6. Wybrane przekształcenia geometryczne w układzie współrzędnych

REHViAQrkIAja

W tym materiale omówimy przykłady symetrii osiowej względem osi $X$ , czyli prostej o równaniu $y = 0$ , względem osi $Y$ , czyli prostej o równaniu $x = 0$ oraz symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych w ujęciu analitycznym. Przekształcenia te są przykładami izometrii, czyli przekształceń, które nie zmieniają odległości między punktami przestrzeni (my skupimy się na płaszczyźnie, choć można również rozważać przestrzeń trójwymiarową), w której są wykonywane. Nauczymy się wyznaczać współrzędne obrazu danego punktu oraz równania obrazów figur o danym równaniu.

Twoje cele

Wyznaczysz współrzędne obrazu danego punktu w symetrii osiowej względem osi $X$ , osi $Y$ i w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ .
Wyznaczysz obraz danej figury w symetrii osiowej względem osi $X$ , osi $Y$ i w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ .
Wyznaczysz równanie obrazu danej figury w symetrii osiowej względem osi $X$ , osi $Y$ i w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ .

Symetria względem osi $X$

Zaczniemy od przypomnienia konstrukcji, dzięki której możemy otrzymać obraz danego punktu względem osi $X$ . Ilustracje poszczególnych kroków konstrukcji znajdują się poniżej.

Jeśli punkt $A$ leży na osi $X$ , to jego obraz $A'$ w symetrii względem osi $X$ jest równy $A$ .
R13hLUW9I19cV
Przez punkt $A$ nie leżący na osi $X$ , którego obraz w symetrii względem osi $X$ chcemy wyznaczyć, prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do osi $X$ .
Punkt przecięcia osi $X$ i prostej $k$ oznaczmy przez $S$ .
Obraz $A'$ punktu $A$ w symetrii względem osi $X$ znajduje się na prostej $k$ w tej samej odległości od $S$ co punkt $A$ , ale po przeciwnej stronie osi $X$ niż punkt $A$ .
Punkt $A'$ można wyznaczyć jako punkt przecięcia okręgu o środku w punkcie $S$ i promieniu $|A S|$ z prostą $k$ .

R1NY0t4uOQBv8

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A.

RlxDmQ7tq5WnS

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k.

RHLbFuADuTQKu

Ilustracja trzecia przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A.

Rz7Z9Ro3fFg23

Ilustracja czwarta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A. W czwartej ćwiartce zaznaczony został punkt przecięcia się okręgu z prostą k, punkt ten podpisano A prim.

REDBJs3aq32nU

Ilustracja piąta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych zamalowaną kropką zaznaczony został punkt który jest podpisany literą A. Współrzędne punktu a to początek nawiasu, xa, ya, zamknięcie nawiasu. Przez punkt A prostopadle do osi x poprowadzona została prosta, która jest podpisana literą k. Punkt przecięcia się prostej k z osią x został podpisany literą S i jest on środkiem okręgu, który przechodzi przez punkt A. W czwartej ćwiartce zaznaczony został punkt przecięcia się okręgu z prostą k, punkt ten podpisano A prim. Współrzędne punktu A prim to początek nawiasu, xa, -ya, zamknięcie nawiasu.

Można zauważyć, że:

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą na prostej prostopadłej do osi $X$ , więc oba mają równe pierwsze współrzędne,

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą w tej samej odległości od osi $X$ , więc wartości bezwzględne ich drugich współrzędnych są równe,

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą po różnych stronach osi $X$ , więc ich drugie współrzędne mają różne znaki.

Zatem obrazem punktu $A$ o współrzędnych $(x, y)$ w symetrii względem osi $X$ jest punkt $A'$ o współrzędnych $(x, - y)$ .

Aby wyznaczyć obraz figury $F$ w symetrii względem osi $X$ , wyznaczamy obraz w symetrii względem osi $X$ każdego punktu należącego do figury $F$ . Zbiór obrazów wszystkich punktów figury $F$ tworzy obraz figury $F$ . Na rysunku poniżej zilustrowano odcinek $A B$ i jego obraz w symetrii względem osi $X$ .

RJW7PhfXDqRxj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. Na płaszczyźnie linią przerywaną zaznaczone zostało pięć pionowych prostych. Wszystkie proste przechodzą przez pierwszą i czwartą ćwiartkę. Na pierwszej prostej w ćwiartce pierwszej zaznaczony został punkt A prim, a w ćwiartce czwartej punkt A. Na drugiej prostej w pierwszej ćwiartce zaznaczony został punkt X prim, a w ćwiartce czwartej punkt X. Na trzeciej prostej w ćwiartce pierwszej znajduje się punkt Y prim, a w ćwiartce czwartej punkt Y. Na czwartej prostej w pierwszej ćwiartce jest punkt Z, a w czwartej Z prim. Na piątej prostej w pierwszej ćwiartce mamy punkt B, a w czwartej ćwiartce punkt B prim. Litery bez oznaczenia primem, czyli A, X, Y, Z, B zostały zaznaczone kolorem niebieskim i połączone linią prostą. Wszystkie litery oznaczone primem, czyli kolejno: A prim, X prim, Y prim, Z prim i B prim, oznaczono na kolor zielony i również połączono ze sobą linią prostą. Odcinek zielony jest obrazem symetrii odcinka niebieskiego względem osi x.

Ponieważ symetria względem osi $X$ jest izometriąizometria płaszczyznyizometrią, można udowodnić, że obrazem odcinka/koła/wielokąta (dowolnej figury) jest odcinek/koło/wielokąt, przy czym obraz figury $F$ jest figurą przystającą do $F$ .
Zatem aby wyznaczyć obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ , wystarczy wyznaczyć obrazy wierzchołków danego wielokąta, a następnie połączyć je w odpowiedniej kolejności odcinkami. Otrzymana łamana ogranicza obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $X$ .

R1RP7XlP4grDx

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Trójkąt jest zamalowany na kolor niebieski.

R1TLoAEvHm5DC

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim.

R13DKnlmSlbN9

Ilustracja trzecia przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt.

