6*. Wiedza z plusem: Metoda D'Hondta

RGQ5DjXuOroaf

Wyborom parlamentarnym zawsze towarzyszą ogromne emocje, ponieważ każdy ze startujących komitetów wyborczych chce uzyskać jak najwięcej mandatów poselskich i senatorskich. Czy zastanawialiście się kiedykolwiek nad tym, jak takie mandaty są przyznawane i do których komitetów wyborczych trafiają mandaty „ułamkowe”?

R1XWyut11sv0T1

Zdjęcie przedstawia elegancko ubranego mężczyznę w średnim wieku. Mężczyzna ma posiwiałe włosy i zarost. Mężczyzna ma przypięty order. — Źródło: dostępny w internecie: Grafika archiwalna - Wikipedia.org, domena publiczna.

Jest wiele metod pozwalających rozwiązać tego typu problem, ale my skupimy się dzisiaj na metodzie D'Hondta. Nietrudno się domyślić, że nazwa metody pochodzi od nazwiska jej twórcy – belgijskiego profesora prawa cywilnego i matematyki Victora D'Hondta (czyt. Donta) $(1841 - 1901)$ .

Twoje cele

Podasz schemat działania metody D'Hondta.
Wyznaczysz liczbę mandatów poselskich, korzystając z metody D'Hondta.

Na wybory parlamentarne czy samorządowe można patrzeć także przez pryzmat pojęcia funkcji. Jeśli na przykład z danego okręgu wyborczego mamy wyłonić czterech posłów, to po przeprowadzeniu wyborów, przeliczeniu głosów i wypisaniu w porządku alfabetycznym nazwisk czterech wybranych kandydatów, określamy funkcję $f$ ze zbioru $A = \{1, 2, 3, 4\}$ o wartościach w zbiorze kandydatów $B$ .

R2roMX2bxvFJq

Ilustracja przedstawia graf reprezentujący odwzorowanie zbioru A w zbiór B za pomocą funkcji f. Zbiory reprezentują pionowo ustawione obok siebie elipsy, a odwzorowanie symbolizują strzałki biegnące od elementów zbioru A do elementów zbioru B. Zbiór A ma nagłówek Wybrani posłowie, a jego elementy to kolejne cyfry od 1 do 4; zbiór B składa się z elementów określonych jako Kandydat, przy czym każdy kandydat ma numer od 1 do dziesięciu. Pary: 1 - Kandydat pierwszy, 2 - Kandydat czwarty, 3 - Kandydat siódmy oraz 4 - Kandydat dziesiąty.

Oczywiście o tym, jak funkcja $f$ zostanie zdefiniowana, decydują wyborcy. Ze względu jednak na fakt, że kandydaci reprezentują przede wszystkim różne partie polityczne, a nie tylko samych siebie, nie jest na ogół tak, że miejsca: $1$ , $2$ , $3$ i $4$ otrzymują kolejno czterej kandydaci z największą liczbą głosów. Proces przyznawania miejsc jest w związku z tym nieco bardziej skomplikowany. W Polsce przy rozdziale mandatów do Sejmu i sejmików wojewódzkich wielokrotnie stosowana była tzw. metoda D'Hondta.

W metodzie D'Hondta rozważamy liczbę ważnych głosów oddanych łącznie na listy kandydatów każdego z komitetów wyborczych, które przekroczyły próg wyborczy (w Polsce jest to $5 %$ – zwyczajny lub $8 %$ – dla koalicji). Następnie dzielimy je przez kolejne liczby naturalne tworząc malejący ciąg ilorazów wyborczych danego komitetu. Następnie ilorazy te porównywane są z wynikami wszystkich komitetów biorących udział w wyborach i ustawiane w kolejności od największej do najmniejszej. Mandaty przydziela się według ustalonej w ten sposób kolejności, poczynając od najwyższego wyniku do najniższego, aż do momentu, gdy liczba dostępnych miejsc zostanie wyczerpana.

Przeanalizujmy poniższy przykład, aby przyjrzeć się w praktyce działaniu opisanej wyżej metody.

Przykład 1

Przyjmijmy, że w wyborach do rady powiatu startowały cztery komitety wyborcze: $K_{1}$ (przyporządkujmy mu kolor niebieski), $K_{2}$ (czerwony), $K_{3}$ (zielony) i $K_{4}$ (pomarańczowy), które uzyskały odpowiednio $960$ , $600$ , $540$ i $420$ głosów. Każdy z komitetów osiągnął minimalny procent poparcia. Załóżmy też, że są $4$ mandaty do podziału. Aby rozstrzygnąć, które komitety otrzymają miejsca w radzie powiatu, tworzymy tabelę, w której liczba ponumerowanych wierszy jest równa – w tym przypadku – liczbie mandatów do podziału. W wierszu oznaczonym numerem $1$ wypisujemy najpierw liczby głosów przyznane komitetom.

