5*. Twierdzenie Eulera (DODATEK) - M_R_W23_M2 Graniastosłupy i ostrosłupy

Rka96sKQAyiax

Na lekcjach matematyki poznałeś już twierdzenia, których treść jest ściśle związana z nazwiskiem autora (na przykład twierdzenie Pitagorasa albo twierdzenie Talesa). Euler należał niewątpliwie do najbardziej genialnych i płodnych matematyków wszech czasów. Jego imię stawia się w historii nauk ścisłych na równi z Newtonem, Kartezjuszem czy Galileuszem.

RDghcPPxTjcRP

Ilustracja przedstawia obraz na, którym namalowany został Leonard Euler. Mężczyzna ma siwe włosy i długą szaro- czarną szatę, siedzi on obok stolika na którym leży otwarta księga. — Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Leonard Euler ( $1707 - 1783$ ) urodził się w Szwajcarii. W Bazylei słuchał wykładów wielkiego matematyka Jana Bernoulliego. Już w wieku lat szesnastu otrzymał tytuł magistra. Pierwsze jego prace dotyczyły nawigacji. Później jednak poświęcił się matematyce. W $1748$ roku wydano w Lozannie jego trzytomowe dzieło „Wstęp do analizy nieskończenie małych”, które było zbiorem prac i artykułów Eulera pisanych na przestrzeni lat. Dzieło to ugruntowało jego pozycję jako najwybitniejszego ówczesnego matematyka.

W pierwszej części omówimy twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych, które opisuje związek pomiędzy liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków w wielościanie wypukłym. W drugiej części przedstawimy twierdzenie Eulera dla ostrosłupów.

Twoje cele

Podasz treść twierdzenia Eulera dla wielościanów wypukłych.
Zastosujesz twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych do obliczania liczby wierzchołków, krawędzi i ścian.
zastosujesz zależności między liczbą krawędzi, wierzchołków i ścian ostrosłupów;
Zastosujesz twierdzenie Eulera dla graniastosłupów i ostrosłupów.
Sprawdzisz, czy wielościan jest wypukły.

Wielościan wypukły

Wielościanem nazywamy bryłę, której wszystkie ściany są wielokątami i spełnione są warunki:

Każde dwie ściany mają wspólną krawędź, wierzchołek lub nie mają części wspólnej.
Każda krawędź jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian.
Każdy wierzchołek jest wspólny dla co najmniej trzech ścian.

Wielościan nazywamy wypukłym, gdy w całości leży po jednej ze stron płaszczyzn wyznaczonych przez każdą ze ścian.

Przykład 1

Ocenimy, czy wielościany poniżej są wypukłe.

ROK6ehFFOQGFe

Ilustracja przedstawia model graniastosłupa o podstawie czworokąta wklęsłego w kształcie litery V.

Nie jest to wielościan wypukły.

RtZ81dONS0aWu

Ilustracja przedstawia model dwudziestościanu foremnego, którego ścianami są trójkąty równoboczne. Bryła przypomina oszlifowany kamień lub dwudziestościenną kostkę do gry..

Jest to wielościan wypukływielościan wypukływielościan wypukły.

Ważne!

Z przykładu powyżej wynika, że nie każdy graniastosłup jest wielościanem wypukłym.

Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanach

Oznaczmy przez $W$ – liczbę wierzchołków, przez $S$ – liczbę ścian i przez $K$ – liczbę krawędzi wielościanu.

Przykład 2

Pokażemy, że liczby $W$ , $K$ i $S$ nie są przypisane do jednego konkretnego wielościanu.

RJIc1JPahGMu6

Ilustracja przedstawia dwie figury geometryczne. Pierwsza figura to sześcian. Druga figura to ostrosłup ścięty czworokątny.

Rozwiązanie

Rozważymy sześcian i ostrosłup ścięty czworokątny.

Dla obu tych brył mamy $W = 8$ , $S = 6$ i $K = 12$ .

Zastanówmy się jakimi liczbami mogą być $W$ , $K$ i $S$ .

Przykład 3

Pokażemy, że liczba krawędzi wielościanów może być każdą liczbą parzystą nie mniejszą od $6$ .

Rozwiązanie

Jeżeli wielościanwielościanwielościan składa się z samych trójkątów, to najmniejsza liczba krawędzi jaką możemy otrzymać to $6$ (w przypadku ostrosłupa trójkątnego) i to jest najmniejsza liczba krawędzi, jaka może być. Dla każdej liczby parzystej $n$ od $6$ wzwyż mamy taki wielościan – jest to np. ostrosłup $\frac{n}{2}$ –kątny.

Przykład 4

Pokażemy, że liczba krawędzi wielościanu może być każdą liczbą nieparzystą nie mniejszą od $9$ .

