5. Równoległość i prostopadłość wektorów. Iloczyn skalarny wektorów.

R11kMlO21d595

Jednym z najważniejszych pojęć geometrii jest równoległość. To z nią matematycy zmagali się od starożytności i to ona doprowadziła do wyodrębnienia nowych działów matematyki. W tej lekcji dowiesz się, jak poznać, czy wektory o danych współrzędnych są równoległe lub prostopadłe.

Twoje cele

Rozpoznasz, czy wektory są równoległe lub prostopadłe po ich współrzędnych.
Wykorzystasz warunek równoległości i prostopadłości wektorów do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej.
Zastosujesz działania na wektorach do wyznaczania kombinacji liniowej wektorów.
Obliczysz iloczyn skalarny wektorów.
Wyznaczysz cosinus kąta między wektorami przy użyciu iloczynu skalarnego.

Równoległość wektorów

Przypomnijmy najpierw, że niezerowe wektory nazywamy równoległymi jeśli ich kierunki są równoległe (są zawarte w prostych równoległych).

Niezerowe wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista $k \neq 0$ , że jeden z nich jest iloczynem drugiego przez liczbę $k$ .

Uzasadnimy teraz kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych.

Rozważmy niezerowe wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ oraz załóżmy, że są one równoległe. Może zajść jedna z możliwości:

Jeśli $a = 0$ , to wektor $\vec{u}$ jest równoległy do osi $y$ , zatem wektor $\vec{v}$ jest również równoległy do osi $y$ , co oznacza, że $c = 0$ . Wobec tego $a d - b c = 0 \cdot d - b \cdot 0 = 0$ .
Jeśli $b = 0$ , to wektor $\vec{u}$ jest równoległy do osi $x$ , zatem wektor $\vec{v}$ jest również równoległy do osi $x$ , co oznacza, że $d = 0$ . Wobec tego
$a d - b c = a \cdot 0 - 0 \cdot c = 0$ .
Jeśli $a \neq 0$ i $b \neq 0$ , to wektor $\vec{u}$ nie jest równoległy do żadnej z osi układu, zatem wektor $\vec{v}$ również nie jest równoległy do żadnej z osi układu, co oznacza, że $c \neq 0$ i $d \neq 0$ . Ponieważ wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, to istnieje taka liczba rzeczywista $k \neq 0$ , że jeden z nich jest iloczynem liczby $k$ przez drugi. Przyjmijmy, że $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ , co jest równoważne równości $[a; b] = k \cdot [c; d]$ . Dalej mamy $[a; b] = [k c; k d]$ , czyli $a = k c$ i $b = k d$ , co prowadzi do równań $k = \frac{a}{c}$ i $k = \frac{b}{d}$ , z których wynika, że $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ , czyli $a d - b c = 0$ .

Z powyższych rozważań wynika kryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów:

Niezerowe wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy między ich współrzędnymi zachodzi związek $a d - b c = 0$ .

Przykład 1

Wektory o współrzędnych $[2; - 3]$ i $[- 6; 9]$ są równoległe, ponieważ $[- 6; 9] = - 3 \cdot [2; - 3]$ . Można też zastosować poznane wcześniej kryterium i sprawdzić różnicę iloczynów współrzędnych obu wektorów: $2 \cdot 9 - (- 3) \cdot (- 6) = 18 - 18 = 0$ , co również potwierdza, że są to wektory równoległewektory równoległewektory równoległe.

Przykład 2

Wektory o współrzędnych $[2; - 3]$ i $[- 6; 8]$ nie są równoległe. Można to stwierdzić na podstawie powyższego kryterium sprawdzając różnicę iloczynów współrzędnych obu wektorów: $2 \cdot 8 - (- 3) \cdot (- 6) = 16 - 18 = - 2 \neq 0$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartości parametru $m$ , dla których wektory o współrzędnych $[m; 1]$ oraz $[9; m]$ są równoległe. Po zastosowaniu kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnychkryterium równoległości wektorówkryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych otrzymujemy równanie: $m^{2} - 9 = 0$ , którego pierwiastkami są liczby $3$ i $- 3$ . Rzeczywiście w obu przypadkach otrzymujemy pary wektorów równoległych: wektor o współrzędnych $[3; 1]$ jest równoległy do wektora o współrzędnych $[9; 3]$ oraz wektor o współrzędnych $[- 3; 1]$ jest równoległy do wektora o współrzędnych $[9; - 3]$ .