R1Fov3S7S8l9W

Ilustracja czwarta przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych narysowany został trójkąt o wierzchołkach A, B i C. Przy czym bok AB jest równoległy do osi x. Przez każdy z punktów kolejno: A, C i B poprowadzona została przerywaną linią pionowa prosta równoległa do osi y. W odpowiednich odległościach od osi x w czwartej ćwiartce, na prostych pojawiły się punkty, kolejno: A prim, C prim i B prim. Punkty oznaczone primem zostały ze sobą połączone, tak że powstał z nich trójkąt. Ostatnim krokiem jest wypełnienie powierzchni trójkąta znajdującego się w czwartej ćwiartce tak aby był pełnym obrazem symetrii trójkąta A, B, C względem osi x.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie obrazu prostej $y = \frac{3}{5} x + 3$ w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Obrazem prostej o równaniu $y = \frac{3}{5} x + 3$ w symetrii względem osi $X$ jest prosta o równaniu: $- y = \frac{3}{5} x + 3$ , zatem: $y = - \frac{3}{5} x - 3$ .

Zilustrujemy tę symetrię w układzie współrzędnych:

R62EXbOXBPdT3

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus siedmiu do trzech i pionową osią y od minus czterech do czterech Na płaszczyźnie zaznaczone zostały dwie proste. Pierwsza z nich przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus pięć średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przecina oś y w punkcie początek nawiasu zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Prosta ta jest podpisana równaniem: y=−35x−3 Druga prosta przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus pięć średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przecina oś y w punkcie początek nawiasu zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Prosta ta jest podpisana równaniem: y=35x+3.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie obrazu figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Obrazem figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ jest figura o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(- 3 y - 2)}^{2} = 5$ , czyli, po skorzystaniu z własności potęgi o wykładniku parzystym,

${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y + 2)}^{2} = 5$ .

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają wykresywykres równaniawykresy tych równań, które można otrzymać przy użyciu programu komputerowego:

RpgHT4HRGtHl7

Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwa. Na płaszczyźnie narysowana została elipsa, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez środek współrzędnych. Dodatkowo elipsa przecina oś y blisko punktu początek nawiasu zero średnik jeden i pół zamknięcie nawiasu. Elipsa jest opisana wzorem 2x+12+3y−22=5.

Rex9O9XD9SgoL

Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwa. Na płaszczyźnie narysowana została elipsa, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez środek współrzędnych. Dodatkowo elipsa przecina oś y blisko punktu początek nawiasu zero średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu. Elipsa jest opisana wzorem 2x+12+3y+22=5.

Przykład 3

Wyznaczymy obraz figury $F$ opisanej układem nierówności:

$\{\begin{cases} y \geq \frac{1}{2} x + 2 \\ y \leq - \frac{1}{4} x + \frac{7}{2} \\ y \leq \frac{1}{3} x + \frac{14}{3} \\ y \geq 4 x + 23 \end{cases}$

w symetrii względem osi $X$

Rozwiązanie

Figura $F$ opisana układem nierówności jest czworokątem. Jej obrazem w symetrii względem osi $X$ jest czworokąt $F'$ opisany układem nierówności:

$\{\begin{cases} y \leq - \frac{1}{2} x - 2 \\ y \geq \frac{1}{4} x - \frac{7}{2} \\ y \geq - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3} \\ y \leq - 4 x - 23 \end{cases}$

Zilustrujemy tę symetrię w układzie współrzędnych:

R1QYfbg27jO2r

Przykład 4

Znajdziemy równanie obrazu figury $F$ o równaniu $|x + 2| + |y - 2| = 1$ w symetrii względem osi $X$ .

Niech punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ należy do figury $F$ . Wówczas jego obraz $A' = (x', y')$ należy do obrazu $F'$ figury $F$ i zachodzi zależność:

$x' = x$ oraz $y' = - y$ .

Stąd $x = x'$ i $y = - y'$ .

Po podstawieniu wyznaczonych $x$ i $y$ do równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ , otrzymujemy równanie $|x' + 2| + |- y' - 2| = 1$ . Z własności wartości bezwzględnej wynika, że otrzymane równanie jest równoważne równaniu $|x' + 2| + |y' + 2| = 1$ .

Zatem otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $(x', y')$ wszystkich punktów należących do figury $F'$ . Tę samą figurę tworzą punktu o współrzędnych $(x, y)$ spełniających równanie $|x + 2| + |y + 2| = 1$ .

Zinterpretujmy jeszcze rozważane zadanie graficznie.

Aby naszkicować figurę o równaniu $|x + 2| + |y - 2| = 1$ , możemy opuścić wartości bezwzględne rozważając cztery przypadki, które pojawiają się ze względu na znaki wyrażeń znajdujących się wewnątrz modułów:

$\{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ x + 2 + y - 2 = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 \geq 0 \\ y - 2 < 0 \\ x + 2 - (y - 2) = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 < 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ - (x + 2) + y - 2 = 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x + 2 < 0 \\ y - 2 < 0 \\ - (x + 2) - (y - 2) = 1 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ y \geq 2 \\ y = - x + 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x \geq - 2 \\ y < 2 \\ y = x + 3 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - 2 \\ y \geq 2 \\ y = x + 5 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - 2 \\ y < 2 \\ y = - x - 1 \end{cases}$
R4DF7F2df9C31 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza o równaniu pozioma prosta $x = 2$ , druga pionowa prosta o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 1, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek 1, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	RRgKbeUe0m4L7 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana przerywaną linią o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek 0, 3, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	RDYy6ZP6TjCkY Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która w całości znajduje się w drugiej ćwiartce i ma tendencję rosnącą. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	R18bj2CqPW7DZ Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana przerywaną linią o równaniu $x = 2$ , druga pionowa prosta również namalowana przerywaną lnią o równaniu $y = - 2$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu i oś y w punkcie początek nawiasu 0, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor żółty. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.
R5GehhRS8ZbJt Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony zamalowaną kropką.	R1QP9WBnt1ISp Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	R1bpdRXtUSzl4 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	R97rbRqfGa1CG Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym niezamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony niezamalowaną kropką.

Zatem ilustracja graficzna równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ to:

R18uPe4jxYCAE

Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie narysowany został romb, którego wierzchołki mają następujące współrzędne: początek nawiasu, minus 3,2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1,2, zamknięcie nawiasu.