Rozwiązanie

W poprzednim przykładzie wykazaliśmy, że każda liczba parzysta większa od $4$ może być liczbą krawędzi wielościanu. Powiedzieliśmy, że przykładem wielościanu o parzystej liczbie krawędzi jest ostrosłup.

Weźmy więc ostrosłup z odciętym jednym z wierzchołków przy podstawie.

Ostrosłup ze ściętym wierzchołkiem przy podstawie będzie miał o $3$ krawędzie więcej niż miałby ostrosłup. Dla ostrosłupa trójkątnego po ścięciu wierzchołka będziemy mieć $9$ krawędzi.

R1e8foNL57bR6

Ilustracja przedstawia ostrosłup trójkątny. Odcięto jeden z jego wierzchołków przy podstawie. Liniami przerywanymi zaznaczono krawędzie odciętej figury.

Dla czworokątnego będzie to $11$ krawędzi itd. A zatem będziemy mieć wielościan o liczbie krawędzi będącej każdą liczbą nieparzystą większą lub równą $9$ .

Ważne!

$W \geq 4$ i $S \geq 4$
Wiemy, że trzy punkty w przestrzeni wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę. A zatem, żeby powstał wielościanwielościanwielościan $W \geq 4$ , a z tego wynika, że również $S \geq 4$ .
$3 S \leq 2 K$
Jest tak, ponieważ każda krawędź jest wspólna dla dwóch ścian, a ściany są wielokątami (czyli należą do nich co najmniej trzy krawędzie).
$3 W \leq 2 K$
Jest tak, ponieważ każda krawędź łączy dwa wierzchołki, a z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej trzy krawędzie.

Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera dla wielościanów wypukłych określa zależność pomiędzy liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków wielościanu wypukłego.

Twierdzenie Eulera

Twierdzenie: Twierdzenie Eulera

Niech będzie dany wielościan wypukły. Wówczas:

W + S - K = 2

Dowód twierdzenia Eulera opiera się o analizę diagramu Schlegela.

Wniosek:

Z uwagi powyżej mamy, że $3 S \leq 2 K$ , czyli $S \leq \frac{2}{3} K$ .

A zatem z twierdzenia Eulera dla wielościanów wypukłych mamy $2 = W + S - K \leq W + \frac{2}{3} K - K$ .

A stąd $W \geq 2 + \frac{1}{3} K$ . Analogicznie $S \geq 2 + \frac{1}{3} K$ .

Przykład 5

Sprawdzimy, czy wielościan wypukływielościan wypukływielościan wypukły może mieć $7$ krawędzi.

Rozwiązanie

Mamy $K = 7$ , a to oznacza z twierdzenia Eulera, że $W + S = 9$ . Mamy $W \geq 4$ i $S \geq 4$ .

Możemy mieć więc:

$W = 4$ i $S = 5$ lub
$W = 5$ i $S = 4$ .

Jedynym wielościanem wypukłym, który ma $4$ wierzchołki lub $4$ krawędzie jest ostrosłup trójkątny, ale wtedy liczba drugiego typu elementów nie może wynosić $5$ .

A zatem wielościan wypukły nie może mieć $7$ krawędzi.

Ważne!

Żaden wielościan nie ma siedmiu krawędzi. Liczba krawędzi wielościanu może wynosić $6$ (w przypadku ostrosłupa trójkątnego) lub być dowolną liczbą całkowitą większą od $7$ .

Uwaga:

Dla niektórych wielościanów, które nie są wypukłe wzór Eulera również zadziała.

Przykład 6

Rozważymy graniastosłup przedstawiony na rysunku. Sprawdzimy, czy zachodzi dla niego twierdzenie Eulera.

RtatX6NlbOnD7

Ilustracja przedstawia model graniastosłupa o podstawie czworokąta wklęsłego o podstawie w kształcie litery V.

Rozwiązanie

Dla tego wielościanu mamy $W = 8$ , $K = 12$ , $S = 6$ .

Zauważmy, że $W + S - K = 8 + 6 - 12 = 2$ .

Przykład 7

Rozważymy wielościanwielościanwielościan powstały przez sklejenie krawędzią dwóch ostrosłupów czworokątnych. Sprawdzimy, czy zachodzi dla niego twierdzenie Eulera.

R43qP6M01Vc1y

Ilustracja przedstawia dwa ostrosłupy czworokątne. Zostały one połączone jedną krawędzią podstawy. Ich podstawy nie leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Mamy $W = 8$ , $K = 15$ , $S = 10$ .

Zauważmy, że $W + S - K = 8 + 10 - 15 = 3 \neq 2$ .

Twierdzenie Eulera, a graniastosłupy

Wiemy, że nie każdy graniastosłup jest wielościanem wypukłym. Nie możemy więc bezpośrednio korzystać z twierdzenia Eulera.

Rozważymy graniastosłup o podstawie $n$ –kąta.