Polecenie 1

Przeanalizuj zawartość poniższej prezentacji multimedialnej oraz rozwiąż poniższe zadania.

R1O2iKlBmEB4L

Polecenie 2

R1TLCljTZe0Uq

Polecenie 3

Rk99fxtgnWZTa

Prostopadłość wektorów

Zaczniemy od definicji wektorów prostopadłych

wektory prostopadłe

Definicja: wektory prostopadłe

Mówimy, że niezerowe wektory są prostopadłe, gdy ich kierunki są prostopadłe (zawarte są w prostych prostopadłych).

Nie definiujemy prostopadłości wektorów dla wektora zerowego.

Przykład 4

Poniżej przedstawiono pary wektorów prostopadłych wraz ze współrzędnymi. Czy widzisz jakiś związek między współrzędnymi wektorów prostopadłych?

Rj1RyQ7ppwdGy

Galeria zdjęć. Ilustracja jeden. Ilustracja przedstawia parę wektorów o tym samym punkcie zaczepienia. Ich współrzędne to: -1;2 oraz 2;1.

RZHM2SWGLmm3b

Ilustracja dwa. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: 2;1 oraz 1;-2

R1LTVoG2N9R1I

Ilustracja trzy. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: 3;2 oraz 2;-3

RdDDPQonpPc4P

Ilustracja cztery. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: -2;3 i 3;2

R1T8XN1PumoKZ

Ilustracja pięć. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: -1;3 i 3;1

Zwróć uwagę, że aby otrzymać wektor prostopadły do danego wystarczy zamienić miejscami współrzędne danego wektora i dokładnie jednej z nich zmienić znak na przeciwny.

Przykład 5

Uzasadnimy teraz, że wektory $[a; b]$ i $[- b; a]$ są prostopadłe. W tym celu zaczepimy oba wektory w początku układu współrzędnych. Wówczas końce tych wektorów mają współrzędne $(a; b)$ i $(- b; a)$ .

R1QYFOvwnxHzq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pionowa została oznaczona jako Y, natomiast pozioma jako X. Na osi X są liczby z zakresu od minus 7 do 8, natomiast na osi Y są liczby z zakresu od minus 4 do cztery. Narysowano dwie proste prostopadłe, przecinają się one w środku układu współrzędnych. W pierwszej ćwiartce wzdłuż jednej z prostych narysowano wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych, wektor ma współrzędne a;b, punkt końcowy wektora znajduje się w punkcie a;b znajdującym się na prostej. W drugiej ćwiartce z początku układu współrzędnych narysowano wektor wzdłuż drugiej prostej. Ma on współrzędne: -b;a. Jego koniec znajduje się w punkcie -b;a, który leży na prostej.

Wyznaczmy teraz równania prostych zawierających oba wektory.

Jeśli $a = 0$ lub $b = 0$ , to wektory zawarte są w osiach układu współrzędnych, czyli są to wektory prostopadłewektory prostopadłewektory prostopadłe. Jeśli $a \neq 0$ i $b \neq 0$ , to ponieważ obie proste przechodzą przez początek układu współrzędnych, ich równania są postaci $y = m x$ , gdzie $m$ jest współczynnikiem kierunkowym.

Równanie prostej zawierającej wektor $[a; b]$ otrzymamy, podstawiając współrzędne punktu $(a; b)$ do równania $y = m x$ :

$b = m a \Leftrightarrow m = \frac{b}{a}$ ,

czyli prosta ma równanie $y = \frac{b}{a} x$ .