Analogicznie można narysować zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają równanie $|x + 2| + |y + 2| = 1$ :

RkhUBBOR1mQk9

Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowany został romb, którego wierzchołki mają następujące współrzędne: początek nawiasu, minus 3,minus 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2,minus1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, minus 2, zamknięcie nawiasu.

Narysujmy jeszcze obie figury w tym samym układzie współrzędnych:

R1NhJLz0armj9

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f (x, y) = 0$ , to obraz $F'$ figury $F$ przez symetrię względem osi $X$ opisuje się równaniem $f (x, - y) = 0$ . Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $y$ podstawić $(- y)$ .

Niech $P$ będzie przekształceniem płaszczyzny $π$ . Wówczas przez $P (X)$ będziemy oznaczać obraz punktu $X$ przez przekształcenie $P$ .

Ciekawostka

Mówimy, że przekształcenie $P$ płaszczyzny jest inwolucją, jeśli dla każdego punktu $X$ płaszczyzny zachodzi równość $P (P (X)) = X$ .

Mówimy, że $R$ jest przekształceniem odwrotnym do przekształcenia $P$ , jeśli dla dowolnego punktu $X$ płaszczyzny zachodzi równość

$P (R (X)) = R (P (X)) = X$ .

Piszemy wówczas $R = P^{- 1}$ .

Zatem $P^{- 1} (P (x)) = P (P^{- 1} (X)) = X$ dla dowolnego punktu $X$ rozważanej płaszczyzny.

Można zauważyć, że przekształcenie $P$ jest inwolucjąinwolucjainwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy jest równe swojemu przekształceniu odwrotnemu.

Niech $S_{X}$ oznacza symetrię względem osi $X$ . Możemy zapisać $S_{X} ((a, b)) = (a, - b)$ . Wówczas $S_{X} (S_{X} ((a, b))) = S_{X} ((a, - b)) = (a, - (- b)) = (a, b)$ , czyli symetria względem osi $X$ jest inwolucją.

Polecenie 1

Zmieniając wartości parametrów $a$ , $b$ , $r$ , obserwuj, jak zmienia się wykres równania $|x - a| + |y - b| = r$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.

R1cyjn63gXWdk

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dziesięciu do jedenastu i pionową osią y od minus dziewięciu do ośmiu. Na płaszczyźnie znajduje się wykres w kształcie rombu podpisany literą F oraz jego obraz symetrii względem osi x podpisany F prim. F jest wykresem równania wartość bezwzględna z, x, minus, a, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, minus, b, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r. Aplet daje nam możliwość zmiany współczynników równania takich jak a, b oraz r. Możliwe jest ustawienie wartości a i b od minus cztery do cztery. Natomiast wartości r od zera do pięciu. Ustawiając wartość a równą minus 3, wartość b równą minus 3 i wartość r równą zero. Na płaszczyźnie otrzymujemy punkt F o współrzędnych, początek nawiasu, minus 3, minus 3 , zamknięcie nawiasu oraz połączony z nim pionową linią przerywaną punkt F prim o współrzędnych początek nawiasu, minus 3, 3 , zamknięcie nawiasu. Równanie F ma postać wartość bezwzględna z, x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, równa się, zero, natomiast obraz F prim wykresu F przez symetrię względem osi X ma równanie wartość bezwzględna z, x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, równa się, zero. Ustawiając wartość a równą 2, wartość b równą minus 2 i wartość r równą 2 na płaszczyźnie pojawia się wykres w kształcie rombu z wierzchołkami o współrzędnych kolejno: początek nawiasu, 0, 2 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 4 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 0 , zamknięcie nawiasu oraz początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Wierzchołki rombu F są połączone z wierzchołkami rombu F prim, współrzędne wierzchołków są następujące: początek nawiasu, 0, minus 2 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, 0 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 2, minus 4, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, minus 2, zamknięcie nawiasu. Równanie wykresu F: wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwa, natomiast równanie wykresu F prim: wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwa. Ustawiając wartość a równą 4, b równą minus 4 i r równą 4 otrzymujemy wykres w kształcie rombu o wierzchołkach: początek nawiasu, 0, minus 4 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, 0 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, minus 8 , zamknięcie nawiasu oraz początek nawiasu, 8, minus 4, zamknięcie nawiasu. Wierzchołki rombu F są połączone z wierzchołkami rombu F prim, współrzędne wierzchołków są następujące: początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, 8 , zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 8, 4, zamknięcie nawiasu. Równanie wykresu F: wartość bezwzględna z, x, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery oraz równanie wykresu F prim: wartość bezwzględna z, x, minus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, równa się, cztery.

Polecenie 2

Korzystając z apletu, rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

RV5lQfBW8FPto

Rylqd8QIOnyv4

RRk8F0H6b8KLW

R1dZggqUt4Mcd

RiRrUlRTyEcff

RiyH4BXM8nO1p

Symetria względem osi $Y$

Przypomnijmy, że obrazy punktów $A$ , $B$ , $C$ , $. . .$ przez przekształcenie $P$ oznaczamy odpowiednio $P (A)$ , $P (B)$ , $P (C)$ , $\dots$ lub po prostu $A'$ , $B'$ , $C'$ , $\dots$ (jeśli wiadomo z kontekstu, o jakim przekształceniu mowa).

Zaczniemy od przypomnienia konstrukcji, dzięki której możemy otrzymać obraz danego punktu względem osi $Y$ . Ilustracje poszczególnych kroków konstrukcji znajdują się poniżej.

Jeśli punkt $A$ leży na osi $Y$ , to jego obraz $A'$ w symetrii względem osi $Y$ jest równy $A$ .
R1LGAXvwTdAWC
Przez punkt $A$ nie leżący na osi $Y$ , którego obraz w symetrii względem osi $Y$ chcemy wyznaczyć, prowadzimy prostą $k$ prostopadłą do osi $Y$ .
Punkt przecięcia osi $Y$ i prostej $k$ oznaczmy przez $S$ .
Obraz $A'$ punktu $A$ w symetrii względem osi $Y$ znajduje się na prostej $k$ w tej samej odległości od $S$ co punkt $A$ , ale po przeciwnej stronie osi $Y$ niż punkt $A$ .
Punkt $A'$ można wyznaczyć jako punkt przecięcia okręgu o środku w punkcie $S$ i promieniu $|A S|$ z prostą $k$ .