Taki graniastosłup będzie miał po $n$ wierzchołków w każdej podstawie, czyli $W = 2 n$ .

Będzie miał $n$ –krawędzi w każdej podstawie i $n$ krawędzi bocznych, czyli $K = n + n + n = 3 n$ .

Będzie miał $n$ ścian bocznych i dwie ściany, które są podstawami, czyli $S = n + 2$ .

Zauważmy, że $W + K - S = 2 n + n + 2 - 3 n = 2$ .

Wniosek:

Każdy graniastosłup spełnia wzór Eulera.

Polecenie 1

Zapoznaj się z treścią animacji 3D. Zwróć uwagę na dowód twierdzenia Eulera i jego związek z diagramami Schlegela.

Zapoznaj się z opisem animacji 3D.

R16QM8fz79CFw

Polecenie 2

RhN6FRQ1mm62O

R1CSHIn3GDQ4w

Twierdzenie Eulera dla ostrosłupów

Poniżej zajmiemy się analizą własności ostrosłupów w zależności od ich liczby ścian, krawędzi i wierzchołków. Zauważmy, że wprost z definicji ostrosłupa wynika, że jeżeli podstawą ostrosłupa jest dany $n$ -kąt, wówczas prawdziwe są następujące obserwacje.

Obserwacja 1

Ostrosłup ten posiada dokładnie $n + 1$ wierzchołków.

RZ78ltmu4SHHA

Grafika przedstawia ostrosłup, który nie jest w pełni narysowany. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą S, natomiast podstawa wygląda w następujący sposób: w ostrosłupie zaznaczono 6 wierzchołków podstawy: An, A1, A2, A3, A4 oraz A5. Krawędzie podstawy pomiędzy wierzchołkami An, A1, A2, A3 oraz A4 zostały narysowane linią ciągłą, przylegające do tych wierzchołków krawędzie boczne również zostały na rysowane linią ciągłą. Krawędź podstawy pomiędzy wierzchołkiem A4 i A5 została na rysowana linią przerywaną. Z drugiej strony wierzchołka A5 również wychodzi linia przerywana, ale na jej końcu nie znajduje się żaden wierzchołek. Krawędź boczna łącząca punkty A5 i S została narysowana linią przerywaną. Z wierzchołka An w stronę przeciwną niż do wierzchołka A1 również wychodzi linia przerywana, na której końcu nie znajduj się żaden wierzchołek. Linie wychodzące z punktów A5 i An nie są ze sobą połączone, a pomiędzy nimi pozostawiono pustą przestrzeń. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości podpisano literą O. W płaszczyźnie podstawy zaznaczono również odcinek A1O, kąt pomiędzy odcinkami SO i A1O to kąt prosty.

Istotnie, $n$ wierzchołków ostrosłupa należy do płaszczyzny podstawy, zaś jeden jest wspólnym wierzchołkiem ścian bocznych.

Obserwacja 2

Ostrosłup ten posiada dokładnie $2 n$ krawędzi.

R1Q2vnXvMQ7ig

Faktycznie, $n$ krawędzi ostrosłupa to boki wielokąta podstawy. Z każdego wierzchołka podstawy (których to wierzchołków jest oczywiście $n$ ) poprowadzona jest dokładnie jedna krawędź boczna, łącząca ten wierzchołek podstawy z (pojedynczym) wierzchołkiem całego ostrosłupa. W sumie daje to $2 n$ krawędzi ostrosłupa.

Obserwacja 3

Ostrosłup ten posiada dokładnie $n + 1$ ścian.

R2cJm0f8DbKH8

Grafika przedstawia ostrosłup, który nie jest w pełni narysowany. Wierzchołek ostrosłupa jest podpisany literą S, w ostrosłupie zaznaczono 5 ścian bocznych: Sn, S1, S2, S3 oraz S4. Z dolnego wierzchołka ściany Sn wychodzi linia przerywana będąca krawędźą podstawy, która nie jest zakończona żadnym wierzchołkiem. Z drugiej strony ostrosłupa dolnego wierzchołka ściany S4 również wychodzi linia przerywana, ale na jej końcu nie znajduje się żaden wierzchołek. Krawędzie te nie są ze sobą połączone, a pomiędzy nimi pozostawiono pustą przestrzeń. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości podpisano literą O. W płaszczyźnie podstawy zaznaczono również odcinek łączący spodek wysokości z jednym z wierzchołków podstawy, kat pomiędzy wysokością a tym odcinkiem to kat prosty.

Aby to pokazać, zauważmy, że $n$ ścian to trójkąty tworzące ściany boczne. Ich podstawami są boki $n$ -kąta podstawy, która jest ostatnią $n + 1$ -szą ścianą naszej bryły.