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wektor $[- b; a]$ :

$y = \frac{- a}{b} x$ .

Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy $(- 1)$ , to proste są prostopadłe, zatem i wektory $[a; b]$ oraz $[- b; a]$ są prostopadłe. Podobnie dowodzimy, że wektory $[a; b]$ oraz $[b; - a]$ są prostopadłe.

Przypomnijmy jeszcze tylko, że wektor $[k a; k b]$ , gdzie $k \neq 0$ , jest równoległy do wektora $[a; b]$ , zatem jest prostopadły do wektorów $[- k b; k a]$ oraz $[k b; - k a]$ .

Ważne!

Kryterium prostopadłości wektorówkryterium prostopadłości wektorówKryterium prostopadłości wektorów

Wektory o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a c + b d = 0$ .

Przykład 6

Rozstrzygniemy, czy podane niżej wektory są prostopadłe. Wektor $[1; - 3]$ jest prostopadły do wektora $[6; 2]$ , bo $1 \cdot 6 + (- 3) \cdot 2 = 6 - 6 = 0$ . Wektor $[1; - 3]$ nie jest prostopadły do wektora $[6; 3]$ , bo $1 \cdot 6 + (- 3) \cdot 3 = 6 - 9 = - 3 \neq 0$ .

Przykład 7

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby wektory $[m + 1; 3]$ i $[2; - m]$ były prostopadłe. Aby wektory były prostopadłe wystarczy, aby spełnione było równanie $2 (m + 1) - 3 m = 0$ , którego rozwiązaniem jest $m = 2$ .

Polecenie 4

Zapoznaj się z animacją i na jej podstawie rozwiąż zadania.

R7tLiRmjGilMt

Polecenie 5

R14m1ayiQIKLP

Polecenie 6

Rwmvi1Jb3CtPH

Kombinacja liniowa wektorów

o równości wektorów

Twierdzenie: o równości wektorów

Wektory w układzie współrzędnych $\vec{u} = [a; b]$ , $\vec{v} = [c; d]$ są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne $a = c$ oraz $b = d$ .

Dla wektorów $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ definiujemy działania w następujący sposób:

suma wektorów $\vec{u} + \vec{v} = [a + c; b + d]$ ,
różnica wektorów $\vec{u} - \vec{v} = [a - c; b - d]$ ,
iloczyn wektora $\vec{u}$ przez liczbę $k$ : $k \vec{u} = [k a; k b]$ .

Wprowadzimy teraz nowe pojęcie, wykorzystujące działania na wektorach.

Kombinacją liniową wektorów $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}, \vec{u_{3}}, \dots, \vec{u_{n}}$ o współczynnikach $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ nazywamy $a_{1} \vec{u_{1}} + a_{2} \vec{u_{2}} + a_{3} \vec{u_{3}} + \dots + a_{n} \vec{u_{n}}$ .

Przykład 8

Kombinacją liniową wektorówKombinacją liniową wektorów $\vec{u_{1}} = [- 2; 3]$ i $\vec{u_{2}} = [1; - 2]$ o współczynnikach $a_{1} = - 3$ i $a_{2} = 2$ jest $a_{1} \vec{u_{1}} + a_{2} \vec{u_{2}} = - 3 [- 2; 3] + 2 [1; - 2] = [6; - 9] + [2; - 4] = [8; - 13]$ .

Przykład 9

Przedstawimy wektor o współrzędnych $[5; - 4]$ jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ . Zauważmy, że $[5; - 4] = [5; 0] + [0; - 4] = 5 \cdot [1; 0] - 4 \cdot [0; 1]$ . A zatem wektor o współrzędnych $[5; - 4]$ jest kombinacją liniową wektorów o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ ze współczynnikami $5$ i $(- 4)$ . Wspomnijmy przy okazji, że wektory o współrzędnych $[1; 0]$ i $[0; 1]$ nazywamy wersoramiwersor osiowywersorami osi układu współrzędnych.