R12hGFF9AlRG7

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A.

Rwhr0D8WHp3wj

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y.

R1XiN3qTkCstW

R1d89fAwj0kyg

RPIssA2vBVX97

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. W czwartej ćwiartce znajduje się punkt A o współrzędnych początek nawiasu, xA, yA, zamknięcie nawiasu, przez punkt A narysowano poziomą prostą k, która jest prostopadła do osi Y. Kolejno na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku S w punkcie przecięcia prostej k z osią y i przechodzącym przez punkt przecięcia prostej k z punktem A. W trzeciej ćwiartce narysowano punkt w miejscu przecięcia prostej k z okręgiem, punkt ten podpisano A prim o współrzędnych początek nawiasu, -xA, yA, zamknięcie nawiasu.

Można zauważyć, że:

ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą na prostej prostopadłej do osi $Y$ , więc oba mają równe drugie współrzędne,
ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą w tej samej odległości od osi $Y$ , więc wartości bezwzględne ich pierwszych współrzędnych są równe,
ponieważ punkty $A$ i $A'$ leżą po różnych stronach osi $Y$ , więc ich drugie współrzędne mają różne znaki.

Zatem obrazem punktu $A$ o współrzędnych $(x, y)$ w symetrii względem osi $Y$ jest punkt $A'$ o współrzędnych $(- x, y)$ .

Aby wyznaczyć obraz figury $F$ w symetrii względem osi $Y$ , wyznaczamy obraz w symetrii względem osi $Y$ każdego punktu należącego do figury $F$ . Zbiór obrazów wszystkich punktów figury $F$ tworzy obraz figury $F$ . Na rysunku poniżej zilustrowano odcinek $A B$ i jego obraz $A' B'$ w symetrii względem osi $Y$ .

R18ylBkPf8uPE

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce znajdują się punkty A oraz W, a w pierwszej ćwiartce są punkty Y, Z oraz B. Na osi y powyżej osi x znajduje się punkt X. Punkty te zostały połączone niebieską linią. Przez punkt W, Y oraz Z poprowadzone zostały linią przerywaną poziome linie równoległe do osi x. Na linii, na której znajduje się punkt W w pierwszej ćwiartce znalazł się punkt W prim. Na linii, na której znajduje się punkt Y w pierwszej ćwiartce znajduje się punkt Y prim. Na linii, na której znajduje się punkt Z w pierwszej ćwiartce znajduje się punkt Z prim. Przez punkty oznaczone primem narysowano linię w kolorze zielonym. Na krańcach tej linii dorysowano punkty A prim i B prim, na takiej samej zasadzie jak pozostałe punkty. Linie przecinają się w punkcie X, który jest równy punktowi X prim.

Ponieważ symetria względem osi $Y$ jest izometriąizometria płaszczyznyizometrią, można udowodnić, że obrazem odcinka/koła/wielokąta (dowolnej figury) jest odpowiednio odcinek/koło/wielokąt, przy czym obraz figury $F$ jest figurą przystającą do $F$ .

Zatem aby wyznaczyć obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $Y$ , wystarczy wyznaczyć obrazy wierzchołków danego wielokąta, a następnie połączyć je w odpowiedniej kolejności odcinkami. Otrzymana łamana ogranicza obraz wielokąta $W$ w symetrii względem osi $Y$ .

ROxtpYjRVJDyH

Grafika przedstawia poziomą oś x i pionową oś y. Na płaszczyźnie znajduje się zamalowany trójkąt o wierzchołkach A, B oraz C. Współrzędne wierzchołka A to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka B to początek nawiasu, 4, 2, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka C to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu.

RoNLCfisuLMCd

RGk4TTRPE6dPU

R13pqqLWkmtRP

Przykład 5

Wyznaczymy równanie obrazu figury $F$ o równaniu $|x + 2| + |y - 2| = 1$ w symetrii względem osi $Y$ .

Rozwiązanie

Niech punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ należy do figury $F$ . Wówczas jego obraz $A' = (x', y')$ należy do obrazu $F'$ figury $F$ i zachodzi zależność: $x' = - x$ oraz $y' = y$ . Stąd $x = - x'$ i $y = y'$ . Po podstawieniu wyznaczonych $x$ i $y$ do równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ , otrzymujemy równanie $|- x' + 2| + |y' - 2| = 1$ . Z własności wartości bezwzględnej wynika, że otrzymane równanie jest równoważne równaniu $|x' - 2| + |y' - 2| = 1$ . Zatem otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $(x', y')$ wszystkich punktów należących do figury $F'$ .

Tę samą figurę tworzą punkty o współrzędnych $(x, y)$ spełniających równanie $|x - 2| + |y - 2| = 1$ .

Zinterpretujmy jeszcze rozważane zadanie graficznie.

Ilustracja graficzna równania $|x + 2| + |y - 2| = 1$ to:

RAmCH9dBdTp97

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. W drugiej ćwiartce znajduje się romb, którego wierzchołki mają współrzędne: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu.

Zaś wykres równania $|x - 2| + |y - 2| = 1$ to:

R6r4Q7PNZsffr

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. W drugiej pierwszej znajduje się romb, którego wierzchołki mają współrzędne: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,2, 1, zamknięcie nawiasu.

Narysujmy jeszcze obie figury w tym samym układzie współrzędnych:

R1SrRKfTzRBiO

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus czterech do czterech i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie znajdują się dwa romby. Współrzędne pierwszego z nich: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne drugiego z nich k: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 3, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,1, 2, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu,2, 1, zamknięcie nawiasu.

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f (x, y) = 0$ , to obraz $F'$ figury $F$ przez symetrię względem osi $Y$ opisuje się równaniem $f (- x, y) = 0$ . Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $x$ podstawić $(- x)$ .

Przykład 6

Wyznaczymy obraz figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ w symetrii względem osi $Y$ .

Rozwiązanie

Obrazem figury o równaniu ${(2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ w symetrii względem osi $Y$ jest figura o równaniu ${(- 2 x + 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ , czyli, po skorzystaniu z własności potęgi o wykładniku parzystym, ${(2 x - 1)}^{2} + {(3 y - 2)}^{2} = 5$ .