W $XVIII$ wieku Leonard Euler odkrył prostą zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi dowolnego wielościanuWielościanwielościanu wypukłego. Zależność tą nazywamy dziś twierdzeniem Eulera dla wielościanów, albo też wzorem Eulera. Legenda mówi, że Euler odkrył tę zależność przez przypadek, próbując klasyfikować wielościany ze względu na liczbę ich ścian, analogicznie do znanej mu klasyfikacji wielokątów w zależności od liczby boków. Euler szybko zauważył jednak, że wielościany o równej liczbie ścian mogą mieć jednak różne liczby wierzchołków i krawędzi. Ostatecznie zaczął rozpatrywać jednocześnie wszystkie trzy wielkości i sformułował następujący związek.

o liczbie krawędzi wielościanu wypukłego

Twierdzenie: o liczbie krawędzi wielościanu wypukłego

Liczba krawędzi wielościanu wypukłego jest o dwa mniejsza od sumy liczby wierzchołków i liczby ścian tego wielościanu.

Inaczej twierdzenie można to sformułować następująco

wzór Eulera

Twierdzenie: wzór Eulera

Niech $W$ oznacza liczbę wierzchołków, $K$ liczbę krawędzi, zaś $S$ liczbę ścian wielościanu. Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi równość

W + S - K = 2

Przykład 8

Rozważmy przykład ilustrujący wzór Eulera dla ostrosłupa o podstawie czworokąta.

R1HUsYjCTAvFx

Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami A B C D, a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty.

Możemy łatwo policzyć korzystając z rysunku albo modelu takiego ostrosłupa liczbę jego wierzchołków, krawędzi i ścian. W poniższej tabeli zebraliśmy wartości poszczególnych składowych ze wzoru Eulera.

Nazwa wielościanu	Ostrosłup czworokątny
Liczba wierzchołków	$5$
Liczba ścian	$5$
Liczba krawędzi	$8$

Zgodnie ze wzorem Eulera zachodzi równość $W + S - K = 5 + 5 - 8 = 2$ .

Przykład 9

Zajmiemy się teraz twierdzeniem Eulera w przypadku dowolnego ostrosłupa o podstawie $n$ -kątnej.

RBEg2ZW6la8P6

Przyjmijmy oznaczenie $n$ na liczbę wierzchołków wielokąta będącego podstawą ostrosłupa. Z wcześniejszych obserwacji wiemy, że zachodzą związki
$S = n + 1$ , $W = n + 1$ oraz $K = 2 n$ .
Stąd otrzymujemy równość $W + S - K = (n + 1) + (n + 1) - 2 n = 2$ .
Zauważmy, że w powyższym dowodzie w żaden sposób nie wykorzystaliśmy informacji, że ostrosłup jest wypukły. Związki określające ilość krawędzi, wierzchołków i ścian ostrosłupa w zależności od ilości boków wielokąta podstawy są prawdziwe zawsze, nawet, gdy ostrosłup ten nie jest bryłą wypukłąBryła wypukłabryłą wypukłą. Możemy zatem stwierdzić, że wzór Eulera jest prawdziwy dla każdego ostrosłupa (nie tylko wypukłego).
Dzięki opisanym własnościom, można rozwiązywać zadania, w których musimy dokonać analizy bryły na podstawie wiadomości o liczbie jej ścian, krawędzi oraz wierzchołków.

Przykład 10

Ile ścian bocznych ma ostrosłup o $300$ krawędziach?

Rozwiązanie

Jeżeli jest to ostrosłup $n$ -kątny, to liczba jego krawędzi jest równa $2 n = 300$ . Stąd $n = 150$ , co oznacza, że ostrosłup ten ma dokładnie $151$ ścian.

Przykład 11

Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o $17$ większa od liczby jego wszystkich wierzchołków. Oblicz, ile ścian ma ten ostrosłup.

Rozwiązanie

Pamiętając, że dla ostrosłupa o podstawie $n$ -kątnej liczba krawędzi wynosi $2 n$ zaś liczba wierzchołków $n + 1$ , otrzymujemy następującą zależność:
$2 n = (n + 1) + 17$ .
Stąd już bezpośrednio wynika, że $n = 18$ . Oznacza to, że omawianym ostrosłupem jest ostrosłup o podstawie osiemnastokątnej, a jego ilość ścian jest równa $19$ .

Przykład 12

Charakterystyką Eulera wielościanu nazywamy liczbę $χ = S + W - K$ , gdzie $S$ oznacza liczbę ścian wielościanu, $W$ liczbę jego wierzchołków, a $K$ liczbę jego krawędzi. Rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy jest równa wysokości ściany bocznej.

