6.* Twierdzenie o stycznej i siecznej (DODATEK) - M_R_W11_M1 Proste, koła i okręgi

R1BFwzBKIL1B3

5.* Twierdzenie o stycznej i siecznej (DODATEK)

O pewnym kącie w trójkącie. Rozważmy trójkąt, w którym kąty przy podstawie mają miary $40 °$ i $74 °$ , a okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do dwóch jego boków odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ , jak na rysunku.

RGMecr3Un6Xgk

Ilustracja przedstawia trójkąt, w który wpisano okrąg. Oznaczono dwa kąty wewnętrzne w trójkącie: kąt 40 stopni oraz kąt 74 stopnie. Literą R oznaczono wierzchołek trójkąta, przy którym nie zaznaczono kąta wewnętrznego. Zaznaczono również dwa punkty na okręgu, w których okrąg styka się z bokami trójkąta rozpinającymi nieopisany kąt. Punkty te oznaczono literami P i Q. Punkty te połączono odcinkiem, który znajduje się całkowicie w okręgu. Oznaczono kąt R P Q jako kąt alfa. — Kąty w trójkącie

Wyznaczenie miary kąta $α$ , jaki tworzy cięciwa $P Q$ z bokiem trójkąta, sprowadza się do wykorzystania bilansu kątów w trójkącie oraz zasadniczego twierdzenia planimetrii.

Ponieważ $|P R| = |R Q|$ , jako odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu, to trójkąt $P R Q$ jest równoramienny oraz $|∢ P Q R| = α$ . Stąd

$α = \frac{1}{2} \cdot (180 ° - |∢ P R Q|) = \frac{1}{2} \cdot (180 ° - (180 ° - 74 ° - 40 °)) = \frac{1}{2} \cdot 114 ° = 57 °$ .

Kąt $α$ , zaznaczony na rysunku, jest w istocie kątem, jaki cięciwa okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie, który jest końcem tej cięciwy i jest znany, jako kąt między styczną i cięciwą lub krótko, jako kąt dopisany do okręgu, co będzie tematem niniejszej lekcji.

Twoje cele

Zastosujesz twierdzenie o odcinkach stycznych.
Zastosujesz twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku.
Poznasz pojęcie kąta dopisanego i udowodnisz twierdzenie pozwalające obliczyć miarę tego kąta.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.

Rozważmy okrąg i dowolną jego cięciwę oraz poprowadźmy styczną przez jeden z końców tej cięciwy, jak na rysunku.

R54F0C7sVn3t0

Ilustracja przedstawia okrąg z poprowadzoną cięciwą P Q krótszą od średnicy okręgu. Przez punkt P poprowadzono styczną i oznaczono kąt ostry alfa znajdujący się między prostą a cięciwą. — Kąt dopisany

Możemy wówczas zaznaczyć miarę kąta $α$ , jaki cięciwa $P Q$ tego okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie $P$ . Zauważmy, że jeśli cięciwa $P Q$ nie jest średnicą, to styczna w punkcie $P$ tworzy z tą cięciwą dwa kąty, z których jeden jest ostry, a drugi – przyległy do niego – jest rozwarty.

Możemy powiedzieć, że kąt ostry jest oparty na krótszym z łuków o końcach w punktach $P$ i $Q$ , a kąt rozwarty – na dłuższym z łuków o tych końcach. O kącie $α$ mówimy, że jest to kąt między styczną i cięciwą lub jako o kącie zdefiniowanym poniżej.

Kąt dopisany

Definicja: Kąt dopisany

Niech dany będzie okrąg i punkt $P$ leżący na tym okręgu. Kąt o wierzchołku w punkcie $P$ nazywamy kątem dopisanym do danego okręgu, jeżeli jedno jego ramię zawiera się w stycznej do tego okręgu, a drugie ramię zawiera jedną z jego cięciw.

Twierdzenie o kącie dopisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym

Miara kąta dopisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowegokąt środkowykąta środkowego opartego na odpowiednim łuku wyznaczonym przez cięciwę zawartą w jednym z ramion kąta dopisanego.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy kąt dopisany jest ostry. W przypadku kąta rozwartego wystarczy rozważyć kąt przyległy. Przypadek, gdy kąt dopisany jest prosty jest trywialny.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. Kąt $α$ jest kątem dopisanym, a kąt $β$ jest kątem środkowym opartym na tym z łuków $P Q$ , który zawiera się w kącie dopisanym $α$ . Punkt $R$ leży na stycznej, a $P Q$ jest cięciwą okręgu o środku w punkcie $O$ .