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają wykresy tych równań, które można otrzymać przy użyciu programu komputerowego:

Rq39SutJiIy0U

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus jeden do dwóch. Na płaszczyźnie znajduje się elipsa, która przecina oś x w punkcie minus 1 oraz 0. Przecina również oś y na wysokości punktu 1,5.

R13H0s1Ex7pE3

Przykład 7

Wyznaczymy obraz trójkąta $A B C$ opisanego układem nierówności:

$\{\begin{cases} x - y \geq - 3 \\ x + 3 y \geq - 7 \\ 7 x + y \leq 11 \end{cases}$

w symetrii względem osi $Y$ .

Rozwiązanie

Obrazem trójkąta $A B C$ jest trójkąt $A' B' C'$ opisany układem nierówności:

$\{\begin{cases} - x - y \geq - 3 \\ - x + 3 y \geq - 7 \\ - 7 x + y \leq 11 \end{cases}$

Dla pełni przekazu zobaczmy jeszcze, jak wyglądają te trójkąty w układzie współrzędnych:

R1Qem1UXh5CSK

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie znajdują się dwa trójkąty. Współrzędne wierzchołków pierwszego z nich są następujące: punkt A początek nawiasu, 1, 4, zamknięcie nawiasu, punkt B początek nawiasu, minus 4, minus 1, zamknięcie nawiasu, punkt C początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Wszystkie boki trójkąta zostały wydłużone za pomocą przerywanych linii. Współrzędne wierzchołków drugiego trójkąta są następujące: punkt A prim początek nawiasu, minus 1, 4, zamknięcie nawiasu, punkt B prim początek nawiasu, 4, minus 1, zamknięcie nawiasu, punkt C prim początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Boki tego trójkąta również zostały przedłużone za pomocą przerywanej linii.

Przykład 8

a) Narysujemy wykres równaniawykres równaniawykres równania $|2 x - 3| + |y + 1| = 2$ .

Rozwiązanie

$I$ przypadek	$II$ przypadek	$III$ przypadek	$IV$ przypadek
Układy warunków powstałych z opuszczenia wartości bezwzględnych
$\{\begin{matrix} 2 x - 3 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \\ 2 x - 3 + y + 1 = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x - 3 \geq 0 \\ y + 1 < 0 \\ 2 x - 3 - (y + 1) = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x - 3 < 0 \\ y + 1 \geq 0 \\ - (2 x - 3) + y + 1 = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x - 3 < 0 \\ y + 1 < 0 \\ - (2 x - 3) - (y + 1) = 2 \end{matrix}$
Uproszczone układy warunków
$\{\begin{matrix} x \geq \frac{3}{2} \\ y \geq - 1 \\ y = - 2 x + 4 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x \geq \frac{3}{2} \\ y < - 1 \\ y = 2 x - 6 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < \frac{3}{2} \\ y \geq - 1 \\ y = 2 x - 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < \frac{3}{2} \\ y < - 1 \\ y = - 2 x \end{matrix}$
Ilustracje warunków
RcNoPCRKLGKoi Grafika przedstawia poziomą oś X od minus jeden do trzech i pionową osą y od minus dwa do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu $y = - 1$ , druga to pionowa prosta o równaniu $x = 1, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, 1,5, 1, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 2,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	R1Kqpe3x1GnCS Grafika przedstawia poziomą oś X od minus jeden do trzech i pionową osą y od minus dwa do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 1$ , druga to pionowa prosta o równaniu $x = 1, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 3, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, 1,5, minus 3, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 2,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	R1NfGGsLQ8I8m Grafika przedstawia poziomą oś X od minus jeden do trzech i pionową osą y od minus dwa do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu $y = - 1$ , druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $x = 1, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 1, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, 1,5, 1, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 0,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	R1c4DV2G3DRWU Grafika przedstawia poziomą oś X od minus jeden do trzech i pionową osą y od minus dwa do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 1$ , druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $x = 1, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przechodzi przez środek układu współrzędnych, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, 1,5, minus 3, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 0,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.
Ilustracje układów warunków
RyrH9GC5p2czT	R12lX8jOidJUx Grafika przedstawia poziomą oś X od minus jeden do trzech i pionową osą y od minus dwa do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek, pierwszy punkt zaznaczony niezamalowaną kropką ma współrzędne początek nawiasu, 2,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, a drugi punkt, który jest zaznaczony zamalowaną kropką ma współrzędne początek nawiasu, 1,5, minus 3, zamknięcie nawiasu.	RjDRUIkECsMqA	RDM4htJHXj8es
Ilustracja równania
RBtotT2g98xHv

b) Wyznaczymy obraz figury opisanej równaniem $|2 x - 3| + |y + 1| = 2$ w symetrii względem osi $Y$ oraz jego równanie.

Rozwiązanie

Obrazem figury $F$ o równaniu $|2 x - 3| + |y + 1| = 2$ jest figura $F'$ o równaniu $|- 2 x - 3| + |y + 1| = 2$ , czyli równoważnie $|2 x + 3| + |y + 1| = 2$ . Ilustracje figur $F$ i $F'$ znajdują się poniżej:

R1cQ9LGr05iPu

Grafika przedstawia poziomą oś X od minus trzech do trzech i pionową osą y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie narysowane są dwa romby Pierwszy o wierzchołkach A, B, C i D. Współrzędne wierzchołka A początek nawiasu, 1,5, 1, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka B początek nawiasu, 2,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka C początek nawiasu, 1,5, minus 3, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka D początek nawiasu, 0,5,minus 1, zamknięcie nawiasu. Wierzchołki drugiego rombu to: A prim, B prim, C prim i D prim. Współrzędne wierzchołka A prim początek nawiasu,minus 1,5, 1, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka B prim początek nawiasu, minus 2,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka C prim początek nawiasu, minus 1,5, minus 3, zamknięcie nawiasu, współrzędne wierzchołka D prim początek nawiasu, minus 0,5, minus 1, zamknięcie nawiasu.

Ciekawostka

Niech $S_{Y}$ oznacza symetrię względem osi $Y$ .

Możemy zauważyć, że $S_{Y} ((a, b)) = (- a, b)$ .

Wówczas $S_{Y} (S_{Y} ((a, b))) = S_{Y} ((- a, b)) = (- (- a), b) = (a, b)$ , czyli symetria względem osi $Y$ jest inwolucjąinwolucjainwolucją.

