5. Wzory skróconego mnożenia na deser

R983T2F8OZBZV

ROkw3Y97alPvr1

Obraz przedstawia dojrzałego mężczyznę w eleganckim stroju przepasanego czerwonym aksamitem. — Johann Wolfgang von Goethe
Źródło: Gerhard von Kügelgen, dostępny w internecie: www.wikimedia.commons.org, domena publiczna.

Matematycy to osobliwy naród – wszystko chcą upraszczać. Nie wystarczy im mnożenie wyrażeń algebraicznych, ale jeszcze muszą wymyślać dziwne wzory, które według jednych pomagają, a według innych tylko gmatwają obliczenia.

Nawet Goethe zauważył, że Matematycy są jak Francuzi: cokolwiek im się powie, od razu przekładają to na swój własny język i wówczas staje się to zupełnie czymś innym.

Podobnie jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, można rozważać wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech, a nawet więcej wyrażeń. Właśnie w tym materiale będzie okazja, aby wyprowadzić taki wzór i poznać jego zastosowanie.

Zbierzemy też wiadomości na temat poznanych już wzorów skróconego mnożenia i rozwiniemy umiejętności ich wykorzystania.

Twoje cele

Wyprowadzisz wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy (różnicy) trzech wyrażeń.
Zintegrujesz umiejętności wykorzystania poznanych wzorów skróconego mnożenia.
Wykorzystasz wzory skróconego mnożenia do rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki.
Dobierzesz najefektywniejszy sposób zapisania w postaci iloczynu wyrażenia algebraicznego, analizując postać tego wyrażenia.

Kwadrat sumy

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, możemy otrzymać wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = {[(a + b) + c]}^{2} = {(a + b)}^{2} + 2 \cdot (a + b) \cdot c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c + c^{2}

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Ważne!

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

{(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$ .

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń można stosować, przekształcając wyrażenia algebraiczne czy w dowodach nierówności.

Przykład 1

Wykażemy, że jeśli $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ to ${(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeń

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} = a + b + c + 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c}

Ponieważ $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ , zatem $a + b + c > 0$ .

Stąd:

{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})}^{2} \geq 2 \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a c} + 2 \sqrt{b c} \geq \sqrt{a b} + \sqrt{a c} + \sqrt{b c}

Przykład 2

Wykażemy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność $3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez $M$ różnicę wyrażeń z lewej i prawej strony nierówności.

Wykażemy, że ta różnica jest nieujemna.

M = 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - {(a + b + c)}^{2}

Wykonujemy wskazane działania (korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeńkwadrat sumy trzech wyrażeń).

M = 3 a^{2} + 3 b^{2} + 3 c^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c)

Redukujemy wyrazy podobne.

M = 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c

Przekształcamy otrzymane wyrażenie tak, aby zapisać sumę w postaci sumy trzech kwadratów – korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

M = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}

Suma kwadratów jest zawsze nieujemna.

M = {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0

Rozpatrywana nierówność jest prawdziwa.

M \geq 0

Wzory skróconego mnożenia stopnia drugiego raz jeszcze

Rozwiążemy teraz kilka zadań, wykorzystując znane już własności wynikające ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykład 3

Uzasadnimy, że dla nieujemnych liczb $a$ , $b$ prawdziwa jest nierówność $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2 (a + b)}$ .

Rozwiązanie:

Obie strony dowodzonej nierówności są nieujemne, zatem rozpatrywana nierówność jest równoważna nierówności

{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \leq 2 (a + b)

Stąd:

2 \sqrt{a b} \leq 2 a + 2 b - a - b

2 \sqrt{a b} \leq a + b

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy otrzymujemy

a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0

{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0

Nierówność otrzymana jest prawdziwa i równoważna dowodzonej nierówności.

Zatem dowodzona nierówność jest prawdziwa, co należało dowieść.

Przykład 4

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej $n$ liczba $K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64$ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie:

Przekształcamy wyrażenie określające liczbę $K$ .

K = 16^{n} - 2^{2 n + 4} + 64 = {(4^{n})}^{2} - 2 \cdot 4^{n} \cdot 2^{3} + 8^{2} = {(4^{n} - 8)}^{2}

Liczba $K$ jest więc kwadratem liczby $4^{n} - 8$ .

Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Przykład 5

Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwijamy” wtedy sumę w kwadrat dwumianu, a następnie zapisujemy kwadrat w postaci iloczynu.

x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} = {(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3)

x^{4} + 8 x^{2} + 16 = {(x^{2})}^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 4^{2} = {(x^{2} + 4)}^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)

3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 1 = {(\sqrt{3} x)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{3} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{3} x + 1)}^{2} = (\sqrt{3} x + 1) (\sqrt{3} x + 1)

25 y^{2} + 20 x y + 4 x^{2} = {(5 y)}^{2} + 2 \cdot 5 y \cdot 2 x + {(2 x)}^{2} =

= {(5 y + 2 x)}^{2} = (5 y + 2 x) (5 y + 2 x)

Przykład 6

W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

98 x^{2} + 84 x + 18 = 2 \cdot (49 x^{2} + 42 x + 9) = 2 \cdot {(7 x + 3)}^{2} = 2 \cdot (7 x + 3) (7 x + 3)

\sqrt{7} x^{4} y^{4} + 14 x^{2} y^{2} + 7 \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot (x^{4} y^{4} + 2 \sqrt{7} x^{2} y^{2} + 7) =

= \sqrt{7} \cdot (x^{2} y^{2} + \sqrt{7}) (x^{2} y^{2} + \sqrt{7})

x^{5} y + 20 x^{4} y + 100 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} + 20 x + 100) = x^{3} y \cdot (x + 10) (x + 10)

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy

Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można stosować wzór na kwadrat różnicy.