RhRTu1UeGo0ho

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O z poprowadzoną cięciwą P Q krótszą od średnicy okręgu. Ze środka poprowadzono dwa promienie: O P oraz O Q. Zaznaczono kąt rozwarty P O Q. Przez punkt P poprowadzono styczną i oznaczono kąt ostry alfa znajdujący się między prostą a cięciwą. — Dowód twierdzenia o kącie dopisanym

Wtedy kąt $R P O$ jest prosty oraz $α + |∢ O P Q| = 90 °$ .

Ale $|∢ O P Q| = \frac{1}{2} \cdot (180 ° - β) = 90 ° - \frac{β}{2}$ .

Stąd $α = 90 ° - (90 ° - \frac{β}{2}) = \frac{β}{2}$ .

Co było do udowodnienia.

Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia i twierdzenia o kącie środkowymkąt środkowykącie środkowym i wpisanym jest stwierdzenie poniższe.

Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym

Twierdzenie: Twierdzenie o kącie dopisanym i wpisanym

Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanegokąt wpisanykąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

RjbpN2jY0HYwv

Ilustracja przedstawia okrąg z poprowadzoną cięciwą krótszą od średnicy. Przez końce cięciwy poprowadzono dwie styczne do okręgu, przy czym każda z prostych nachylona jest do cięciwy pod kątem ostrym alfa. W okręgu narysowano trzy trójkąty o wspólnej podstawie będącej cięciwą. Wierzchołki trójkątów znajdują się w różnych miejscach na okręgu, przy czym wszystkie znajdują się w większej części okręgu wydzielonej cięciwą. Każdy z trójkątów ma kąt wewnętrzny alfa przy wierzchołku nienależącym do podstawy. — Kąt wpisany i dopisany

Przykład 1

Dane są dwa okręgi, które przecinają się w punktach $Q$ i $R$ . Przez punkt $R$ poprowadzono odcinek, który przecina dane okręgi odpowiednio w punktach $A$ i $B$ . Miarą kąta $A Q B$ jest równa $74 °$ . Wyznaczymy miarę kąta $A P B$ , pod jakim przecinają się styczne do odpowiednich okręgów, poprowadzone w punktach $A$ i $B$ , jak na rysunku.

R1BweWjnKM4uo

Ilustracja przedstawia dwa przecinające się w punktach Q i R okręgi. Wyżej narysowano mniejszy, a niżej większy okrąg. Na mniejszym zaznaczono punkt A na łuku leżącym poza dużym okręgiem. Na większym okręgu zaznaczono punkt B na łuku leżącym poza mniejszym okręgiem. Oba punkty zaznaczono w prawej części okręgów. Po prawej stronie poza okręgami zaznaczono punkt P. Poprowadzono między punktami następujące odcinki: zielone Q B oraz Q A, różowe A R oraz R B, które tworzą wspólnie jeden odcinek A B oraz żółte A P oraz B P. Punkty A P B Q wyznaczają trapez o przekątnej A B.

Zauważmy, że z twierdzenia o kącie dopisanym dla stycznej $A P$ i cięciwy $A R$ mamy, że $|∢ A Q R| = |∢ R A P|$ .

Podobnie dla stycznej $B P$ i cięciwy $B R$ mamy, że $|∢ B Q R| = |∢ R B P|$ .

Ale $|∢ B Q R| + |∢ A Q R| = 74 ° = |∢ R B P| + |∢ R A P| = 180 ° - |∢ A P B|$ .

Stąd $|∢ A P B| = 180 ° - 74 ° = 106 °$ .

Polecenie 1

Uruchom aplet. Punktem wyjścia jest dany okrąg i styczna do tego okręgu poprowadzona w punkcie $A$ . Wybierz polecenie „Kąt dopisany” i zaobserwuj, jak cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki. Zaznacz jeden z nich i zmieniając położenie punktu $B$ obserwuj, jak zmienia się miara kąta dopisanego, czyli kąta między styczną i cięciwą. Następnie wybierz polecenie „Kąt wpisany” i zmieniając położenie punktu $C$ obserwuj, jak zmienia się miara odpowiedniego kąta wpisanego.

R1W5ed1dr96pY

RI9pr4P3mSSKh

Polecenie 2

Zaobserwuj miary kątów wpisanego i dopisanego, wyznaczonych przez cięciwę $A B$ . Sformułuj hipotezę dotyczącą miar obu kątów. Zmieniaj położenie punktów $B$ i $C$ , by zbadać, czy sformułowana hipoteza nie zależy od położenia tych punktów.