Przykład 10

Przedstawimy wektor o współrzędnych $[- 4; 5]$ jako kombinację liniową wektorów $[2; 1]$ i $[- 1; 3]$ . Szukamy takich liczb $a$ i $b$ , aby spełniony był warunek

$a [2; 1] + b [- 1; 3] = [- 4; 5]$ , który jest kolejno równoważny

$[2 a; a] + [- b; 3 b] = [- 4; 5]$

$[2 a - b; a + 3 b] = [- 4; 5]$

Korzystając z twierdzenia o równości wektorów, otrzymujemy układ równań

$\{\begin{matrix} 2 a - b = - 4 \\ a + 3 b = 5 \end{matrix}$ ,

którego rozwiązaniem jest para liczb $a - 1$ i $b = 2$ . Zatem wektor o współrzędnych $[- 4; 5]$ jest kombinacją liniową wektorów $[2; 1]$ i $[- 1; 3]$ ze współczynnikami $(- 1)$ i $2$ .

Przypomnijmy również, jak wyznaczać współrzędne punktu, który dzieli dany odcinek w podanym stosunku.

Przykład 11

Wyznaczymy współrzędne punktu dzielącego odcinek o końcach $A = (- 9; 3)$ i $B = (6; - 6)$ w stosunku $2 : 3$ , licząc od punktu $A$ .

Niech szukany punkt nazywa się $S$ i ma współrzędne $(x; y)$ . Wówczas $\vec{A S} = \frac{2}{5} \vec{A B}$ .

Wyznaczmy współrzędne wektorów.

$\vec{A S} = [x + 9; y - 3]$

$\frac{2}{5} \vec{A B} = \frac{2}{5} [15; - 9] = [6; - 3, 6]$ .

Z twierdzenia o równości wektorów porównujemy współrzędne $[x + 9; y - 3] = [6; - 3, 6]$ , co prowadzi do równań $x + 9 = 6$ i $y - 3 = - 3, 6$ , z których wynika, że $x = - 3$ i $y = - 0, 6$ . Zatem punkt $S$ ma współrzędne $(- 3; - 0, 6)$ .

Iloczyn skalarny wektorów

Kolejnym działaniem, które można wykonać na wektorach jest iloczyn skalarnyiloczyn skalarny wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ iloczyn skalarny.

Iloczyn skalarny

Definicja: Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ nazywamy liczbę $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ , gdzie $∢ (\vec{u}, \vec{v})$ oznacza kąt między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ .

Wyjaśnijmy od razu, że kątem między wektorami nazywamy kąt między prostymi będącymi kierunkami tych wektorów. Nie definiujemy kąta między wektorem zerowym a innym wektorem, ale przyjmujemy, że iloczyn skalarny dowolnego wektora przez wektor zerowy jest równy $0$ .

Zauważmy również, że gdy wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ nie są wektorami zerowymi, to również ich długości nie są równe zeru, zatem ich iloczyn skalarny jest zerem dokładnie wtedy, gdy cosinus kąta między wektorami jest równy zeru, co ma miejsce dokładnie wtedy, gdy wektory są prostopadłe. Zatem możemy sformułować następujący wniosek.

Wniosek

Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru $\vec{u} \circ \vec{v} = 0$ .

Można udowodnić następujące twierdzenie.

o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych

Twierdzenie: o iloczynie skalarnym wektorów o danych współrzędnych

Niech $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ . Wówczas $\vec{u} \circ \vec{v} = a c + b d$ .

Przykład 12

Wyznaczymy cosinus kąta między wektorami $\vec{u} = [1; - 3]$ i $\vec{v} = [2; - 1]$ . Najpierw obliczymy iloczyn skalarny tych wektorów z definicji: $\vec{u} \circ \vec{v} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ .

Możemy też obliczyć iloczyn skalarny, korzystając z przytoczonego wcześniej twierdzenia.