Przykład 7

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwinąć” sumę w kwadrat różnicy, a następnie zapisać wyrażenie w postaci iloczynu.

x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2} = {(x - 5)}^{2} = (x - 5) (x - 5)

x^{4} - 14 x^{2} + 49 = {(x^{2})}^{2} - 2 \cdot 7 x^{2} + 7^{2} = {(x^{2} - 7)}^{2} = (x^{2} - 7) (x^{2} - 7)

5 x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 1 = {(\sqrt{5} x)}^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{5} x - 1)}^{2} = (\sqrt{5} x - 1) (\sqrt{5} x - 1)

36 y^{2} - 36 x y + 9 x^{2} = {(6 y)}^{2} - 2 \cdot 6 y \cdot 3 x + {(3 x)}^{2} =

= {(6 y - 3 x)}^{2} = (6 y - 3 x) (6 y - 3 x)

Przykład 8

128 x^{2} - 32 x + 2 = 2 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) = 2 \cdot {(8 x - 1)}^{2} = 2 \cdot (8 x - 1) (8 x - 1)

\sqrt{3} x^{4} y^{4} - 6 x^{2} y^{2} + 3 \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (x^{4} y^{4} - 2 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 3) =

= \sqrt{3} \cdot (x^{2} y^{2} - \sqrt{3}) (x^{2} y^{2} - \sqrt{3})

x^{5} y - 18 x^{4} y + 81 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} - 18 x + 81) = x^{3} y \cdot (x - 9) (x - 9)

Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw odpowiednio rozpisać składniki, a nawet dodać lub odjąć odpowiednie wyrażenie.

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Najczęściej wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na różnicę kwadratów.

Przykład 9

Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę kwadratów.

x^{2} - 121 = x^{2} - 11^{2} = (x - 11) (x + 11)

b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, zastosowujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

x^{4} - 1 = {(x^{2})}^{2} - 1^{2} = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

c) Ponownie zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

{(x^{2} - 2)}^{2} - 9 = (x^{2} - 2 - 3) (x^{2} - 2 + 3) = (x^{2} - 5) (x^{2} + 1) =

= (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 1)

d) Wyłączamy najpierw wspólny czynnik poza nawias i korzystamy z tego, że $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

4 x^{5} y^{2} - 32 x^{3} = 4 x^{3} (x^{2} y^{2} - 8) = 4 x^{3} (x y - 2 \sqrt{2}) (x y + 2 \sqrt{2})

Galeria zdjęć interaktywnych

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych. Zaobserwuj, w jaki sposób można graficznie zilustrować wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

R14HKN8U2L499

R1VE9CK3AXGA8

RP5D7R1OP4M93

R1R93NZ2J5SC7

RTAADDT4C3PMO

Polecenie 1

Wykaż, że ${(a - b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c + 2 b c$ .

$L = {(a - b - c)}^{2} = (a - b - c) (a - b - c)$
$L = a^{2} - a b - a c - a b + b^{2} + b c - a c + b c + c^{2}$
$L = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c + 2 b c$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Fullpage

Pokaż ćwiczenia:

R1XQ16OB9VBUS1

Ćwiczenie 1

R7VTDCLGCQ3K31

Ćwiczenie 2

RN14XG3LUG2PH2

Ćwiczenie 3

RUAUQUUEMCX512

Ćwiczenie 4

Połącz w pary równe wyrażenia. nawias, a, minus, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, minus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, plus, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, minus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa a nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, plus, nawias, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

REP6PKONCX3QK2

Ćwiczenie 5

RS5RDTM8MUX2J2

Ćwiczenie 6

R6ARKTD7LG2D92

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Zapisz w jak najprostszej postaci wyrażenie $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} - \frac{3}{\sqrt{3} + 3}}$ .

Zacznij od pomnożenia licznika i mianownika ułamka przez wyrażenie $(\sqrt{3} + 3)$ .

\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3} - \frac{3}{\sqrt{3} + 3}} = \sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3} - 3) (\sqrt{3} + 3)}{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 3) - 3} =

= \sqrt{3} + \frac{3 - 9}{3 \sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}

RHSGECTHGN5SM1

Ćwiczenie 9

RMJ2N5MRH8RXV11

Ćwiczenie 10

R1GSZE4OEV9LA2

Ćwiczenie 11

RN7HQX66EQ27U2

Ćwiczenie 12

Ćwiczenie 13

REZPAD79Q8U72

R13F8CLLTB3ZN

nawias, a, minus, dwa b, zamknięcie nawiasu, nawias, a, plus, dwa b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a b, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, a b, plus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego a, razy, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, nawias, a, minus, b, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego nawias, a b, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, a b, zamknięcie nawiasu, razy, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 2. minus, jeden, plus, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. minus, a b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 4. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, b indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery b indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 14

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest nierówność $2 a^{2} + 12 a + 1 > - 25$ .

2 a^{2} + 12 a + 1 > - 25

2 a^{2} + 12 a + 26 > 0 : 2

a^{2} + 6 a + 9 + 4 > 0

{(a + 3)}^{2} + 4 > 0

, bo

{(a + 3)}^{2} \geq 0

4 > 0

Słownik

kwadrat sumy trzech wyrażeń

kwadrat sumy trzech wyrażeń $a$ , $b$ , $c$ jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń i podwojonych iloczynów $a b$ , $a c$ , $b c$

4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia