5. Pole trapezu

R3Ndn66uXjgCu

Jak zaplanować ilość dachówek lub blachy na pokrycie powierzchni dachu w kształcie trapezu? Jak zmierzyć powierzchnię działki czy ogrodu o tym samym kształcie?

R1MOoXQYiFD7m

Ilustracja przedstawia dom na wzgórzu. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Do rozwiązania tych zagadnień i innych zastosowań wykorzystać możemy wzór na pole trapezu.

Trapez

Definicja: Trapez

Trapez to czworokąt mający co najmniej jedną parę boków równoległych.

RX8hBsG3cr4W91

Rysunek trapezu A B C D. Bok AB jest równoległy do boku CD. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Trapezami są np. równoległoboki. Prostokąt to szczególny przykład trapezu prostokątnego, czyli takiego, w którym jest kąt prosty. Trapez równoramienny to trapez, w którym ramiona są równe i nierównoległe.

Wysokością w trapezie jest odległość między podstawami.

Przykład 1

Znajdź obraz trapezu $A B C D$ w symetrii względem środka boku $B C$ .

R1ahVPHiFCZbp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli podstawy trapezu $A B C D$ mają długości $a$ i $b$ , natomiast odległość między nimi jest równa $h$ , to długość podstawy równoległoboku jest równa $a + b$ , a pole równoległoboku jest dwa razy większe od pola trapezu.

Przykład 2

RbbpLlewCXnlo1

Pole trapezu

Twierdzenie: Pole trapezu

R1XKbT7TXt4RC1

Rysunek trapezu o podstawach a i b i wysokości h. Zapis: P = ułamek, licznik (a +b) razy h mianownik 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trapezu o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$ jest równe

P = \frac{a + b}{2} \cdot h

Obliczanie pola trapezu

Przykład 3

Obwód trapezu równoramiennego jest równy $22 cm$ . Jedna podstawa ma długość $3 cm$ , a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o $1 cm$ krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.

Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając $a$ – długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa:

3 \cdot 3 cm = 9 cm

R1VaPjNytyc9a1

Rysunek trapezu równoramiennego o podstawach 9 cm i 3 cm oraz ramionach długości a. Poprowadzona wysokość h = a -1 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy $22 cm$ , zatem:

2 a + 3 + 9 = 22

2 a + 12 = 22

2 a = 22 - 12

2 a = 10

a = 10 : 2

a = 5

Ramię trapezu ma długość $5 cm$ .

Wysokość jest o $1 cm$ krótsza niż ramię, więc ma długość:

5 cm - 1 cm = 4 cm

Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.

P = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

P = \frac{1}{2} (3 + 9) \cdot 4

P = 24 {cm}^{2}

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe $24 {cm}^{2}$ .

Przykład 4

W trapezie równoramiennym $A B C D$ wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę $A B$ na odcinki: $A E$ długości $8 cm$ i $E B$ długości $25 cm$ . Ramię jest równe krótszej podstawie. Oblicz pole trapezu.

RQcFFH9Ipfg941

Rysunek trapezu A B C D o wysokości h i górnej podstawie AB podzielonej wysokościami na trzy odcinki: AE =8 cm, EF =17 cm, FB =8 cm. Suma długości odcinków EF i FB jest równa długości odcinka EB =25 cm oraz długość odcinka EF jest taka sama jak długość odcinka DC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez jest równoramienny, zatem $| F B | = | A E | = 8 cm$ . Wynika z tego, że

$| D C | = | F E | = 25 cm - 8 cm = 17 cm$ .

Długość ramienia $A D$ jest równa krótszej podstawie, czyli wynosi $17 cm$ .

Wysokość $h$ trapezu obliczamy z trójkąta prostokątnego $A E D$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

h^{2} + {|A E|}^{2} = {|A D|}^{2}

h^{2} + 8^{2} = 1 7^{2}

h^{2} = 17^{2} - 8^{2}

h^{2} = 289 - 64

h^{2} = 225

h = \sqrt{225}

h = 15

Obliczamy pole trapezu.