Polecenie 3

Zmieniając wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $r$ , obserwuj, jak zmienia się wykres równania $|a x - b| + |c y - d| = r$ oraz jego obraz przez symetrię względem osi $Y$ .

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.

R1GLSPFHahIIJ

Aplet przedstawia wykres równania wartość bezwzględna z, a x, minus, b, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, c y, minus, d, koniec wartości bezwzględnej, równa się, r oraz jego obraz przez symetrię względem osi Y. Aplet składa się z układu współrzędnych z poziomą osią x od minus 20 do dwudziestu i pionową osią y od minus 8 do dwudziestu dwóch. Na płaszczyźnie znajdują się dwa wykresy w kształcie rombu, których kształty zależne są od ustawionych parametrów: a, b, c, d oraz r. Parametr a można zmieniać od 0,5 do 5, parametr b od minus 5 do 5. Parametr c od 0,5 do 5. Parametr d od minus 5 do 5, natomiast parametr r od zero do 5 co jedną dziesiątą. Skok pozostałych parametrów to 0,5. W wyniku zmian parametrów na płaszczyźnie układu współrzędnych otrzymujemy wykres równania, czyli łamaną ABCD oraz obraz A prim B prim C prim D prim łamanej ABCD w symetrii względem osi Y. Pod płaszczyzną układu pojawia się równanie odpowiadające łamanej ABCD oraz łamanej A prim B prim C prim D prim. Ustawiając parametr a równy 0,5, parametr b równy 5, parametr c równy 0,5, parametr d równy 5 oraz parametr r równy 5 o trzymujemy na płaszczyźnie układu dwa wykresy w kształcie rombu. Współrzędne wierzchołków pierwszego z nich to A: początek nawiasu, 0, 10, zamknięcie nawiasu, B: początek nawiasu, 10, 0, zamknięcie nawiasu, C: początek nawiasu, 20, 10, zamknięcie nawiasu, D: początek nawiasu, 10, 20, zamknięcie nawiasu. Współrzędne drugiego są następujące A prim: początek nawiasu, 0, 10, zamknięcie nawiasu, B prim: początek nawiasu, minus 10, 0, zamknięcie nawiasu, C prim: początek nawiasu, minus 20, 10, zamknięcie nawiasu, D: początek nawiasu, minus 10, 20, zamknięcie nawiasu, punkt A równa się A prim, punkt B jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem B prim, punkt C jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem C prim oraz punkt D jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem D prim. Łamana ABCD ma równanie wartość bezwzględna z, zero przecinek pięć x, minus, pięć, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, zero . pięć y, minus, pięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, pięć. Łamana A prim B prim C prim D prim ma równanie wartość bezwzględna z, zero przecinek pięć x, plus, pięć, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, zero . pięć y, minus, pięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, pięć. Ustawiając parametr a równy 3, parametr b równy minus 4,5, parametr c równy 1,5, parametr d równy minus1,5 oraz parametr r równy 1,5 o trzymujemy na płaszczyźnie układu dwa wykresy w kształcie rombu. Współrzędne wierzchołków pierwszego z nich to A: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, B: początek nawiasu, minus 1,5, minus 2, zamknięcie nawiasu, C: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, D: początek nawiasu, minus 1,5, 0, zamknięcie nawiasu. Współrzędne drugiego są następujące A prim: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, B prim: początek nawiasu, minus 1,5, minus 2, zamknięcie nawiasu, C prim: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, D: początek nawiasu, 1,5, 0, zamknięcie nawiasu, punkt A równa się A prim, punkt B jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem B prim, punkt C jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem C prim oraz punkt D jest połączony poziomą linią przerywaną z punktem D prim. Łamana ABCD ma równanie wartość bezwzględna z, trzy x, plus, cztery przecinek pięć, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, jeden przecinek pięć y, plus, jeden . pięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jeden przecinek pięć. Łamana A prim B prim C prim D prim ma równanie wartość bezwzględna z, trzy x, minus, cztery przecinek pięć, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, jeden przecinek pięć y, plus, jeden . pięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jeden przecinek pięć.

Polecenie 4

Korzystając z apletu, rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R7z8VIS8EKvD9

R15mKz43v5ahe

R4RD1GCgCdTtg

R16lmZUljEmbZ

Rozwiąż poniższe polecenia na podstawie opisu apletu.

R1SHSR16VQbPn

RJYpDZMx4OUB1

RsuTEYim0Azn5

R1PBm3GDp2t0q

Symetria względem punktu $O$

Symetrię względem punktu $O$ o współrzędnych $(0, 0)$ (czyli początku układu współrzędnych) będziemy oznaczać $S_{(0, 0)}$ , zaś obraz punktu $A$ w tej symetrii - $S_{(0, 0)} (A)$ albo $A'$ (o ile z kontekstu będzie wiadomo, o jakie przekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyznyprzekształcenie płaszczyzny chodzi).

Przypomnijmy najpierw konstrukcję, dzięki której możemy wyznaczyć obraz danego punktu w symetrii środkowej względem punktu $(0, 0)$ :

Obrazem punktu $A = (0, 0)$ w symetrii względem punktu $O = (0, 0)$ jest punkt $A' = A = (0, 0)$ .

R1Gx2WorLtZbI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także punkt A o współrzędnych nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Punkt A pokrywa się z punktem A prim.

Aby wyznaczyć obraz $A'$ punktu $A = (x, y)$ różnego od punktu o współrzędnych $(0, 0)$ w symetrii względem punktu $O = (0, 0)$ :

Prowadzimy prostą przez punkty $O$ i $A$ .
Odmierzamy długość odcinka $O A$ .
Odkładamy na prostej $O A$ odcinek o długości $|O A|$ o jednym z końców w punkcie $O$ , ale po przeciwnej stronie punktu $O$ niż tej, po której znajduje się punkt $A$ (równoważnie: rysujemy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $|O A|$ ).
Koniec narysowanego odcinka (punkt przecięcia prostej i okręgu) jest obrazem $A'$ punktu $A$ w symetrii względem punktu $O = (0, 0)$ .

