5. Wzory skróconego mnożenia na deser

Rj4hBQB8nCdaz

W tym materiale pokażemy również, jak wykorzystać wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki.

RdXQINXqpDoun1

Na ilustracji znajduje się stary mężczyzna w koszuli z wiązaną stójką , aksamitnym płaszczu i czapce. Mężczyzna ma orli nos, zapadnięte oczy oraz bokobrody. — Carl Gauss
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Zapisywanie wyrażeń algebraicznych w postaci iloczynów wcale nie jest takie łatwe, jak może ci się wydawać. Po pierwsze nie zawsze jest to możliwe (w zbiorze liczb rzeczywistych), a po drugie w wielu wypadkach trzeba się nieźle natrudzić, żeby tego dokonać.

Matematycy przez kilka stuleci usiłowali znaleźć odpowiedź na pytanie – czy każdy wielomian stopnia co najmniej $3$ można rozłożyć na czynniki. Rozstrzygającą odpowiedź na to pytanie dał w $XVIII$ wieku jeden z najsłynniejszych matematyków wszechczasów Carl Gauss, który mając zaledwie $22$ lata udowodnił, że każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego (niestety, w wielu wypadkach przy użyciu o wiele bardziej zaawansowanych narzędzi niż te, którymi dysponujesz).

Zbierzemy też wiadomości na temat poznanych już wzorów skróconego mnożenia i rozwiniemy umiejętności ich wykorzystania.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy (różnicy) trzech wyrażeń.
Zintegrujesz umiejętności wykorzystania poznanych wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystasz wzory skróconego mnożenia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki.
Dobierzesz najefektywniejszy sposób zapisania w postaci iloczynu wyrażenia algebraicznego, analizując postać tego wyrażenia.

Przypomnijmy najpierw potrzebne wzory.

Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Ważne!

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Ważne!

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Kwadrat sumy

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, możemy otrzymać wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = {[(a + b) + c]}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 \cdot (a + b) \cdot c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$ .

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń można stosować, przekształcając wyrażenia algebraiczne czy w dowodach nierówności.

Przykład 1

Wykażemy, że jeśli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ to ${(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeń

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} = a + b + c + 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c}

Ponieważ $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , zatem $a + b + c > 0$ .

Stąd:

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}

Przykład 2

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $M$ różnicę wyrażeń z lewej i prawej strony nierówności.

Wykażemy, że ta różnica jest nieujemna.

M = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - {(a + b + c)}^{2}

Wykonujemy wskazane działania (korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń).

M = 3 a^{2} + 3 b^{2} + 3 c^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c)

Redukujemy wyrazy podobne.

M = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c

Przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby zapisać sumę w postaci sumy trzech kwadratów – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

M = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}

Suma kwadratów jest zawsze nieujemna.

M = {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0

Rozpatrywana nierówność jest prawdziwa.

M \geq 0

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}} - \frac{1}{2} x = 0$ , jeśli $x + y + z = 0$ .

Rozwiązanie:

W mianowniku ułamka wykonujemy wskazane działania.

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 x z + x^{2}} - \frac{1}{2} x = 0

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - (2 x y + 2 y z + 2 x z)} - \frac{1}{2} x = 0

Przekształcamy wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń, pamiętając, że $x + y + z = 0$ .

{(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 z y

0 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 x z + 2 z y

x^{2} + y^{2} + z^{2} = - (2 x y + 2 x z + 2 z y)

Powracamy do równania – wykorzystujemy powyższą zależność w mianowniku ułamka.

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (x^{2} + y^{2} + z^{2})} - \frac{1}{2} x = 0

\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})} - \frac{1}{2} x = 0

Skracamy.

\frac{1}{3} - \frac{1}{2} x = 0

x = \frac{2}{3}

Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego raz jeszcze

Rozwiążemy teraz kilka zadań, wykorzystując znane już własności wynikające ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 4

Uzasadnimy, że dla nieujemnych liczb $a$ , $b$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 (a + b)}$ .

Rozwiązanie:

Obie strony dowodzonej nierówności są nieujemne, zatem rozpatrywana nierówność jest równoważna nierówności

{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \leq 2 (a + b)

Stąd:

2 \sqrt{a b} \leq 2 a + 2 b - a - b

2 \sqrt{a b} \leq a + b

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy

a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0

{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0

Nierówność otrzymana jest prawdziwa i równoważna dowodzonej nierówności.

Zatem dowodzona nierówność jest prawdziwa, co należało dowieść.

Przykład 5

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie:

Przekształcamy wyrażenie określające liczbę $K$ .