P = \frac{|A B| + |C D|}{2} \cdot h

P = \frac{(8 + 25) + 17}{2} \cdot 15

P = 375 {cm}^{2}

Pole trapezu jest równe $375 {cm}^{2}$ .

Przykład 5

Podstawy trapezu prostokątnego $A B C D$ są równe $4$ i $10$ . Pole trapezu jest równe $56$ . Oblicz obwód trapezu.

R1ZgkfokNx4Ra1

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D o wysokości CE =h, CE =AD. Wysokość CE poprowadzona z wierzchołka C kąta rozwartego podzieliła podstawę dolną na dwa odcinki AE =4 i EB =6. Ramię trapezu BC =x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy wysokość trapezu $h$ , korzystając ze wzoru na pole trapezu.

P = \frac{4 + 10}{2} \cdot h

56 = 7 h

h = 8

Trójkąt $C E B$ jest prostokątny. Obliczmy długość jego przeciwprostokątnej $x$ na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

h^{2} + 6^{2} = x^{2}

8^{2} + 36 = x^{2}

64 + 36 = x^{2}

x^{2} = 100

x = 10

Zauważmy, że długość ramienia $A D$ jest równa wysokości. Obliczamy obwód trapezu.

L = 8 + 10 + 10 + 4 = 32

Obwód trapezu jest równy $32$ .

Przykład 6

Piaskownica ma kształt sześciokąta o wymiarach (w $cm$ ) podanych na rysunku. Oblicz w $m^{2}$ pole powierzchni zajmowane przez piaskownicę.

R1IAXIOUPCCsu1

Rysunek sześciokąta o bokach długości 150. Wymiary piaskownicy to 260 na 300. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że sześciokąt, w kształcie którego jest piaskownica, możemy podzielić na dwa przystające trapezy o podstawach długości $300 cm$ i $150 cm$ oraz wysokości $\frac{260}{2} cm$ . Pole powierzchni piaskownicy jest więc równe sumie pól tych trapezów.

P = 2 \cdot \frac{300 + 150}{2} \cdot \frac{260}{2}

P = 450 \cdot 130

P = 58500 {cm}^{2}

Zapisujemy pole powierzchni piaskownicy w $m^{2}$ , pamiętając, że $1 {cm}^{2} = 0, 0001 m^{2}$ .

58500 {cm}^{2} = 5,85 m^{2}

Pole powierzchni piaskownicy jest równe $5,85 m^{2}$ .

Ćwiczenie 1

Oblicz pole każdej z figur, przyjmując za jednostkę pole jednej kratki.

RVjFucsaBLnqK1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15C9PDKuLsBj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1BQNfskyswvI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQ9OvbD7Iwf18

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Wykaż, że pola wielokątów $K$ , $M$ , $W$ są równe.

RuU7LUtyn11Re1

Rysunek trzech trapezów K, M, W położonych w układzie współrzędnych. Trapez K ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (-3, -1), (-5, -1),(-6, 2), (-7, 1). Trapez M ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (-1, -1), (1, -1), (3, 1), (2, 2). Trapez W ma wierzchołki w punktach o współrzędnych (3, -3), (5, -3), (2, -6), (1, -5). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIWSlvg9aZxe1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wysokość trapezu jest równa $10 cm$ . Oblicz pole trapezu, wiedząc, że

suma długości jego podstaw jest równa $7 dm$ ;
jedna z podstaw trapezu jest trzykrotnie dłuższa od drugiej, a krótsza podstawa ma długość $9 cm$ ;
jego przekątne są równe i przecinają się w połowie pod kątem prostym;
jest to trapez prostokątny i kąt ostry ma miarę $45 °$ , a krótsza podstawa ma długość $25 mm$ .

