• Poznasz pojęcie znaku funkcji w przedziale.

• Poznasz sposoby określania znaku funkcji opisanej za pomocą wykresu oraz wzoru.

• Wskażesz przedział, w którym funkcja przyjmuje wartości dodatnie/ujemne.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

R1LUBBN4UQ2HN

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres będący łamaną. Łamana składa się z połączonych ze sobą odcinków o końcach w następujących punktach kolejno od lewej: nawias, minus, siedem, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, pięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, cztery, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, pięć, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu, przecinek, nawias, siedem, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich są ujemne.

Rozwiązanie:

Dla $x\in \left.⟨-7, -6\right)$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla $x\in \left(-6, -2\right)$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla $x\in \left(-2, 1\right)$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne,

dla $x\in \left(1, 6\right)$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie,

dla $x\in \left(6, 7\right.⟩$ – funkcja przyjmuje wartości ujemne.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wykresu.

RQFRZ2CNUZG9U

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus sześciu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres składający się z dwóch łuków połączonych poziomym odcinkiem. Wykres zaczyna się w punkcie nawias, minus, pięć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku wybrzuszonym w lewo w dół do punktu nawias, minus, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Dalej od tego punktu wykres biegnie wdłuż poziomego odcinka o końcu w punkcie nawias, dwa, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu i stąd biegnie po łuku wybrzuszonym w prawo w dół do punktu nawias, sześć, średnik, pięć, zamknięcie nawiasu.

Odczytamy z wykresu dla jakich argumentów znak funkcji jest dodatni.

Rozwiązanie:

Analizując wykres zauważamy, że funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Możemy to zapisać:

dla $x\in ⟨-5, 6⟩$ – funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-5, 6⟩$.

O funkcji $f$ możemy powiedzieć, że ma stały znak. Dla wszystkich argumentów należących do dziedziny funkcji przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=2x-6$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy te argumenty, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne oraz te, dla których przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie:

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne należy rozwiązać nierówność $f\left(x\right)<0$.

$f\left(x\right)<0\iff 2x-6<0\iff 2x<6\iff x<3$

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(-\infty , 3\right)$.

Aby wyznaczyć te argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie należy rozwiązać nierówność $f\left(x\right)>0$.

$f\left(x\right)>0\iff 2x-6>0\iff 2x>6\iff x>3$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x\in \left(3, \infty \right)$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\left|2x-4\right|-6,& \text{gdy }x<2\\ \sqrt{x}-4,& \text{gdy }x\ge 2\end{array}\right.$.

Określimy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz te, w których przyjmuje wartości ujemne.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru składającego się z dwóch wyrażeń.

Dla każdej części wzoru musimy rozwiązać dwie nierówności:

$f\left(x\right)<0$ oraz $f\left(x\right)>0$.

$f\left(x\right)=\left|2x-4\right|-6$, gdy $x<2$.

$\left|2x-4\right|-6<0\iff \left|2x-4\right|<6\iff -6<2x-4<6\iff$

$\iff \left[\left(2x-4>-6\right)\wedge \left(2x-4<6\right)\right]\iff \left[2x>-2\wedge 2x<10\right]\iff \left[x>-1\wedge x<5\right]$

Rozwiązanie nierówności: $x\in \left(-1, 5\right)$. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x\in \left(-1, 2\right)$.

$\left|2x-4\right|-6>0\iff \left|2x-4\right|>6\iff \left[\left(2x-4<-6\right)\vee \left(2x-4>6\right)\right]\iff$

$\iff \left[\left(2x<-2\right)\vee \left(2x>10\right)\right]\iff \left[\left(x<-1\right)\vee \left(x>5\right)\right]$

Rozwiązanie nierówności: $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(5, \infty \right)$. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x\in \left(-\infty , -1\right)$.

Analogicznie postępujemy z drugą częścią wzoru.

$f\left(x\right)=\sqrt{x}-4$, gdy $x\ge 2$.

$\sqrt{x}-4>0\iff \sqrt{x}>4\iff x>16$

Rozwiązanie nierówności: $x\in \left(16, \infty \right)$. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x\in \left(16, \infty \right)$.

$\sqrt{x}-4<0\iff \sqrt{x}<4\iff x<16$

Rozwiązanie nierówności: $x\in \left.⟨0, 16\right)$. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy $x\in \left.⟨2, 16\right)$.

Otrzymane wyniki umieścimy w tabeli.

zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych $\left(x, f\left(x\right)\right)$, w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie $x$ jest elementem dziedziny tej funkcji, a $f\left(x\right)$ jest wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$