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$960$	$600$	$540$	$420$
$2$
$3$
$4$

Następnie wypełniamy drugi wiersz w ten sposób, że każdą liczbę z pierwszego wiersza dzielimy przez $2$ i wynik dzielenia zapisujemy w wierszu drugim pod dzieloną liczbą. Uzyskujemy wtedy odpowiednio liczby: $480$ , $300$ , $270$ , $210$ .

W trzecim kroku dzielimy liczby z pierwszego wiersza przez $3$ i wyniki wypisujemy w wierszu trzecim: $320$ , $200$ , $180$ , $140$ .

Wreszcie dzielimy liczby z pierwszego wiersza przez $4$ i wypisujemy wyniki w wierszu czwartym. Otrzymujemy w ten sposób wyniki wyborów ujęte w zaprezentowanym zestawieniu. Wypisujemy teraz ilorazy z tej tabeli w kolejności od największej do najmniejszej, zachowując kolory.

Kolejne kolumny odpowiadające ilorazom dla poszczególnych komitetów zostały oznaczone kolorami. „Niebieski” to komitet $K_{1}$ , „czerwony” to komitet $K_{2}$ , „zielony” to komitet $K_{3}$ , zaś „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ .

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$960$	$600$	$540$	$420$
$2$	$480$	$300$	$270$	$210$
$3$	$320$	$200$	$180$	$140$
$4$	$240$	$150$	$135$	$105$

Utworzony ciąg największych ilorazów długości cztery składa się kolejno z liczb : $960$ , $600$ , $540$ , $480$ .

Ponieważ wśród czterech wypisanych liczb są dwie koloru niebieskiego, więc $2$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ , po jednym „czerwony” komitet $K_{2}$ i „zielony” komitet $K_{3}$ . Bez mandatu pozostaje „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ .

Rozważany wyżej przykład można uogólnić, że jeśli jest $n$ mandatów, to każdy komitet dostaje ich tyle, ile liczb w przypisanym mu kolorze znajduje się wśród $n$ największych liczb z tabeli o $n$ ponumerowanych wierszach (w $n$ -tym wierszu są wypisane liczby z pierwszego wiersza podzielone przez $n$ ). Zauważ, że nie zawsze warto tworzyć tabele rozmiarów $n \times n$ z kolejnymi ilorazami, co pokaże kolejny przykład.

Przykład 2

Jaki byłby podział mandatów dla komitetów $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ i $K_{4}$ , które uzyskały odpowiednio $540$ , $300$ , $240$ i $420$ głosów, gdyby do podziału było:

$6$ mandatów,
$9$ mandatów,

wiedząc, że każdy z komitetów osiągnął minimalny próg poparcia?

Rozwiązanie

Do rozwiązania obu podpunktów wykorzystamy tabelę stworzoną dzięki metodzie D'Hondta. Składa się ona z wyników dzielenia liczby otrzymanych głosów przez każdy komitet przez odpowiednie liczby $1$ , $2$ , $3$ , $4$ .

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$540$	$300$	$240$	$420$
$2$	$270$	$150$	$120$	$210$
$3$	$180$	$100$	$80$	$140$
$4$	$135$	$75$	$60$	$105$

a) Stwórzmy nierosnący ciągciąg nierosnącynierosnący ciąg składający się z sześciu największych ilorazów zawartych w powyższej tabeli. Wówczas dostajemy: $540$ , $420$ , $300$ , $270$ , $240$ , $210$ . Wynika stąd, że wśród sześciu wypisanych liczb są dwie koloru niebieskiego i pomarańczowego, więc po $2$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ oraz „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ . Po jednym mandacie otrzyma „czerwony” komitet $K_{2}$ i „ zielony” komitet $K_{3}$ .

b) Stwórzmy ciąg składający się z dziewięciu największych ilorazów zawartych w powyższej tabeli. Wówczas dostajemy: $540$ , $420$ , $300$ , $270$ , $240$ , $210$ , $180$ , $150$ , $140$ . Wynika stąd, że wśród dziewięciu wypisanych liczb są po trzy kolory niebieskiego i pomarańczowego, więc po $3$ mandaty otrzymuje „niebieski” komitet $K_{1}$ oraz „pomarańczowy” komitet $K_{4}$ . Dwa mandaty otrzymuje „czerwony” komitet $K_{2}$ , a jeden mandat otrzymuje „zielony” komitet $K_{3}$ .