R1G3jynrR8KNE

Polecenie 3

Miara ostrego kąta dopisanego do danego okręgu jest o $48 °$ mniejsza od sumy miar kątów wpisanego i środkowego, opartych na łuku zawartym w tym kącie dopisanym. Oblicz miarę kąta dopisanego.

Oznaczmy miarę kąta dopisanego, o którym mowa w zadaniu, przez $α$ .

Wówczas kąty wpisany i środkowy, oparte na łuku wyznaczonym przez kąt dopisany, mają miary odpowiednio: $α$ oraz $2 α$ .

Możemy więc zapisać równanie $α + 48 ° = α + 2 α$ .

Stąd $α = 24 °$ .

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku podane są miary dwóch kątów dopisanych. Wyznacz miarę kąta $α$ między odpowiednimi cięciwami tego okręgu.

R9jbHRcBFuR6B

Ilustracja przedstawia okrąg wraz z jego dwiema stycznymi. Prosta leżąca powyżej jest nachylona do cięciwy A B krótszej od średnicy pod kątem 40 stopni. Prosta poniżej jest nachylona do cięciwy C D krótszej od średnicy pod kątem 62 stopni, przy czym druga z cięciw jest dłuższa. Proste połączono odcinkiem A D o końcach w punktach styczności. Odcinek ten przecięto czwartą cięciwą B C łączącą prawy koniec pierwszej cięciwy, czyli punkt B i lewy koniec drugiej cięciwy, czyli punkt C. Cięciwa B C przecina cięciwę A D w punkcie P. Zaznaczono kąt alfa będący kątem C P D.

Zaznaczmy na rysunku miary kątów, które są równe odpowiednim kątom dopisanym.

RQb2Qfq8gc9VF

Ilustracja przedstawia okrąg i dwie jego styczne z treści zadania. W okręgu wykreślono cięciwy A B, C D, A D oraz B C i zaznaczono szukany kąt alfa znajdujący się w przecięciu cięciw A D oraz B C, czyli kąt C P D, gdzie P jest punktem przecięcia cięciw. W rozwiązaniu dorysowano linią przerywaną cięciwę A C i oznaczono kąty: kąt C A P tożsamy z kątem C A D ma miarę 62 stopni. Kąt A C P tożsamy z kątem A C B ma miarę 40 stopni.

Wtedy kąt $α$ , jako kąt zewnętrzny w trójkącie, ma miarę $α = 40 ° + 62 ° = 102 °$ .

Ćwiczenie 2

Kąt, jaki tworzą sieczne, ma miarę równą $40 °$ , a zaznaczony na rysunku kąt dopisany ma miarę $30 °$ .

R1PpIT6UtAGf0

Ilustracja przedstawia okrąg i jego styczną w punkcie A. W okręgu wykreślono trzy cięciwy. Cięciwa A B krótsza od średnicy jest nachylona do stycznej pod kątem 30 stopni. Następnie mamy cięciwę B C krótszą od średnicy. Linią przerywaną narysowano cięciwę C A i oznaczono kąt ostry A C B jako alfa. Następnie narysowano cięciwę D A i kąt ostry D A C oznaczono jako beta. Linią przerywaną przedłużono cięciwy C B oraz D A w kierunku ich zwężania. Proste pokrywające cięciwy przecięły się pod kątem 40 stopni.

Oblicz miarę każdego z kątów $α$ i $β$ .

Z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie wynika, że przy przyjętych oznaczeniach mamy: $β = α + 40 °$ .

Ale kąt $α$ jest równy mierze danego kąta dopisanego, stąd $α = 30 °$ oraz $β = 70 °$ .

Ćwiczenie 3

Dany jest okrąg opisany na trójkącie. Kąty trójkąta mają odpowiednio miary $α$ , $β$ oraz $γ$ , a miary wybranych kątów dopisanych, których wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, są podane na rysunku. Jakie będą miary kątów $α$ i $β$ ?

RZQJGkryQ2pjS

Ilustracja przedstawia okrąg i trzy jego styczne. Punkty styczności wyznaczyły następujące cięciwy: A B, B C oraz C A. Styczne w punktach A i B są blisko siebie i przecinają się blisko okręgu. Styczna w punkcie C leży naprzeciw pozostałych stycznych. Na rysunku zaznaczono sześć kątów. Kąt między styczną w punkcie A i cięciwą A B wynosi 39 stopni, a kąt leżący obok niego i mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt wpisany B A C oznaczono jako alfa. Kąt między prostą styczną w punkcie B i cięciwą B C wynosi 71 stopni, a kąt leżący obok niego i mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt C B A oznaczono jako beta. Kąt między styczną w punkcie C i cięciwą C A wynosi 70 stopni, a kąt leżący obok niego, mający z nim wspólny wierzchołek, czyli kąt A C B oznaczono jako gamma.

