprowadzenia do tego materiału) jest to, że rzeczywiste pionowe obiekty równej wysokości i równooddalone od siebie, czyli tworzące przystające prostokąty, przekształcane są na trapezytrapeztrapezy podobne. Załóżmy, że latarnie $F K$ , $D L$ , $B M$ mają w rzeczywistości równe wysokości.

Na rysunku wykonanym zgodnie z zasadami perspektywy w malarstwie, otrzymaliśmy trapezy o podstawach $2$ , $3$ , $4$ .

R1EKSPRImGF2k

Ilustracja przedstawia Trapez prostokątny K F D L leżący na prostym boku F D, jego dłuższą podstawą jest odcinek K F. Obok znajduje się podobny trapez L D B M, także leżący na prostym boku, jego dłuższą podstawą jest odcinek L D. Odcinki F B i K M przedłużono, a miejsce ich przecięcia się utworzyło punkt S. Powstał trójkąt prostokątny K F S. Odcinek K F ma długość cztery, odcinek L D ma długość trzy, odcinek M B ma długość dwa, natomiast odcinki F D i D B mają długość dwa.

Pokażemy, że w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$ .

Rozwiązanie

Gdyby odległości między latarniami $K$ i $L$ oraz $L$ i $M$ były równe, to trapezy $K L D F$ oraz $L M B D$ byłyby podobne. Wtedy stosunki odpowiednich boków, w szczególności podstaw trapezów byłyby równe.

Obliczmy $\frac{|K F|}{|L D|} = \frac{4}{3}$ , $\frac{|L D|}{|M B|} = \frac{3}{2}$ . Te stosunki nie są równe, więc w rzeczywistości odległość między latarniami $K$ i $L$ jest inna niż między $L$ i $M$ .

Polecenie 3

Na ekranie widać dwa czworokąty podobne.
Poruszaj suwakiem w celu wybrania skali podobieństwa.
W jednym z czworokątów można zmieniać położenie wierzchołków. Drugi pojawia się automatycznie jako podobny do pierwszego w podanej skali.
Obserwuj zależność: skala $k$ , długość boku, pole. Zwróć uwagę, że obliczenia wykonane są z pewnym przybliżeniem.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.

R13pAV963p8eb

Polecenie 4

RBczzUAMIRl7T

Polecenie 5

Na rysunku dane są czworokąty podobne.

RzGDfiXNacioq

Ilustracja przedstawia czworobok A B C D z zaznaczonym kątem alfa przy wierzchołku A. Odcinek A D ma długość dwa, odcinek D C ma długość trzy, natomiast odcinek B C ma długość pięć. Obok czworoboku A B C D znajduje się czworobok K L M N, z zaznaczonym kątem beta przy wierzchołku K. Odcinek L M ma długość cztery i jest najkrótszym odcinkiem w figurze.

Wskaż poprawną odpowiedź.

Riheh8EOrWm80

R1P1CavqnoAu7

RY5QtXmEF2Rkc

RJ6duRQVBScfX

R22kXh3YOSljo

Riheh8EOrWm80

R1P1CavqnoAu7

RY5QtXmEF2Rkc

RJ6duRQVBScfX

R22kXh3YOSljo

R1eJXZbhdPHy91

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Wskaż wszystkie zdania, które są prawdziwe.

Trójkąty równoboczne przedstawione na poniższych rysunkach są podobne w skali $k = \sqrt{2}$ .

RWruTUc0W2kZh

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty równoboczne, w które wpisano okrąg. Figury są do siebie podobne i różnią się rozmiarem. Długości boków większego trójkąta oznaczono a. Promień okręgu wpisanego oznaczono r. W drugim, mniejszym trójkącie, długości boków oznaczono a prim, natomiast promień okręgu wpisanego r prim.

RHb7rN9o4K44F

Ćwiczenie 3

Kwadrat $K_{1}$ , w którym przekątna jest o $2$ dłuższa od boku jest podobny do kwadratu $K_{2}$ w skali $k = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Oblicz obwód kwadratu $K_{2}$ .

Jeżeli $a$ jest długością boku kwadratu $K_{1}$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = a + 2$

$a \sqrt{2} - a = 2$

$a \cdot (\sqrt{2} - 1) = 2$

$a = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} + 2$

Wobec tego obwód kwadratu $K_{1}$ jest równy:

$L_{1} = 4 \cdot (2 \sqrt{2} + 2) = 8 \sqrt{2} + 8$

Z podobieństwa tych kwadratów zachodzi zależność $k = \frac{L_{1}}{L_{2}}$ , gdzie $L_{2}$ jest obwodem kwadratu $K_{2}$ .