K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64 = {(4^{n})}^{2} - 2 \cdot 4^{n} \cdot 2^{3} + 8^{2} = {(4^{n} - 8)}^{2}

Liczba $K$ jest więc kwadratem liczby $4^{n} - 8$ .

Przykład 6

Znajdziemy sumę liczb $a$ , $b$ , $c$ wiedząc, że $\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} = 0$ , $\frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} = 0$ , $\frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0$ .

Rozwiązanie:

Dodajemy stronami zapisane równości.

\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} = 0

\frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} = 0

\frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0

\frac{a}{2 b c} + \frac{1}{c} + \frac{b}{2 a c} + \frac{1}{a} + \frac{c}{2 a b} + \frac{1}{b} = 0

Sprowadzamy lewą stronę równości do wspólnego mianownika.

\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c}{2 a b c} = 0

Licznik zapisujemy w postaci kwadratu sumy (korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia).

\frac{{(a + b + c)}^{2}}{2 a b c} = 0

Ułamek jest równy $0$ , jeżeli jego licznik jest równy $0$ .

a + b + c = 0

Suma liczb $a$ , $b$ , $c$ jest równa $0$ .

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Zaobserwuj, w jaki sposób można graficznie zilustrować wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

RyzsNtOu7pO2W

R1AWrvUCM5JvL

R14fm2qRTkXA9

RgUMUlPzZ1PEP

R1FKipzqkBs2K

Polecenie 2

Wykaż, że ${(a - b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c + 2 b c$ .

$L = {(a - b - c)}^{2} = (a - b - c) (a - b - c)$
$L = a^{2} - a b - a c - a b + b^{2} + b c - a c + b c + c^{2}$
$L = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c + 2 b c$

Rozkład na czynniki (faktoryzacja) wielomianu polega na znalezieniu takich wielomianów jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Przy czym znalezione wielomiany nie mogą być tego samego stopnia (lub wyższego) co dany wielomian.

W tej części materiału zajmiemy się rozkładem wyrażeń algebraicznych na czynniki, z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia drugiego stopnia. Przy czym wyrażenia będą miały postać wielomianu:

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0},

gdzie:
$a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ – dane liczby rzeczywiste.

Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Przykład 7

Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwijamy” wtedy sumę w kwadrat dwumianu, a następnie zapisujemy kwadrat w postaci iloczynu.

x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} = {(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3)

x^{4} + 8 x^{2} + 16 = {(x^{2})}^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 4^{2} = {(x^{2} + 4)}^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)

3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 1 = {(\sqrt{3} x)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{3} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{3} x + 1)}^{2} = (\sqrt{3} x + 1) (\sqrt{3} x + 1)

25 y^{2} + 20 x y + 4 x^{2} = {(5 y)}^{2} + 2 \cdot 5 y \cdot 2 x + {(2 x)}^{2} =

= {(5 y + 2 x)}^{2} = (5 y + 2 x) (5 y + 2 x)

Przykład 8

W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

98 x^{2} + 84 x + 18 = 2 \cdot (49 x^{2} + 42 x + 9) = 2 \cdot {(7 x + 3)}^{2} = 2 \cdot (7 x + 3) (7 x + 3)

\sqrt{7} x^{4} y^{4} + 14 x^{2} y^{2} + 7 \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot (x^{4} y^{4} + 2 \sqrt{7} x^{2} y^{2} + 7) =

= \sqrt{7} \cdot (x^{2} y^{2} + \sqrt{7}) (x^{2} y^{2} + \sqrt{7})

x^{5} y + 20 x^{4} y + 100 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} + 20 x + 100) = x^{3} y \cdot (x + 10) (x + 10)

Przykład 9

Teraz przed nami trudne zadanie. Aby rozłożyć podane wyrażenie na czynniki, musimy pogrupować najpierw odpowiednio składniki, a następnie skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.

A = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 x^{2} + 4 x + 2

Grupujemy składniki.

A = (x^{3} + 2 x^{2} + x) + (2 x^{2} + 4 x + 2)

Wyłączamy wspólne czynniki z obu nawiasów.

A = x \cdot (x^{2} + 2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)

Ponownie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.

A = (x^{2} + 2 x + 1) (x + 2)

Zauważmy, że wyrażenie w pierwszym nawiasie to kwadrat sumy $x + 1$ .

A = {(x + 1)}^{2} (x + 2)

Ostatecznie:

A = (x + 1) (x + 1) (x + 2)

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy

Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można stosować wzór na kwadrat różnicy.