Podajemy charakterystykę Eulera omawianego ostrosłupa.
Zauważmy, że charakterystyka Eulera jest sumą, która występuje w twierdzeniu Eulera o wielościanach wypukłych. Dla ostrosłupa (jak i dla każdego wielościanu wypukłego) mamy zatem $χ = S + W - K = 2$ .
Do ściany $S_{1} B_{1} C_{1}$ danego ostrosłupa doklejamy identyczny ostrosłup. Podajemy charakterystykę Eulera wielościanu, który powstał po sklejeniu dwóch ostrosłupów.
R3MIhB6YqIb0r
Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami $A_{1}$ $B_{1}$ $C_{1}$ $D_{1}$ , a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą $S_{1}$ . W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty. Do ściany $B_{1}$ $C_{1}$ $S_{1}$ doklejono identyczny ostrosłup w taki sposób, że $S_{1} = S_{2}$ , $B_{1} = A_{2}$ natomiast $C_{1} = D_{2}$ . Pozostałe wierzchołki podstawy doklejonego ostrosłupa to $B_{2}$ i $C_{2}$ .
Jeżeli skleimy dwa ostrosłupy, to ilość ścian otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości ścian danych ostrosłupów pomniejszonej o $2$ (bo dwie ściany zniknęły we wnętrzu bryły). Ilość krawędzi otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości krawędzi każdego z ostrosłupów pomniejszonej o $3$ (bo trzy krawędzi pokryły się). Ilość wierzchołków otrzymanej bryły będzie równa sumie ilości wierzchołków danych ostrosłupów pomniejszonej o $3$ (bo trzy wierzchołki zostały zlepione). Ostatecznie $χ = (5 + 5 - 2) + (5 + 5 - 3) - (8 + 8 - 3) = 2$ .
Charakterystyka Eulera otrzymanego wielościanu jest zatem równa charakterystyce Eulera wyjściowego ostrosłupa.
Postępując analogicznie, do ściany $S_{2} B_{2} C_{2}$ doklejamy kolejny ostrosłup. Określ, ile maksymalnie identycznych ostrosłupów opisanych w zadaniu można skleić w ten sposób ze sobą.
Rozpatrzmy w danym ostrosłupie trójkąt, którego wierzchołkami są środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy i wierzchołek górny ostrosłupa.
RGZhiKXdwxV23
Grafika przedstawia ostrosłup o podstawie czworokąta, wierzchołki podstawy oznaczono literami $A_{1}$ $B_{1}$ $C_{1}$ $D_{1}$ , a wierzchołek ostrosłupa oznaczono literą $S_{1}$ . W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, a spodek wysokości oznaczono literą O. W podstawie ostrosłupa zaznaczono jej przekątne. Kąt pomiędzy wysokością a jedną z przekątnych podstawy zaznaczono jako kąt prosty. Do ściany $B_{1}$ $C_{1}$ $S_{1}$ doklejono identyczny ostrosłup w taki sposób, że $S_{1} = S_{2}$ , $B_{1} = A_{2}$ natomiast $C_{1} = D_{2}$ . Pozostałe wierzchołki podstawy doklejonego ostrosłupa to $B_{2}$ i $C_{2}$ . W obu ostrosłupach zaznaczono trójkąty, których wierzchołkami są środki dwóch krawędzi podstawy i wierzchołek górny ostrosłupa, zatem trójkąty te mają dwa wierzchołki wspólne.
Ponieważ zgodnie z warunkami zadania wysokość ściany bocznej jest równa krawędzi podstawy, to ten trójkąt jest trójkątem równobocznym. Gdy doklejamy kolejne ostrosłupy, trójkąty te sklejają się bokami należącymi do sklejanej ściany i są współpłaszczyznowe. Ponieważ kąt wewnętrzny trójkąta równobocznego jest równy $60 °$ , to zlepimy maksymalnie sześć ostrosłupów, otrzymując w omawianym przekroju kąt pełny $360 °$ .
Podajemy charakterystykę Eulera wielościanu sklejonego z tej maksymalnej liczby ostrosłupów.
Oto szkic otrzymanego wielościanu.
RpkzudWEWvmbQ
Na zamieszczonym rysunku możemy zauważyć, że omawiany wielościan sklejony z sześciu ostrosłupów ma: $18$ ścian, $13$ wierzchołków oraz $30$ krawędzi. Obliczając jego charakterystykę Eulera otrzymujemy $χ = 18 + 13 - 30 = 1$ . Oznacza to, że po sklejeniu ostatnich ścian i domknięciu „pierścienia” otrzymamy wielościan, którego charakterystyka jest różna od charakterystyki użytych ostrosłupów.

Polecenie 3

Eulera dla ostrosłupów. Zapoznaj się z animacją 3D dotyczącą twierdzenia

Zapoznaj się z animacją 3D dotyczącą twierdzenia Eulera dla ostrosłupów. Przeanalizuj przedstawione zadania i ich rozwiązania. Zwróć uwagę na przyjęte oznaczenia i sposób zapisu kolejnych etapów pracy.