Inforgafiki

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższymi infografikami, na których przeprowadzono analizę wyborczą oraz rozdzielono mandaty między komitety, które osiągnęły odpowiedni próg wyborczy ( $5 %$ zwyczajny, $8 %$ dla koalicji), metodą D'Hondta.

Zapoznaj się z poniższym opisem infografiki, w którym przeprowadzono analizę wyborczą oraz rozdzielono mandaty między komitety, które osiągnęły odpowiedni próg wyborczy ( $5 %$ zwyczajny, $8 %$ dla koalicji), metodą D'Hondta.

Uwaga! W przypadku, gdy ilorazy wyborcze nie są liczbami całkowitymi, to weźmiemy pod uwagę ich części całkowite.

R2uT8hLb76JLJ

R1Cu1QEM3kqf2

R1UMKI1u8k9I1

Infografika
W podanej poniżej tabeli znajduje się rozkład oddanych przez wyborców głosów na startujące w wyborach komitety wyborcze w pewnym mieście. Wiedząc, że komitety $K_3$ oraz $K_4$ reprezentują koalicję, sprawdź, czy każdemu z komitetów udało się przekroczyć próg wyborczy. Dla otrzymanych komitetów wyborczych przydzielił osiem mandatów, korzystając z metody d'Hondta.

Komitet	Liczba oddanych głosów
$K_1$	$450$
$K_2$	$100$
$K_3$	$124$
$K_4$	$518$
$K_5$	$213$
$K_6$	$370$
$K_7$	$104$
$K_8$	$221$

Rozwiązanie część pierwsza:

Ilość wszystkich oddanych głosów:
Zaczynamy od obliczenia wszystkich oddanych głosów w tych wyborach, aby w dalszej części sprawdzić, czy każdy z komitetów osiągnął odpowiedni próg wyborczy.

$450+100+124+518+213+370+104+221=2100$

Suma wszystkich ważnych głosów oddanych w tych wyborach wynosi $2100$ .

Próg wyborczy zwyczajny wynosi $5 %$ , zatem wyznaczamy podany procent z liczby $2100$ i otrzymujemy wynik równy $105$ . Oznacza to, że komitet wyborczy musi zdobyć co najmniej $105$ głosów, aby mieć możliwość otrzymania mandatów. Analogicznie postępujemy dla progu wyborczego dla koalicji, który wynosi $8 %$ . Zatem $8 %$ z liczby $2100$ wynosi $168$ .
Analizując otrzymane wyniki z głosami otrzymanymi przez poszczególne komitety, widzimy, że komitet $K_{2}$ oraz $K_{7}$ nie osiągnął progu wyborczego zwyczajnego, a komitet $K_{3}$ progu wyborczego dla koalicji.

Rozwiązanie część druga:

Próg wyborczy zwyczajny: $5\%$ z liczby $2100$ to $0,05\cdot 2100=105$ .

Próg wyborczy dla koalicji: $8\%$ z liczby $2100$ to $0,08\cdot 2100=168$ .

Rozważamy zatem tabelę ilorazów utworzoną na podstawie metody D'Hondta dla komitetów $K_{1}$ , $K_{4}$ , $K_{5}$ , $K_{6}$ oraz $K_{8}$ . Wybieramy z niej $8$ największych ilorazów, czyli $518$ , $450$ , $370$ , $259$ , $225$ , $221$ , $213$ , $185$ . Wynika stąd, że komitety $K_{1}$ , $K_{4}$ , $K_{6}$ otrzymają po dwa mandaty, a komitety $K_{5}$ , $K_{8}$ po jednym.

Dzielnik	$K_1$	$K_4$	$K_5$	$K_6$	$K_8$
$1$	$450$	$518$	$213$	$370$	$221$
$2$	$225$	$259$	$106$	$185$	$110$
$3$	$150$	$172$	$71$	$123$	$73$
$4$	$112$	$129$	$53$	$92$	$55$

Rozwiązanie część trzecia:

Ciąg największych ilorazów to: $518$ , $450$ , $370$ , $259$ , $225$ , $221$ , $213$ , $185$ . Komitety $K_1$ , $K_4$ , $K_6$ otrzymają dwa mandaty, a komitety $K_5$ i $K_8$ po jednym mandacie.

Polecenie 2

W wyborach samorządowych na siedem komitetów wyborczych oddano odpowiednio: $800$ , $600$ , $400$ , $180$ , $120$ , $240$ , $360$ głosów. Sprawdź, czy każdy z komitetów osiągnął wystarczający próg wyborczy, wiedząc, że trzeci i czwarty komitet wyborczy reprezentują koalicje. Przydziel $6$ mandatów pomiędzy odpowiednie partie.