Przykład 10

Oto przykłady rozkładu na czynnikirozkład na czynniki (faktoryzacja)rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwinąć” sumę w kwadrat różnicy, a następnie zapisać wyrażenie w postaci iloczynu.

x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2} = {(x - 5)}^{2} = (x - 5) (x - 5)

x^{4} - 14 x^{2} + 49 = {(x^{2})}^{2} - 2 \cdot 7 x^{2} + 7^{2} = {(x^{2} - 7)}^{2} = (x^{2} - 7) (x^{2} - 7)

5 x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 1 = {(\sqrt{5} x)}^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{5} x - 1)}^{2} = (\sqrt{5} x - 1) (\sqrt{5} x - 1)

36 y^{2} - 36 x y + 9 x^{2} = {(6 y)}^{2} - 2 \cdot 6 y \cdot 3 x + {(3 x)}^{2} =

= {(6 y - 3 x)}^{2} = (6 y - 3 x) (6 y - 3 x)

Przykład 11

128 x^{2} - 32 x + 2 = 2 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) = 2 \cdot {(8 x - 1)}^{2} = 2 \cdot (8 x - 1) (8 x - 1)

\sqrt{3} x^{4} y^{4} - 6 x^{2} y^{2} + 3 \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (x^{4} y^{4} - 2 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 3) =

= \sqrt{3} \cdot (x^{2} y^{2} - \sqrt{3}) (x^{2} y^{2} - \sqrt{3})

x^{5} y - 18 x^{4} y + 81 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} - 18 x + 81) = x^{3} y \cdot (x - 9) (x - 9)

Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw odpowiednio rozpisać składniki, a nawet dodać lub odjąć odpowiednie wyrażenie.

Przykład 12

Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie $B = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ .

Do wyrażenia dodajemy $4 x$ i jednocześnie odejmujemy $4 x$ , wyrażenie $- 3 x^{2}$ zapisujemy w postaci $(- 4 x^{2} + x^{2})$ .

B = x^{3} \underset{↓}{\underset{⏟}{- 3 x^{2}}} + 4 B = x^{3} \underset{}{\underset{⏟}{- 4 x^{2} + x^{2}}} + 4 + 4 x - 4 x

Grupujemy składniki.

B = (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x) + (x^{2} - 4 x + 4)

Wyłączamy z pierwszego nawiasu wspólny czynnik.

B = x \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} - 4 x + 4)

Ponownie wyłączamy wspólny czynnik.

B = (x^{2} - 4 x + 4) (x + 1)

Zapisujemy pierwszy z nawiasów w postaci iloczynu – korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

B = (x - 2) (x - 2) (x + 1)

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Najczęściej wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na różnicę kwadratów.

Przykład 13

Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę kwadratów.

x^{2} - 121 = x^{2} - 11^{2} = (x - 11) (x + 11)

b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, zastosowujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

x^{4} - 1 = {(x^{2})}^{2} - 1^{2} = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

c) Ponownie zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

{(x^{2} - 2)}^{2} - 9 = (x^{2} - 2 - 3) (x^{2} - 2 + 3) = (x^{2} - 5) (x^{2} + 1) =

= (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 1)

d) Wyłączamy najpierw wspólny czynnik poza nawias i korzystamy z tego, że $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

4 x^{5} y^{2} - 32 x^{3} = 4 x^{3} (x^{2} y^{2} - 8) = 4 x^{3} (x y - 2 \sqrt{2}) (x y + 2 \sqrt{2})

Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia

Jeśli chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie algebraiczne, z którego postaci nie możemy bezpośrednio wywnioskować, jaki sposób rozkładu zastosować, sprowadzamy to wyrażenie do najprostszej postaci. I dopiero wtedy ustalamy sposób rozkładu (jeśli ten rozkład jest możliwy).

Przykład 14

Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie $C = {(y + 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot (x - y)$ .

Krok 1 – wykonujemy wskazane działania

C = y^{2} + 2 y + 1 - x^{2} - 2 x - 1 + 2 x - 2 y

Krok 2 – redukujemy wyrazy podobne

C = y^{2} - x^{2}

Krok 3 – rozkładamy na czynniki

C = (y - x) (y + x)

Przykład 15

Rozłożymy na czynniki wielomian $D = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

Krok 1 – wyłączamy wspólny czynnik

D = x \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)

Krok 2 – wyraz wolny wielomianu to $4$ , zatem szukamy najpierw możliwości zapisania wyrażenia znajdującego się w nawiasie w postaci iloczynu takich wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie $1 \cdot 4$ lub $2 \cdot 2$ albo $(- 1) \cdot (- 4)$ lub $(- 2) \cdot (- 2)$ .

Współczynnik przy $x^{4}$ to $1$ . Zatem próbujemy poszukać takich dwóch wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie $x^{2} \cdot x^{2}$ lub $x \cdot x^{3}$ .