RkkX1qOy1p6eA

Polecenie 4

Jaki wielokąt jest w podstawie ostrosłupa, jeżeli suma ilości jego wierzchołków, krawędzi i ścian jest równa $118$ ?

Zgodnie z przyjętymi w samouczku oznaczeniami, możemy zanotować, że $W + S + K = 118$ . Jednocześnie z twierdzenia Eulera wiemy, że $W + S - K = 2$ . Odejmując stronami te dwa równania otrzymamy informację o ilości krawędzi naszego ostrosłupa $K = 58$ . Konsekwentnie oznacza to, że w podstawie ostrosłupa jest $29$ -kąt.

Polecenie 5

Rozpatrujemy ostrosłup $n$ -kątny. Tworzymy wielościan niewypukły, wydrążając z danego ostrosłupa ostrosłup do niego podobny w skali $1 : 4$ . Podstawa mniejszego ostrosłupa jest zawarta w podstawie większego. Sprawdź, czy taka bryła spełnia wzór Eulera. Możesz wykorzystać poznaną metodę , dzięki której ilość ścian, krawędzi i wierzchołków ostrosłupa wyrażamy za pomocą jednej zmiennej $n$ określającej ilość krawędzi podstawy ostrosłupa.

Rozpatrujemy ostrosłup $n$ -kątny. Tworzymy wielościan niewypukły, wydrążając z danego ostrosłupa ostrosłup do niego podobny w skali $1 : 4$ . Podstawa mniejszego ostrosłupa jest zawarta w podstawie większego. Sprawdź, czy taka bryła spełnia wzór Eulera. Możesz wykorzystać metodę omówioną w samouczku, dzięki której ilość ścian, krawędzi i wierzchołków ostrosłupa wyrażamy za pomocą jednej zmiennej $n$ określającej ilość krawędzi podstawy ostrosłupa.

Jeżeli postąpimy zgodnie z opisem, nowa bryła nie jest wielościanem wypukłym. Jednak łatwo zauważyć, że:

podwoi się wyjściowa ilość wierzchołków ostrosłupa,
podwoi się wyjściowa ilość krawędzi ostrosłupa,
ilość ścian zwiększy się o $n$ (bo ściany podstaw leżą w tej samej płaszczyźnie).

Ostatecznie mamy:

$W + S - K = (2 n + 2) + (n + 1 + n) - (2 n + 2 n) = 2 n + 2 + 2 n + 1 - 4 n = 3$

Oznacza to, że taka bryła (pomimo, że zdefiniowana za pomocą ostrosłupów) nie spełnia twierdzenia Eulera.

Ćwiczenie 1

RJZu7S1qEAZAq

RHz2h3iRimQON

R188jZJz741hk1

Ćwiczenie 2

R9qa1bGKaV4yK2

Ćwiczenie 3

RAZqNwacKp0Ca2

Ćwiczenie 4

Rdxz9M7iGBpDv2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Sześcio–ośmiościan rombowy mały jest wielościanem półforemnym, tworzy go $8$ trójkątów równobocznych i $18$ kwadratów. Ile ścian tego wielościanu łączy się w jednym wierzchołku?

Sześcio–ośmiościan rombowy mały jest wielościanem wypukłym. Ma $26$ ścian.

Ustalmy, ile ma krawędzi. Ponieważ składa się z $8$ trójkątów i $18$ kwadratów to $8 \cdot 3 + 18 \cdot 4 = 24 + 72 = 96$ .

Każda krawędź jest wspólna dla dwóch ścian, czyli mamy $96 : 2 = 48$ krawędzi.

Z twierdzenia Eulera mamy $W + S = K + 2$ , czyli $W + 26 = 48 + 2$ .

A stąd $W = 24$ .

$8$ trójkątów i $18$ kwadratów ma łącznie $96$ wierzchołków, czyli w jednym wierzchołku łączą się $96 : 24 = 4$ ściany.

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, korzystając z twierdzenia Eulera, że istnieje dokładnie pięć wielościanów platońskich.

Niech ścianą wielościanu foremnego będzie $n$ –kąt foremny, a w jednym wierzchołku spotyka się $m$ krawędzi. Przy czym $n, m \in ℕ ∖ \{0, 1, 2\}$ .

Wtedy $K = \frac{S n}{2}$ oraz $K = \frac{W m}{2}$ (ponieważ każda krawędź należy do dwóch ścian i każda krawędź łączy dwa wierzchołki).

Wyraźmy więc $S$ i $W$ za pomocą $K$ . Mamy:

$S = \frac{2 K}{n}$ oraz $W = \frac{2 K}{m}$ .

Wielościany foremne są wielościanami wypukłymi, a zatem spełniają wzór Eulera:

$S + W - K = 2$

A stąd

$\frac{2 K}{n} + \frac{2 K}{m} - K = 2$ .