R19dxSLg3txXL

RpLWOFiY0TLvN

R1UCDnp8J10m4

RCKT6TUqD7FqZ

Niech punkt $A$ ma współrzędne $(x, y)$ . Zrzutujemy teraz punkty $A$ i $A'$ (obraz punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych) na oś $Y$ pod kątem prostym. Rzuty prostokątne punktów $A$ i $A'$ na oś $Y$ oznaczmy jako $A_{1}$ i $A'_{1}$ .

R1axcqi3nYWso

Wówczas kąty $A_{1} O A$ oraz $A'_{1} O A'$ mają równe miary jako kąty wierzchołkowe. Poza tym kąty $A A_{1} O$ oraz $A' A'_{1} O$ są proste oraz $|O A| = |O A'|$ . Zatem trójkąty $A_{1} O A$ oraz $A'_{1} O A'$ są przystające. Ponieważ przyprostokątne omawianych trójkątów mają równe długości, więc współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x, - y)$ . Zatem współrzędne obrazu $A'$ punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych są liczbami przeciwnymi do współrzędnych punktu $A$ .

Rozważmy ponownie punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ . Jego obraz $A'$ w symetrii względem osi $X$ ma współrzędne $(x, - y)$ . Obraz $A^{''}$ punktu $A^{'}$ w symetrii względem osi $Y$ ma współrzędne $(- x, - y)$ , czyli takie same jak obraz punktu $A$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Mówimy, że symetria względem punktu $(0, 0)$ jest złożeniem symetrii względem osi $X$ oraz symetrii względem osi $Y$ i piszemy $S_{(0, 0)} = S_{X} \circ S_{Y}$ . W tym konkretnym przypadku złożenie symetrii względem osi $X$ i symetrii względem osi $Y$ może zostać wykonane w dowolnej kolejności, dając ten sam efekt, więc możemy napisać $S_{X} \circ S_{Y} = S_{Y} \circ S_{X} = S_{(0, 0)}$ , ale ogólnie składanie przekształceń nie jest przemienne.

R12aThuLsNm9f

Rf5TkDw4zku9t

Obrazem odcinka $A B$ w symetrii względem punktu $(0, 0)$ jest odcinek $A' B'$ , gdzie $A'$ i $B'$ są obrazami punktów $A$ i $B$ względem punktu $(0, 0)$ :

R1biktvl3ZyNA

R15Hn9Wy5MyZL

Przykład 9

Rozważmy punkty $A (6, 0)$ , $B (- 4, 3)$ i $C (2, - 3)$ . Znajdziemy obraz trójkąta $A B C$ o symetrii względem punktu $(0, 0)$ .

RcuK0z19rbJLl

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na układzie zaznaczono także trzy punkty A B C tworzące trójkąt o współrzędnych. Wierzchołek A, nawias sześć średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B nawias minus cztery średnik trzy koniec nawiasu. Wierzchołek C, nawias dwa średnik minus trzy koniec nawiasu. Na ilustracji zaznaczono także obraz trójkąta A B C względem początku układu współrzędnych, czyli punktu nawias zero średnik zero koniec nawiasu. Powstał nowy trójkąt A pirm B prim C prim. Wierzchołek A prim nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu. Wierzchołek B prim, nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Wierzchołek C nawias minus dwa średnik trzy koniec nawiasu.

Aby znaleźć obraz wielokąta w symetrii wystarczy znależć obraz wierzchoków tego wielokąta. Mamy zatem $A' (- 6, 0)$ , $B' (4, - 3)$ i $C' (- 2, 3)$ .

Przykład 10

Wyznaczymy równanie obrazu $F'$ figury $F$ o równaniu $|2 x - 3| + |y + 2| = 2$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Niech punkt $X = (x, y)$ będzie dowolnym punktem figury $F$ . Wówczas jego obraz $X'$ w symetrii względem punktu $(0, 0)$ ma współrzędne $(x', y') = (- x, - y)$ . Stąd $x = - x'$ i $y = - y'$ , co po podstawieniu do równania figury $F$ daje równanie figury $F' : |2 (- x') - 3| + |- y' + 2| = 2$ . Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy równanie $|2 x' + 3| + |y' - 2| = 2$ . Otrzymaliśmy związek między współrzędnymi $(x', y')$ punktów należących do figury $F'$ . Dokładnie ten sam zbiór punktów opisuje równanie $|2 x + 3| + |y - 2| = 2$ .

W prostokątnym układzie współrzędnym narysujemy figury $F$ i $F'$ :

R1TgmCPjuaPR2

Powyższy przykład możemy podsumować w następujący sposób:

Jeśli figura $F$ opisana jest równaniem $f (x, y) = 0$ , to obraz $F'$ figury $F$ przez symetrię względem punktu $(0, 0)$ opisuje się równaniem $f (- x, - y) = 0$ . Zatem aby otrzymać równanie obrazu figury o danym wzorze, wystarczy w tym wzorze w miejsce zmiennej $x$ podstawić $(- x)$ , zaś w miejsce zmiennej $y$ wstawić $(- y)$ .

Zauważmy jeszcze, że symetria w punkcie jest izometrią i inwolucjąinwolucjainwolucją.

Przykład 11

Rozważmy trójkąt $A B C$ oraz jego obraz $A' B' C'$ względem osi $X$ .

RK55jhK3RUIof

Zauważmy, że, wymieniając wierzchołki trójkąta $A B C$ w kolejności alfabetycznej, podajemy je przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zaś wymieniając obrazy $A'$ , $B'$ , $C'$ punktów $A$ , $B$ , $C$ w symetrii względem osi $X$ , podajemy wierzchołki trójkąta $A' B' C'$ , zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Mówimy, że symetria względem osi $X$ zmienia orientację płaszczyzny. Ogólnie: symetria względem dowolnej prostej zmienia orientację płaszczyzny.

Rozważmy teraz trójkąt $A B C$ oraz jego obraz $A' B' C'$ względem punktu $(0, 0)$ . Tym razem wymieniając wierzchołki trójkąta $A B C$ oraz ich obrazy, podajemy je w “tym samym kierunku”. Mówimy, że symetria względem punktu nie zmienia orientacji płaszczyzny.