„Rozpisujemy” $2 x^{3}$ w postaci $- x^{3} + 3 x^{3}$ , aby wyłączyć w konsekwencji wspólny czynnik przed nawias.

D = x \cdot (x^{4} - x^{3} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)

D = x \cdot [x^{3} \cdot (x - 1) + 3 x^{2} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)]

D = x \cdot (x - 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)

Krok 3 – ponownie stosujemy „chwyt” taki jak wyżej – zapisujemy $3 x^{2}$ w postaci $- x^{2} + 4 x^{2}$ .

D = x \cdot (x - 1) (x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} - 4)

D = x \cdot (x - 1) [x^{2} \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x^{2} - 1)]

Krok 4 – wyrażenie w ostatnim nawiasie to różnica kwadratów, zatem możemy zapisać to wyrażenie w postaci: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ i wyłączyć wspólny czynnik.

D = x \cdot (x - 1) [x^{2} \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1) (x + 1)]

D = x \cdot (x - 1) (x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)

Krok 5 – wyrażenie w ostatnim nawiasie zapisujemy jako kwadrat dwumianu $(x + 2)$ .

D = x \cdot {(x - 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}

Ostatecznie:

D = x \cdot (x - 1) (x - 1) (x + 2) (x + 2)

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją pokazującą wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia w rozwiązywaniu równań, nierówności i dowodzeniu twierdzeń. Spróbuj rozwiązać podane przykłady też w inny sposób, bez stosowania wzorów skróconego mnożenia. Oceń, które sposoby są najefektywniejsze.

R1TZBciYnN0TB

Polecenie 4

Rozwiąż nierówność ${(x^{2} + 2 x)}^{2} - {(2 x + 4)}^{2} < 0$ . Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia.

{(x^{2} + 2 x)}^{2} - {(2 x + 4)}^{2} < 0

(x^{2} + 2 x - 2 x - 4) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) < 0

(x^{2} - 4) (x^{2} + 4 x + 4) < 0

(x - 2) (x + 2) {(x + 2)}^{2} < 0

Odpowiedź: $x \in (- 2, 2)$ .

R19Ht0YqLpsnU1

Ćwiczenie 1

R4S1Dw3cLOBhX1

Ćwiczenie 2

R1BdYE0Ye9m2I2

Ćwiczenie 3

R18VdaeN6spQQ2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary równe wyrażenia. nawias, a, minus, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, minus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, plus, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

R2mek47nSI6xa2

Ćwiczenie 5

R2lXwlL7zh02T2

Ćwiczenie 6

RgSKneNaQNQls2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Zapisz wyrażenie $W = \frac{a + b + c}{a - b + c} \cdot (a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c)$ w postaci różnicy kwadratów dwóch wyrażeń.

W = \frac{a + b + c}{a - b + c} \cdot (a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c)

W = \frac{a + b + c}{a - b + c} \cdot (a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2 b c - a b + a b + a c - a c)

W = \frac{a + b + c}{a - b + c} \cdot (a + b - c) (a - b + c)

W = (a + b + c) (a + b - c) = {(a + b)}^{2} - c^{2}

Ćwiczenie 9

Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} - \frac{3}{\sqrt{3} + 3}}$ .

\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} - \frac{3}{\sqrt{3} + 3}} = \sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3} - 3) (\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 3) - 3} =

= \sqrt{3} + \frac{3 - 9}{3 \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}

RA3ypjPNtT6C11

Ćwiczenie 10

R1cXfNDYPMGmE11

Ćwiczenie 11

RJhsbpNscKkIC2

Ćwiczenie 12

R1bytthusZQR12

Ćwiczenie 13

RAAEicTDSTMGh2

Ćwiczenie 14

RZluBwCsopgN12

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

R1dzMXEpq2EtK

RmEQv8fEipa5s

nawias, a, minus, dwa b, zamknięcie nawiasu, nawias, a, plus, dwa b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a b, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, a b, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego a, razy, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a b, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, a b, zamknięcie nawiasu, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 17

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest nierówność $2 a^{2} + 12 a + 1 > - 25$ .

2 a^{2} + 12 a + 1 > - 25

2 a^{2} + 12 a + 26 > 0 : 2

a^{2} + 6 a + 9 + 4 > 0

{(a + 3)}^{2} + 4 > 0

, bo

{(a + 3)}^{2} \geq 0

4 > 0

Słownik

kwadrat sumy trzech wyrażeń

kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$

Słownik

rozkład na czynniki (faktoryzacja)

to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu wielomianów jak najniższego stopnia

4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

M_R_W02_M2 Wzory skróconego mnożenia