Ponieważ $K \geq 6$ , to możemy stronami podzielić przez $K$ .

Otrzymujemy więc:

$\frac{2}{n} + \frac{2}{m} = 1 + \frac{2}{K}$ .

Ponieważ $\frac{2}{K} > 0$ , to $\frac{2}{n} + \frac{2}{m} > 1$ . Przy czym zarówno $\frac{2}{n}$ jak i $\frac{2}{m}$ maksymalnie wynoszą $\frac{2}{3}$ (bo $n, m \geq 3$ ).

Czyli $\frac{2}{n}, \frac{2}{m} > \frac{1}{3}$ , a to oznacza, że $n, m < 6$ .

Metodą eliminacji (podstawiając do nierówności $\frac{2}{n} + \frac{2}{m} > 1$ ) otrzymujemy:

Dla $n = 3$ mamy $m = 3$ lub $m = 4$ lub $m = 5$ ;

Dla $n = 4$ mamy $m = 3$ ;

Dla $n = 5$ mamy $m = 3$ .

A zatem mamy pięć wielościanów foremnych.

Ćwiczenie 8

Graniastosłup i ostrosłup o tej samej podstawie sklejamy krawędzią podstawy. Uzasadnij, że tak powstała bryła, nie spełnia równości $W + S - K = 2$ .

Niech podstawą graniastosłupa i ostrosłupa będzie $n$ –kąt.

Wtedy $W_{G} = 2 n$ , $S_{G} = n + 2$ , $K_{G} = 3 n$ oraz $W_{O} = n + 1$ , $S_{O} = n + 1$ , $K_{O} = 2 n$ .

Po sklejeniu, dla nowej bryły będziemy mieć:

$W = W_{G} + W_{O} - 2 = 2 n + n + 1 - 2 = 3 n - 1$

$S = S_{G} + S_{O} = n + 2 + n + 1 = 2 n + 3$

$K = K_{G} + K_{O} - 1 = 3 n + 2 n - 1 = 5 n - 1$

Wtedy $W + S - K = 5 n + 2 - (5 n - 1) = 3 \neq 2$ .

RaAcLRg7Ta0tB1

Ćwiczenie 9

R9iCfHZw5sk4T1

Ćwiczenie 10

R1OSoNsDiU0qL2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

RzIgvqMaSnyiy

Dany jest ostrosłup o nieparzystej liczbie wierzchołków, którego wszystkie krawędzie mają równe długości. Oblicz ile krawędzi ma ten ostrosłup.

Aby rozwiązać zadanie musisz zadać sobie dwa kluczowe pytania:

Co wynika z faktu, że liczba wierzchołków ostrosłupa jest nieparzysta?
Jakimi trójkątami są ściany boczne tego ostrosłupa?

Jak poprzednio, przez $n \in N$ oznaczmy liczbę wierzchołków podstawy naszego ostrosłupa. Oczywiście $n > 2$ .

Po pierwsze zauważmy, że aby liczba wszystkich wierzchołków ostrosłupa była nieparzysta, to podstawę ostrosłupa musi stanowić wielokąt o parzystej liczbie wierzchołków, czyli $n$ jest liczbą parzystą. Co więcej, ponieważ wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają równą długość, więc w szczególności jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Kąty płaskie przy wierzchołku ostrosłupa są zatem równe $60 °$ . Suma tych kątów musi zaś być mniejsza niż $360 °$ .

Otrzymujemy wobec tego nierówność $n \cdot 60 ° < 360 °$ .

Dzieląc obustronnie przez $60 °$ otrzymujemy $2 < n < 6$ . Liczba ścian bocznych ostrosłupa wynosi zatem co najmniej $3$ i co najwyżej $5$ . Jedyną liczbą parzystą z przedziału $<3; 5>$ jest liczba $4$ .

Zatem jedynym ostrosłupem spełniającym założenia jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego długość każdej krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi podstawy. Ostrosłup taki posiada dokładnie $8$ krawędzi.

Ćwiczenie 13

W ostrosłupie liczba krawędzi wynosi $190 %$ liczby wierzchołków. Wyznacz liczbę ścian tego ostrosłupa.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$ -kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K = 2 n$ , a liczba jego wierzchołków jest równa $W = n + 1$ . Warunki zadania będą zatem spełnione, gdy liczba naturalna $n$ będzie spełniała równanie:
$2 n = 1, 9 \cdot (n + 1)$
$0, 1 n = 1, 9$
$n = 19$
Podstawą ostrosłupa jest zatem dziewiętnastokąt. Taka bryła ma dokładnie dwadzieścia ścian.