Rvvtd3yQjVQRF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw trapezu, a $h$ to jego wysokość.

$P = \frac{7 \cdot 1}{2} {dm}^{2} = 3, 5 {dm}^{2}$ , bo $10 cm = 1 dm$ ;
$P = \frac{(9 + 3 \cdot 9) \cdot 10}{2} {cm}^{2} = 180 {cm}^{2}$ ;
trapez jest kwadratem o boku długości $10 cm$ , $P = 100 {cm}^{2}$ ;
$25 mm = 2,5 cm$ , dłuższa podstawa ma długość $(2,5 + 10) cm = 12,5 cm$ , $P = \frac{(2, 5 + 12, 5)}{2} \cdot 10 = 75 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 4

Oblicz pole każdego z trapezów: $B$ , $M$ , $C$ .

RDjME724F1rDl1

Rysunek trzech trapezów B, M, C. Trapez B ma podstawy długości 2 i 5 oraz wysokość 2, trapez M ma podstawy długości 5 i 10 oraz wysokość 20, trapez C ma podstawy 1 i 2 oraz wysokość jeden. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFF1gT1xbDpdc

Uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. P indeks dolny, B, koniec indeksu dolnego równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwaP indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwaP indeks dolny, C, koniec indeksu dolnego równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. osiem, 3. początek ułamka, nawias, osiem, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, piętnaście, mianownik, cztery, koniec ułamka, 5. początek ułamka, nawias, trzy, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, dwa, 6. początek ułamka, nawias, dwa, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, trzy, 7. sto sześćdziesiąt, 8. siedem, 9. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 10. początek ułamka, nawias, dziesięć, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, razy, dwadzieścia, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. sześć, 12. sto pięćdziesiąt, 13. sto czterdzieści, 14. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 15. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 16. początek ułamka, nawias, jeden, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 17. początek ułamka, nawias, trzy, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, razy, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 18. początek ułamka, nawias, dwa, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, dwa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R474OFyhvzdzA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trapez jest równoramienny, jego wysokość ma $6 cm$ .

Ćwiczenie 6

R3qPlETJ6Znp6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $h$ oznacza wysokość trapezu. Z równania $200 = \frac{(h + 3 h) \cdot h}{2}$ otrzymujemy $h = 10$ . Podstawy mają długości $10$ oraz $30$ . Ramię trapezu ma długość $\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 10 \sqrt{2}$ , obwód wynosi $10 + 30 + 2 \cdot 10 \sqrt{2} = 40 + 20 \sqrt{2}$ .

RAWn2XZgbQzeG

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Ile arów powierzchni ma działka pani Bożeny w kształcie trapezu przedstawionego na rysunku? Wymiary podane są w metrach.

R1QG7xlvJBDmG1

Rysunek trapezu o podstawie górnej długości 80 i wysokości 50. Kąty 30 stopni i 45 stopni leżą przy dolnej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnArOUEwgPizx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zwróć uwagę, że dłuższa podstawa trapezu ma długość $(80 + 50 + 50 \sqrt{3}) m$ .

Działka ma kształt trapezu o wysokości $50 m$ oraz podstawach długości $80 m$ i $(80 + 50 + 50 \sqrt{3}) m$ , jej pole wynosi $(210 + 50 \sqrt{3}) \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} m^{2} = (210 + 50 \sqrt{3}) \cdot 0,25 a$ .

RrT4VuSD500eo

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że każdy trapez możemy przebudować na prostokąt o wymiarach $(a + b)$ na $\frac{h}{2}$ , gdzie $a$ to długość krótszej podstawy trapezu, $b$ to długość dłuższej podstawy trapezu, a $h$ to jego wysokość.

R1c2nFGUr5ibc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zacznijmy od podzielenia trapezu wzdłuż prostej równoległej do obu podstaw, która przecina jego wysokość w połowie.