$\vec{u} \circ \vec{v} = [1; - 3] \circ [2; - 1] = 1 \cdot 2 + (- 3) (- 1) = 2 + 3 = 5$

Z przyrównania obu wartości otrzymujemy równanie:

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \cdot \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v}) = 5$ ,

co sprowadza się do

$\cos ∢ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Na podstawie wyznaczonej wartości cosinusa możemy stwierdzić, że kąt ostry między danymi wektorami ma miarę $45 °$ .

Polecenie 7

Przeanalizuj informacje zawarte w galerii zdjęć interaktywnych, a następnie rozwiąż zadania.

RMYXlWGvLeZID1

R1S0vKEGeN5Ob1

Ilustracja dwa. Kombinacją liniową wektorów u i v o współczynnikach a, b nazywamy wektor a wektor u, plus, b wektor v. Przykład dwa. Przedstawmy wektor o współrzędnych nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego jako kombinację liniową wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, a nawias kwadratowy, jeden, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, b nawias kwadratowy, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wymnażamy współczynniki i dodajemy. Otrzymujemy nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, pięć, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, a, minus, dwa b, średnik, dwa a, plus, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Mamy dwie niewiadome i jedną wiadomą, tworzymy układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, minus, dwa b, równa się, cztery, koniec równania, drugie równanie, dwa a, plus, b, równa się, minus, pięć, koniec równania, koniec układu równań. Mnożymy pierwsze równanie obustronnie przez dwa. Otrzymujemy nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, dwa a, minus, cztery b, równa się, osiem, koniec równania, drugie równanie, dwa a, plus, b, równa się, minus, pięć, koniec równania, koniec układu równań, po pomnożeniu drugiego równania prze minus 1, możemy dodać równania stronami, wtedy minus, pięć b, równa się, trzynaście, czyli b, równa się, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka. Obliczamy a: a, równa się, cztery, plus, dwa b, równa się, cztery, plus, dwa, razy, nawias, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery, minus, początek ułamka, dwadzieścia sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka. Ostatecznie odpowiedź to: nawias kwadratowy cztery, przecinek, minus, pięć zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, minus, początek ułamka, sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, nawias kwadratowy jeden przecinek dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego, minus, początek ułamka, trzynaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, nawias kwadratowy, minus, dwa przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego

RTACbVfXB75kW1

RMh7Ew9lZugjk1

Rr1qs1qm5enl41

Polecenie 8

RQNUkcibkZoUH

Polecenie 9

R1S0iLXMiUphI

Polecenie 10

R13cLOjkFbYMd

R1XyjtWw2XQKo1

Ćwiczenie 1

R1NSKYrobhHa91

Ćwiczenie 2

RGXdG0OO2jJmb1

Ćwiczenie 3

R1M0jrd36QvRg2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary współrzędne wektorów, które są równoległe. nawias kwadratowy pierwiastek kwadratowy z dwa, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy, minus, zero, przecinek, nawias trzy zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy dwa pierwiastek kwadratowy z sześć, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy dwa, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy, minus, zero, przecinek, nawias trzy zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy dwa pierwiastek kwadratowy z sześć, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, średnik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy, minus, zero, przecinek, nawias trzy zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy dwa pierwiastek kwadratowy z sześć, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy pierwiastek kwadratowy z sześć, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć zamknięcie nawiasu kwadratowego Możliwe odpowiedzi: 1. nawias kwadratowy początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 2. nawias kwadratowy, minus, zero, przecinek, nawias trzy zamknięcie nawiasu, średnik, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, 3. nawias kwadratowy dwa pierwiastek kwadratowy z sześć, średnik, minus, pierwiastek kwadratowy z sześć zamknięcie nawiasu kwadratowego, 4. nawias kwadratowy dwa, średnik, cztery zamknięcie nawiasu kwadratowego

Ćwiczenie 5

W trapezie o podstawach $A B$ i $C D$ dane są $A = (1; 2)$ , $B = (- 1; - 2)$ , $C = (2; - 6)$ . Wiadomo również, że podstawa $C D$ jest dwa razy dłuższa niż podstawa $A B$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $D$ tego trapezu.