Zatem:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{2} + 8}{L_{2}}$

$L_{2} = \frac{16 \sqrt{2} + 16}{\sqrt{3}} = \frac{16 \sqrt{6} + 16 \sqrt{3}}{3}$

Ćwiczenie 4

R1cZmDWJ7diCi

Ćwiczenie 5

RmnzrcQD6u5XZ

RreBaDKXDkk9c

Ćwiczenie 6

Wiadomo, że suma obwodów dwóch figur podobnych wynosi $264$ . Wyznacz obwody tych figur, jeżeli wiadomo, że ich skala podobieństwa wynosi $\frac{5}{6}$ .

Niech $L_{1}$ i $L_{2}$ będą obwodami dwóch figur podobnych.

Do wyznaczenia wartości $L_{1}$ i $L_{2}$ rozwiązujemy układ równań.

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 264 \\ \frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Układ równań przekształcamy do postaci:

$\{\begin{cases} L_{1} + L_{2} = 264 \\ L_{1} = \frac{5}{6} \cdot L_{2} \end{cases}$ .

Wobec tego:

$\frac{5}{6} L_{2} + L_{2} = 264$

$\frac{11}{6} L_{2} = 264$

$L_{2} = 264 \cdot \frac{6}{11} = 144$ .

Zatem:

$L_{1} = 264 - 144 = 120$ .

Zatem obwody tych figur wynoszą odpowiednio $120$ i $144$ .

Ćwiczenie 7

RLTq1wonN9rWt

Ćwiczenie 8

Boki czworokąta $A B C D$ mają długości: $8$ , $10$ , $12$ , $14$ . Suma dwóch najkrótszych boków czworokąta $A' B' C' D'$ , który jest podobny do czworokąta $A B C D$ wynosi $45$ Oblicz długości boków w czworokącie $A' B' C' D'$ .

Narysujmy dwa czworokąty, które są podobne i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunkach.

RYyAH2R8zO5q6

Na ilustracji przedstawiono dwa czworokąty podobne. Pierwszy czworokąt ABCD jest mniejszy. Zaznaczono długości boków. Długość boku AB równa się 14, długość boku BC równa się 10, długość boku CD równa się 8, długość boku AD równa się 12. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A, kąt β przy wierzchołku B, kąt γ przy wierzchołku C, oraz kąt δ przy wierzchołku D. Drugi czworokąt oznaczono A’B’C’D’. Długości boków oznaczono małymi literami alfabetu. Bok A’B’ oznaczono z, bok B’C’ oznaczono y, bok C’D’ oznaczono x, bok A’D’ oznaczono t. Zaznaczono kąty wewnętrzne. Kąt α przy wierzchołku A', kąt β przy wierzchołku B', kąt γ przy wierzchołku C', oraz kąt δ przy wierzchołku D'.

Z przyjętych oznaczeń oraz z treści zadania wynika, że $x + y = 45$ .

Zatem $y = 45 - x$ .

Wobec faktu, że czworokąty są podobne, zachodzą następujące zależności:

$\frac{8}{x} = \frac{10}{45 - x}$

$8 \cdot (45 - x) = 10 \cdot x$

$360 - 8 x = 10 x$

Zatem $x = 20$ .

Wobec tego obliczamy długości pozostałych boków:

$y = 45 - 20 = 25$

$\frac{t}{12} = \frac{20}{8}$

$t = 30$

$\frac{z}{14} = \frac{20}{8}$

$z = 35$

Ćwiczenie 9

Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi.

RsiggsVAdsEKO

R1Fl6iiauxyy1

RsiggsVAdsEKO

R1Fl6iiauxyy1

Ćwiczenie 10

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RTA1VzqFrqUFT

RBHzAhXymHJXN

RTA1VzqFrqUFT

RBHzAhXymHJXN

Ćwiczenie 11

Zaznacz prawidłową odpowiedź.

RfMS60XRhbOZ4

Ilustracja przedstawia cztery trapezy. Trapez A, długość jego dłuższej podstawy wynosi dziesięć kratek, natomiast długość podstawy krótszej wynosi trzy kratki. Wysokość figury ma długość trzech kratek. Trapez B, leży on na krótszej podstawie, długość jego dłuższej podstawy wynosi dziesięć kratek, natomiast długość podstawy krótszej wynosi trzy kratki. Wysokość figury ma długość trzech kratek. Trapez C, długość jego dłuższej podstawy wynosi trzynaście kratek, natomiast długość podstawy krótszej wynosi cztery kratki. Wysokość figury ma długość czterech kratek. Trapez D, długość jego dłuższej podstawy wynosi jedenaście kratek, natomiast długość podstawy krótszej wynosi pięć kratek. Wysokość figury ma długość czterech kratek.

R9ldp3Xjq0GWZ

Ćwiczenie 12

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Czworokąty na rysunku są podobne.