Rwa7kNbSyn1xg

Ćwiczenie 4

Sieczne danego okręgu przecinają się pod kątem $54 °$ . Kąt wpisany, którego wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem kąta dopisanego ma miarę $78 °$ , jak na rysunku. Jaką miarę ma kąt dopisany $α$ ?

R18W4iMcGpPjQ

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono średnicę A B okręgu oraz dwie cięciwy o wspólnym końcu: cięciwę A C oraz C D. Cięciwa C D jest dłuższa i przecina się ze średnicą A B w punkcie P pod kątem 4 stopnie. Kąt między styczną w punkcie C a cięciwą C D to kąt ostry alfa. Kąt wpisany A C D ma miarę 78 stopni.

RGYtI4iaNWoFW

Ćwiczenie 5

RGsKEt5yuZqrM

R1I6YA2gwVR7y

Ćwiczenie 6

W danym okręgu poprowadzono cięciwę, której końce podzieliły okrąg na dwa łuki. Stosunek długości tych łuków ma się do siebie tak, jak $3 : 5$ . Oblicz miary kątów dopisanych, których wierzchołkami są końce poprowadzonej cięciwy.

Zauważmy, że stosunek miar kątów środkowych opartych na danej cięciwie ma się tak, jak $3 : 5$ .

Zatem kąty te mają miary odpowiednio równe $135 °$ oraz $225 °$ .

Kąty dopisane mają miary dwa razy mniejsze, zatem są one odpowiednio równe $67 ° 30'$ oraz $112 ° 30'$ .

Uwaga:

Łatwo zauważyć, że kąty dopisane o wierzchołkach w końcach danej cięciwy są sobie odpowiednio równe.

Ćwiczenie 7

Dłuższy bok prostokąta $A B C D$ jest średnicą okręgu o promieniu $r$ , jak na rysunku.

RVqC2NZM0ULSc

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O i prostokąt A B C D, którego dłuższy bok A B jest średnicą okręgu. Prostokąt narysowany jest w obrębie górnego półokręgu. Jego krótszy pionowy bok jest krótszy od promienia okręgu, zatem jego górna podstawa przecina górny półokrąg w dwóch punktach, przy czym lewy z tych punktów wyróżniono i opisano literą E.

Prosta $C D$ przecięła okrąg w takim punkcie $E$ , że $|D E| = \frac{1}{3} r$ . Wyznacz stosunek długości boków tego prostokąta.

Poprowadźmy odcinki $A E$ i $B E$ , jak na rysunku.

RrQMr0AoEUGp8

Ilustracja przedstawia okrąg o środku w punkcie O oraz prostokąt A B C D, którego dłuższy bok A B jest średnicą okręgu. Jego krótszy bok jest krótszy od promienia, zatem jego górna podstawa C D przecina górny półokrąg w dwóch punktach, przy czym lewy opisano literą E. Narysowano kąt wpisany oparty na średnicy A B. Kąt ten to A E B.

Wtedy kąt $A E B$ jest prosty i kąt dopisany $E A D$ jest równy kątowi $A B E$ .

Ponieważ $tg (∢ E A D) = \frac{\frac{1}{3} r}{|A D|}$ oraz $tg (∢ A B E) = \frac{|A D|}{2 r - \frac{1}{3} r} = \frac{|A D|}{\frac{5}{3} r}$ , więc $\frac{|A D|}{\frac{5}{3} r} = \frac{\frac{1}{3} r}{|A D|}$ .

Stąd ${|A D|}^{2} = \frac{5}{9} r^{2}$ .

Zatem $\frac{|A B|}{|A D|} = \frac{2 r}{\frac{\sqrt{5}}{3} r} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ .

Ćwiczenie 8

R4cruFtMbU1hY

Słownik

kąt środkowy

kątem środkowym w kole (okręgu) nazywamy każdy kąt, którego wierzchołkiem jest środek danego koła (okręgu)

kąt wpisany

kątem wpisanym w kole (okręgu) nazywamy kąt wypukły, którego ramionami są proste zawierające cięciwy tego koła (okręgu), a wierzchołek należy do okręgu wyznaczającego brzeg koła

5*. Kąt dopisany (DODATEK)

M_R_W11_M1 Proste, koła i okręgi

5.* Twierdzenie o stycznej i siecznej (DODATEK)

Słownik