Zauważmy, że $\vec{A B} = [- 2; - 4]$ . Ponieważ podstawa $C D$ jest dwa razy dłuższa niż podstawa $A B$ , zatem $\vec{D C} = 2 \cdot \vec{A B}$ lub $\vec{D C} = - 2 \cdot \vec{A B}$ . Wynika stąd, że $\vec{D C} = [- 4; - 8]$ lub $\vec{D C} = [4; 8]$ . Współrzędne punktu $D$ otrzymujemy przez odjęcie współrzędnych wektora od współrzędnych punktu $C$ . Zatem $D = (6; 2)$ lub $D = (- 2; - 14)$ .

Ćwiczenie 6

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (1; 2)$ , $B = (3; - 4)$ , $C = (- 5; - 2)$ . Niech punkty $K$ , $L$ , $M$ oznaczają odpowiednio środki boków $A B$ , $B C$ i $A C$ . Znajdź współrzędne wektorów $\vec{K L}$ , $\vec{L M}$ , $\vec{M K}$ .

Zauważmy, że na mocy twierdzenia o odcinkach łączących środki boków trójkąta mamy $\vec{K L} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ , $\vec{L M} = \frac{1}{2} \vec{B A}$ , $\vec{M K} = \frac{1}{2} \vec{C B}$ . Wyznaczmy współrzędne wektorów: $\vec{K L} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} [- 6; - 4] = [- 3; - 2]$ , $\vec{L M} = \frac{1}{2} \vec{B A} = \frac{1}{2} [- 2; 6] = [- 1; 3]$ , $\vec{M K} = \frac{1}{2} \vec{C B} = \frac{1}{2} [8; - 2] = [4; - 1]$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest czworokąt o wierzchołkach $A = (- 6; 2)$ , $B = (- 4; 6)$ , $C = (4; 2)$ , $D = (- 1; - 8)$ . Wiadomo, że punkty $K$ i $L$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ . Uzasadnij, że czworokąt $A B C D$ jest trapezem, a następnie wyznacz współrzędne wektora $\vec{K L}$ .

Wyznaczmy współrzędne wektorów $\vec{A B}$ i $\vec{D C}$ : $\vec{A B} = [- 4 - (- 6); 6 - 2] = [2; 4]$ , $\vec{D C} = [4 - (- 1); 2 - (- 8)] = [5; 10] = 2, 5 \cdot [2; 4] = 2, 5 \cdot \vec{A B}$ . Ponieważ $\vec{D C} = 2, 5 \cdot \vec{A B}$ , więc wektory $\vec{A B}$ i $\vec{D C}$ są równoległe. Oznacza to, że czworokąt $A B C D$ jest trapezem, zatem $\vec{K L} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) = \frac{1}{2} ([2; 4] + [5; 10]) = \frac{1}{2} [7; 14] = [3, 5; 7]$ .

R1QhNIVwPMbyV3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Wektorom $A$ , $B$ , $C$ , $D$ przyporządkuj numery wektorów do nich prostopadłych.

R1B1wiOmRNRBe1

Podaj trzy przykłady par współrzędnych dla wektorów prostopadłych.

RJfhuiHt3c4F2

RQLZa073px7mT

R1JmXaE9nYJym1

Ćwiczenie 10

R1RqF6zCpiTI22

Ćwiczenie 11

Reh3wC6aOgRvF2

Ćwiczenie 12

R3ZGR99AB3Ost2

Ćwiczenie 13

RwUcuqfRgYzgI2

Ćwiczenie 14

R1YX9V990BkKb3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Udowodnij twierdzenie: Jeżeli $a c + d b = 0$ i wektory $[a; b]$ oraz $[c; d]$ nie są wektorami zerowymi, to wektory $[a; b]$ i $[c; d]$ są prostopadłe.

Przypadek 1. Jeśli $a = 0$ , to $d = 0$ (bo $a c + d b = 0$ i $b \neq 0$ ). Wówczas wektory mają współrzędne $[0; b]$ i $[c; 0]$ , co oznacza, że są zawarte w osiach układu współrzędnych, zatem są prostopadłe.
Przypadek 2. Jeśli $a \neq 0$ , to $c = - \frac{b d}{a}$ . Z tej równości wynika, że $d \neq 0$ , gdy $c \neq 0$ . Ponadto ponieważ $[c; d] \neq [0; 0]$ , to $d \neq 0$ również dla $c = 0$ . Zatem prawdą jest, że $\frac{c}{d} = - \frac{b}{a}$ i dalej $\frac{d}{c} \cdot \frac{b}{a} = - 1$ . Wynika stąd, że proste o równaniach $y = \frac{d}{c} x$ oraz $y = \frac{b}{a} x$ są prostopadłe. Zauważmy, że do prostej o równaniu $y = \frac{d}{c} x$ należy punkt $(c; d)$ , zaś do prostej o równaniu $y = \frac{b}{a} x$ należy punkt $(a; b)$ . Oznacza to, że wektory o początku w punkcie $(0; 0)$ i końcach w punktach $(a; b)$ i $(c; d)$ , czyli również wektory $[a; b]$ i $[c; d]$ zawarte są w prostych prostopadłych. Co kończy dowód.

R1Jm5SlnNu5yU1

Ćwiczenie 17

R16y7F2PW4pF21

Ćwiczenie 18

RW8AnGf9G8aSS2

Ćwiczenie 19

RdSnAleuUdnLC2

Ćwiczenie 20

Rgh6IEiofjHs32

Ćwiczenie 21

R1cIHwWPOFKIm

Ćwiczenie 22

RBmSMLXcP3git2

Ćwiczenie 23

R22jz7vBkQhC82

Ćwiczenie 24

RRjhjHB9OV5p23

Ćwiczenie 25

R3RupKKjE0Tna3

Ćwiczenie 26

R7fvTBE1gLkyx3

Ćwiczenie 27

Słownik

kryterium równoległości wektorów w układzie współrzędnych

twierdzenie orzekające, że niezerowe wektory o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne spełniają zależność: $a d - b c = 0$

wektory równoległe

wektory, których kierunki są prostymi równoległymi

kryterium równoległości wektorów

dwa niezerowe wektory są równoległe dokładnie wtedy, gdy jeden z nich jest iloczynem drugiego przez liczbę różną od zera

wektory prostopadłe

niezerowe wektory, które są zawarte w prostych prostopadłych

kryterium prostopadłości wektorów

niezerowe wektory o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $a c + b d = 0$ .

wersor osiowy

wektor o długości równej 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem osi tworzącej układ współrzędnych; w przypadku prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie wersory osiowe mają współrzędne $[1; 0]$ oraz $[0; 1]$

iloczyn skalarny wektorów

\vec{u}

\vec{v}

iloczyn skalarny wektorów

\vec{u}

\vec{v}

liczba (skalar) określona wzorem $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos ∢ (\vec{u}, \vec{v})$ , gdzie $∢ (\vec{u}, \vec{v})$ oznacza miarę kąta między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$ . Dla wektorów o współrzędnych $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; a]$ iloczyn skalarny można obliczyć korzystając ze wzoru $\vec{u} \circ \vec{v} = a c + b d$

kombinacja liniowa wektorów

{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}, \dots, {\vec{u}}_{n}

o współczynnikach

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

kombinacja liniowa wektorów

{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}, {\vec{u}}_{3}, \dots, {\vec{u}}_{n}

o współczynnikach

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}

wektor zdefiniowany w następujący sposób $a_{1} {\vec{u}}_{1} + a_{2} {\vec{u}}_{2} + a_{3} {\vec{u}}_{3} + \dots + a_{n} {\vec{u}}_{n}$

4. Działania na wektorach w układzie współrzędnych

M_R_W08_M1 Wektor w układzie współrzędnych