R11kaRZoQc5zE

Po podziale powstały dwa trapezy. Dolny trapez obracamy o $180 °$ i przysuwamy go do górnego trapezu w taki sposób, aby powstał równoległobok. Zauważmy, że otrzymany równoległobok ma podstawę o długości $(a + b)$ i wysokość równą $\frac{h}{2}$ .

RkHI2FoiGEw7U

Odcinamy od otrzymanego równoległoboku wzdłuż jego wysokości trójkąt, który znajduje się z jego prawej strony i przesuwamy go do lewego boku równoległoboku.

RdFkSkkqCbCd6

W ten sposób otrzymaliśmy prostokąt o wymiarach $(a + b)$ na $\frac{h}{2}$ .

RIxmYZxBEGN1f

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Oblicz, ile wynosi pole trapezu przedstawionego na poniższym rysunku.

R112cpgZmVRA21

Rysunek trapezu prostokątnego o górnej podstawie długości 6 cm, wysokości 2 cm i kącie 45 stopni leżącym przy dolnej podstawie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10v1hj47NLdU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole trapezu jest sumą pola prostokąta o wymiarach $2 cm \times 6 cm$ oraz pola trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $2 cm$ .

Ćwiczenie 13

Wykaż, że pole trapezu $A B C D$ jest równe polu trójkąta $A D F$ .

RMR3Hn0bcx7eP1

Rysunek trapezu A B C D. Na prostej AB, zawierającej dolną podstawę trapezu, za wierzchołkiem B leży punkt F. Punkt E wyznacza środek ramienia BC trapezu i dzieli go na dwa odcinki CE =EB =2 cm. Odcinek DF przechodzący przez punkt E wyznacza trójkąt A D F oraz trójkąty D E C oraz E B F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2UPD2vZ0k2rD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty $B F E$ oraz $D E C$ są przystające.

Zauważmy, że $|C E| = |E B| = 2 cm$ , $|B F| = |D C|$ , a tym samym $|D E| = |E F|$ .

Stąd otrzymujemy, że trójkąty $B F E$ oraz $D E C$ są przystające.

Zatem pole trapezu $A B C D$ jest takie samo jak pole trójkąta $A D F$ .

Ćwiczenie 14

Obraz w kształcie prostokąta ma wymiary $2, 2 m$ i $2, 2 m$ . Drzwi w kształcie prostokąta mają wymiary $1 m$ i $2 m$ . Czy obraz można przenieść przez drzwi?

R1B7sLXzVyYpj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta, w kształcie którego są drzwi, ma długość $\sqrt{5} m > 2, 2 m$ .

Zauważmy, że przekątna prostokąta, w kształcie którego są drzwi, ma długość: $2^{2} + 1^{2} = d^{2} \Rightarrow d = \sqrt{5} m$ .

Ponieważ $\sqrt{5} m \approx 2, 24 m > 2, 2 m$ , zatem obraz można przenieść przez drzwi.

Ćwiczenie 15

R1D9k2RJcxznd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dłuższa podstawa ma długość: $2 \sqrt{10^{2} - 8^{2}} + 8 = 20$ . Pole trapezu jest równe $\frac{(8 + 20) \cdot 8}{2} = 112$ .

Ćwiczenie 16

R1e0nwsc7hhKx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech trapez $A B C D$ będzie rozpatrywanym trapezem o dłuższej podstawie $A B$ oraz krótszej $C D$ . Trójkąt $A B C$ jest prostokątny o kątach $60 °$ i $30 °$ , stąd ramię $B C$ ma długość $6$ . Trójkąt $A D C$ jest równoramienny, więc krótsza podstawa $C D$ trapezu ma długość $6$ . Wysokość trapezu jest równa $\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ , pole trapezu wynosi $27 \sqrt{3}$ .

RIAaTbpiLN7nr

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

4. Pole równoległoboku

6. Pola wielokątów

5. Pole trapezu

Obliczanie pola trapezu

Notatnik