Zacznijmy od wyznaczenia ilości wszystkich oddanych głosów:

$800 + 600 + 400 + 180 + 120 + 240 + 340 = 2700$ .

Obliczymy teraz próg wyborczy zwyczajny oraz dla koalicji.

Próg wyborczy zwyczajny wynosi $5 %$ z liczby $2700$ , to jest $0, 05 \cdot 2700 = 135$ .

Próg wyborczy dla koalicji wynosi $8 %$ z liczby $2700$ , to jest $0, 08 \cdot 2700 = 216$ .

Porównując otrzymane progi wyborcze z liczbą głosów oddanych na poszczególne komitety, dostajemy, że komitet czwarty, reprezentujący koalicję, oraz komitet piąty nie zebrał wystarczającej liczby głosów. Wynika stąd, że mandaty będą rozdysponowane pomiędzy pięć komitetów.

Stwórzmy odpowiednią tabelę z dzielnikami, aby skorzystać z metody D'Hondta.

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{6}$	$K_{7}$
$1$	$800$	$600$	$400$	$240$	$360$
$2$	$400$	$300$	$200$	$120$	$180$
$3$	$266$	$200$	$133$	$80$	$120$
$4$	$200$	$150$	$100$	$60$	$90$

Z powyższej tabeli wybieramy sześć największych ilorazów: $800$ , $600$ , $400$ , $400$ , $360$ , $300$ .

Wynika stąd, że komitety $K_{1}$ oraz $K_{2}$ otrzymają po dwa mandaty, komitety $K_{3}$ oraz $K_{7}$ po jednym, a komitet $K_{6}$ żadnego.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

R1GB57ll94EnD1

Ćwiczenie 1

RsF0MQ8Tw4UhS1

Ćwiczenie 2

RwsUv5uaF2bXq1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

RpCxnIJTgIbqv

R1ZH6wLuFOFlr

Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z poniższą tabelą.

Dzielnik	$K_{1}$	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$
$1$	$960$	$672$	$420$	$300$
$2$	$480$	$336$	$210$	$150$
$3$	$320$	$224$	$140$	$100$
$4$	$240$	$168$	$105$	$75$

R1Z4WD7FGXnLk

RJTNYg6tuTU0J2

Ćwiczenie 6

RITAEKnNwXszG2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

W wyborach samorządowych na sześć komitetów wyborczych oddano odpowiednio: $216$ , $384$ , $400$ , $504$ , $360$ , $936$ głosów. Sprawdź, czy każdy z komitetów osiągnął wystarczający próg wyborczy, wiedząc, że pierwszy i szósty komitet wyborczy reprezentuje koalicję. Przydziel $7$ mandatów pomiędzy odpowiednie partie.

Zacznijmy od wyznaczenia liczby wszystkich oddanych głosów:

$216 + 384 + 400 + 504 + 360 + 936 = 2800$ .

Obliczymy teraz próg wyborczy zwyczajny oraz dla koalicji.

Próg wyborczy zwyczajny wynosi $5 %$ z liczby $2800$ , to jest $0, 05 \cdot 2800 = 140$ .

Próg wyborczy dla koalicji wynosi $8 %$ z liczby $2800$ , to jest $0, 08 \cdot 2800 = 224$ .

Porównując otrzymane progi wyborcze z liczbą głosów oddanych na poszczególne komitety, dostajemy, że komitet pierwszy, reprezentujący koalicję, nie zebrał wystarczającej liczby głosów. Wynika stąd, że mandaty będą rozdysponowane pomiędzy pięć komitetów.

Stwórzmy odpowiednią tabelę z ilorazami, zgodnie z metodą D'Hondta.

Tabela
Dzielnik	$K_{2}$	$K_{3}$	$K_{4}$	$K_{5}$	$K_{6}$
$1$	$384$	$400$	$504$	$360$	$936$
$2$	$192$	$200$	$252$	$180$	$468$
$3$	$128$	$133$	$168$	$120$	$312$
$4$	$96$	$100$	$126$	$90$	$234$

Z powyższej tabeli wybieramy siedem największych ilorazów: $936$ , $504$ , $468$ , $400$ , $384$ , $360$ , $312$

Wynika stąd, że komitet $K_{6}$ zdobył aż trzy mandaty, a komitety $K_{2}$ , $K_{3}$ , $K_{4}$ oraz $K_{5}$ zdobyły po jednym mandacie.

Słownik

ciąg nierosnący

ciąg $(a_{n})$ taki, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność $a_{n + 1} \leq a_{n}$

5*. Wiedza z plusem: Ciąg Fibonacciego

Własności ciągów