Ćwiczenie 14

Przyjmując, że $K$ oznacza liczbę krawędzi pewnego ostrosłupa a $S$ liczbę jego ścian. Ile wierzchołków ma ten ostrosłup, jeżeli spełniona jest równość $K^{2} + 3 K = 18 S - 2$ .

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$ -kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K = 2 n$ , a liczba jego ścian jest równa $S = n + 1$ . Oznacza to, że dana równość jest równoważna następującemu równaniu o niewiadomej $n$ (gdzie $n \in ℕ$ i $n > 2$ ):
${(2 n)}^{2} + 3 \cdot (2 n) = 18 \cdot (n + 1) - 2$
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
$4 n^{2} + 6 n - 18 n - 18 + 2 = 0$
$4 n^{2} - 12 n - 16 = 0$
$n^{2} - 3 n - 4 = 0$
$Δ = 9 + 16 = 25$
$n_{1} = \frac{3 - 5}{2} = - 1$
$n_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$ .
Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to jedynym rozwiązaniem równania jest $n = 4$ . Oznacza to, że w podstawie ostrosłupa znajduje się czworokąt, zatem bryła ta posiada pięć wierzchołków.

Ćwiczenie 15

W ostrosłupie iloczyn liczby ścian i liczby krawędzi wynosi $84$ . Jaką figurą jest podstawa tego ostrosłupa?

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$ -kąt. Wtedy liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $K = 2 n$ , a liczba jego ścian jest równa $S = n + 1$ . Z warunków zadania wynika zatem równość:
$(n + 1) \cdot 2 n = 84 \land n \in ℕ \land n > 2$
Możemy oczywiście rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe obliczając standardowo wyróżnik trójmianu kwadratowego. My wykorzystamy jednak fakt, że rozwiązanie ma być liczba naturalną. Rozłożymy zatem prawą stronę na czynniki pierwsze.
$2 n \cdot (n + 1) = 84$
$n \cdot (n + 1) = 42$
$n \cdot (n + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$n \cdot (n + 1) = 6 \cdot 7$
$n = 6$
Powołując się na jednoznaczność rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze wnioskujemy, że liczba $n = 6$ jest jedynym rozwiązaniem tego równania. Ostatecznie wiadomo, że w podstawą ostrosłupa spełniającego warunki zadania jest sześciokąt.

Ćwiczenie 16

Rozpatrzmy ostrosłup, w którym $V$ oznacza liczbę wierzchołków, $E$ liczbę krawędzi oraz $F$ liczbę ścian. Konstruujemy prostopadłościan o wymiarach równych $V \times E \times F$ . Wiemy, że objętość tego prostopadłościanu wynosi $360$ . Oblicz wymiary prostopadłościanu.

Przyjmijmy, że podstawą rozważanego ostrosłupa jest pewien $n$ -kąt. Wtedy liczba wierzchołków tego ostrosłupa wynosi $V = n + 1$ , liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa $E = 2 n$ , a liczba jego ścian jest równa $F = n + 1$ . Zgodnie z warunkami zadania objętość prostopadłościanu o wymiarach $V \times E \times F$ jest równa $360$ . Otrzymujemy zatem równanie postaci:
$(n + 1) \cdot 2 n \cdot (n + 1) = 360$
Jest to równanie wielomianowe. Przekształcając wielomian i rozkładając go na czynniki (wykorzystując np. fakt, że jednym z dzielników wyrazu wolnego wielomianu jest liczba $5$ i zeruje ona wielomian oraz stosując schemat Hornera), otrzymamy:
$2 n \cdot {(n + 1)}^{2} = 360$
$n \cdot {(n + 1)}^{2} = 180$
$n^{3} + 2 n^{2} + n - 180 = 0$
$(n - 5) (n^{2} + 7 n + 36) = 0$
Ponieważ drugi czynnik nie przyjmuje wartości zero $(∆ < 0)$ , jedynym rozwiązaniem tego równania jest $n = 5$ . Oznacza to, że omawiany prostopadłościan ma wymiary $10 \times 6 \times 6$ .

Słownik

wielościan

bryła, której wszystkie ściany są wielokątami spełniającymi warunki: każde dwie ściany mają wspólną krawędź, wierzchołek lub nie mają części wspólnej, każda krawędź jest wspólna dla dokładnie dwóch ścian, każdy wierzchołek jest wspólny dla co najmniej trzech krawędzi

wielościan wypukły

wielościan, który w całości znajduje się po jednej stronie każdej płaszczyzny wyznaczonej przez jedną z jego ścian

bryła wypukła

zbiór punktów, który spełnia warunek, że każde dwa punkty należące do tego zbioru można połączyć odcinkiem zawartym w tym zbiorze

4. Kąty w ostrosłupach

M_R_W23_M2 Graniastosłupy i ostrosłupy

Wielościan wypukły

Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanach

Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera, a graniastosłupy

Twierdzenie Eulera dla ostrosłupów

Słownik