RlFKISnucubOP

Ilustracja przedstawia dwa czworokąty. Pierwszy A B C D w którym odcinek A B ma długość siedem przecinek pięć, odcinek B C ma długość sześć, odcinek C D ma długość cztery oraz odcinek D A ma długość trzy. Drugi czworokąt R S P Q, odcinek P S ma długość trzy i jest to najkrótszy bok w figurze.

Rd4A1XyVHIHBX

Ćwiczenie 13

Zaznacz prawidłową odpowiedź. Czworokąty na rysunku są podobne.

RGC0R1LFjCVyi

Ilustracja przedstawia dwa czworokąty. Pierwszy A B C D w którym odcinek A B ma długość cztery, odcinek B C ma długość dziewięć, odcinek C D ma długość dziesięć oraz odcinek D A ma długość dwanaście. Drugi czworokąt A prim B prim C prim D prim, odcinek A prim D prim ma długość osiem i jest to najdłuższy bok w figurze. Odcinek B prim C prim ma długość x.

RLv9JmAiuOU4J

Ćwiczenie 14

Ile na rysunku jest prostokątów podobnych do podanego prostokąta o bokach $2$ i $1$ ?

R17JT8yg3i2gt

Ilustracja przedstawia mały prostokąt o wymiarach dwa na jeden oraz jeden duży składający się z wielu małych. Budowa dużego prostokąta wygląda następująca, na początku górna połowa figury składa się z dwóch sklejonych ze sobą poziomych małych prostokątów, po ich prawej stronie znajduje się taka sama para dwóch prostokątów, następnie jeden pionowy prostokąt, później znów dwie pary poziomych prostokątów oraz na koniec jeden pionowy prostokąt. Dolna połowa wygląda podobnie, jedyną różnicą jest zamiana kolejności. Szyk zaczyna się od jednego pionowego prostokąta, następnie dwie pary dwóch sklejonych ze sobą poziomych, następnie znów jeden pionowy mały prostokąt i pod koniec dwie pary poziomych prostokątów.

Mamy $20$ prostokątów podobnych do danego w skali $k = 1$ .

Są $4$ prostokąty podobne do danego w skali $k = 2$ .

Razem mamy $24$ prostokąty podobne do danego.

Ćwiczenie 15

Ile jest rombów podobnych do rombu niebieskiego na rysunku?

RQhR5rUw6rmyW

Ilustracja przedstawia gwiazdę zbudowaną z sześciu takich samych rombów sklejonych ze sobą. W środku figury znajduje się sześciokąt foremny, a z każdej ściany bocznej wychodzi jeden trójkąt równoboczny.

Dla dociekliwych: Poszukaj innych czworokątów podobnych.

Mamy $6$ rombów podobnych do danego w skali $k = 1$ . Są one zbudowane z $2$ trójkątów równobocznych jednego koloru.

Mamy też $6$ rombów podobnych do danego w skali $k = 1$ i są one zbudowane z $2$ trójkątów równobocznych różnych kolorów.

Są też trzy romby podobne do danego w skali $k = 2$ . Zawierają one wewnętrzny sześciokąt i dwa trójkąty równoboczne tego samego koloru.

Razem mamy $15$ rombów podobnych do wskazanego rombu.

Ćwiczenie 16

Na rysunku przedstawione są $3$ trapezy.

ROfQvGOuvEo5X

Ilustracja przedstawia trapez A B C D, gdzie odcinek A B jest dłuższą podstawą trapezu i ma długość a, natomiast odcinek D C ma długość c i jest krótszą podstawą trapezu. Na odcinkach A D i C B na tej samej wysokości zaznaczono kolejno punkty F na odcinku A D i punkt G na odcinku B C. Odcinek F G jest równoległy do podstaw trapezu A B C D i ma długość b.

Wykaż, że jeśli trapez $A B G F$ jest podobny do trapezu $F G C D$ , to podstawa $b$ jest średnią geometryczną podstaw $a$ i $c$ .

Jeśli trapezy są podobne, to stosunki odpowiednich podstaw są równe, czyli $\frac{c}{b} = \frac{b}{a}$ . Stąd $b^{2} = a c$ , więc $b = \sqrt{a c}$ . Zatem $b$ jest średnią geometryczną $a$ i $b$ .

Słownik

podobieństwo

przekształcenie geometryczne, które zachowuje stosunek odległości punktów płaszczyzny

przystawanie

identyczność kształtu i wielkości figur

cechy podobieństwa trójkątów

warunki konieczne i wystarczające, aby dwa trójkąty były podobne

izometria

przekształcenie geometryczne, przy którym odległość punktów nie ulega zmianie, np. przesunięcie równoległe, obrót, symetria względem prostej, punktu lub płaszczyzny

skala podobieństwa

liczba dodatnia, wyrażająca stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych

4. Deltoid i jego własności

6. Okrąg opisany na czworokącie

5. Podobieństwo. Czworokąty podobne

Słownik