RhfouXfU6HYFn

Wynika to z twierdzenia, którego szczegółowy dowód tu pominiemy (Twierdzenie: złożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceńzłożenie przekształceńzłożenie dwóch (parzyście wielu) przekształceń zmieniających orientację płaszczyzny jest przekształceniem niezmieniającym orientacji płaszczyzny) oraz faktu, że symetria względem punktu jest złożeniem dwóch symetrii względem prostych.

Polecenie 5

Zmieniając położenie punktu $A$ , obserwuj jego obrazy w symetriach względem osi $X$ i $Y$ oraz względem początku układu współrzędnych.

R1IpvzpsrQsDB

Polecenie 6

R1AquEIzUgrDp

R1bWQOV2u35EW1

Ćwiczenie 1

Poniżej przedstawiono współrzędne pewnych punktów. Połącz w pary punkty, które są położone symetrycznie względem osi X. A, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 2

R1Tmhx12TtKoQ

Rno6tfRaaBc0R

R1MrEbUpsYfIn

R6uENzIaWg3uj

Rf3uZTVKs8r1a

R1V3p508qIg77

Ćwiczenie 3

Połącz w pary figury symetryczne względem osi $X$ .

R1MZsap6Pr4lK

RxGiftuYDyXac

RnWHoF2KSM6pn

Połącz w pary ilustracje będące swoim Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus jednego do trzech. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, minus 2,minus 3, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 4. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt. Współrzędne wierzchołka pierwszego to początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka drugiego to początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Współrzędne wierzchołka trzeciego to początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 4

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj krzywą będąca zbiorem wszystkich punktów o współrzędnych $(x, y)$ , które spełniają równanie $|x| + |y - 1| = 2$ .

Rozważmy przypadki:

$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ x + y - 1 = 2 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y - 1 < 0 \\ x - (y - 1) = 2 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ - x + y - 1 = 2 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < 0 \\ y - 1 < 0 \\ - x - (y - 1) = 2 \end{cases}$
$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 1 \\ y = - x + 3 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y < 1 \\ y = x - 1 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < 0 \\ y \geq 1 \\ y = x + 3 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < 0 \\ y < 1 \\ y = - x - 1 \end{cases}$
R1CMTxDqAZakq Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta o równaniu $x = 1$ , druga pionowa prosta o równaniu < $y = 0$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek nawiasu 3, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor niebieski. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	R1MkbK1OT0Zro Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = 1$ , druga pionowa prosta o równaniu $x = 0$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek nawiasu 1, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor niebieski. Obszar znajdujący się po prawej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	R15iHKH2O1UdC Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta o równaniu $y = 1$ , druga pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $x = 0$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek nawiasu minus 3, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się powyżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor niebieski. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.	R1GfcqJmXqBvp Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do trzech i pionową osią y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = 1$ , druga pionowa prosta również namalowana linią przerywaną o równaniu $x = 0$ i trzecia ukośna prosta która przecina oś y w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu i oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu. Obszar znajdujący się poniżej pierwszej prostej jest zamalowany na kolor niebieski. Obszar znajdujący się po lewej stronie drugiej prostej jest zaznaczony na kolor niebieski.
RD6yMzvKTmaN1 Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, 0,3, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony zamalowaną kropką.	RsloYsMGixCei Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, 0,minus 1, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	RLAipDOgTrX8f Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym zamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, który został zaznaczony niezamalowaną kropką.	R1NIw5IPOjUjw Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczony został odcinek zaczynający się punkcie zaznaczonym niezamalowaną kropką o współrzędnych początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, a kończący się w punkcie początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu, który również został zaznaczony niezamalowaną kropką.

Ostatecznie:

R1KWpGdFvdfwj

Grafika przedstawia układ współrzędnych z pozioma osią x od minus trzech do jednego i pionową osią y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały odcinki ułożone w kształt rombu. Współrzędne wierzchołków rombu są następujące: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 0, 3, zamknięcie nawiasu, początek nawiasu, 0, minus 1, zamknięcie nawiasu, oraz początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu. Obszar wewnątrz rombu został zamalowany.

R1BAn0t0ZQSP32

Ćwiczenie 5

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Figura F ma równanie wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy. Obrazem figury F w symetrii względem osi X jest figura F prim, która ma równanie:
wartość bezwzględna z, x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, minus, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy

Figura F ma równanie nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć. Obrazem figury F w symetrii względem osi X jest figura F prim, która ma równanie:
nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć

Figura F ma równanie nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, siedem. Obrazem figury F w symetrii względem osi X jest figura F prim, która ma równanie:
nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, jeden, minus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, siedem nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, siedem nawias, trzy, minus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, jeden, minus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, siedem

Figura F ma równanie nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden. Obrazem figury F w symetrii względem osi X jest figura F prim, która ma równanie:
nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden

Ćwiczenie 6

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek $|x - 1| + |y + 3| \leq 2$ . Następnie naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek $|x - 1| + |y - 3| \leq 2$ .

(a) Przyporządkuj układom warunków powstałych z opuszczenia wartości bezwzględnych uproszczone układy równoważne. Przeciągnij odpowiedzi we właściwe miejsce.

R1dCNHINrKW0T

(b) Przyporządkuj układom warunków powstałych z opuszczenia wartości bezwzględnych ich ilustracje. Złap element i przesuwaj go w prawo lub w lewo.

RnKTSfyAh7FB6

RPbCOGcSYPJzq

(b) Podane poniżej nierówności odcinają na płaszczyźnie obszar będący trójkątem. Jakie wierzchołki mają odcięte trójkąty? Połącz w pary układy równań z odpowiednimi wierzchołkami. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, jeden, koniec równania, drugie równanie, y, większy równy, minus, trzy, koniec równania, trzecie równanie, y, mniejszy równy, x, minus, dwa, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, jeden, koniec równania, drugie równanie, y, mniejszy niż, minus, trzy, koniec równania, trzecie równanie, y, większy równy, minus, x, minus, cztery, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, jeden, koniec równania, drugie równanie, y, większy równy, minus, trzy, koniec równania, trzecie równanie, y, mniejszy równy, minus, x, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, jeden, koniec równania, drugie równanie, y, mniejszy niż, minus, trzy, koniec równania, trzecie równanie, y, większy równy, x, minus, sześć, koniec równania, koniec układu równań Możliwe odpowiedzi: 1. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 2. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 3. nawias, minus, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, 4. nawias, trzy, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, przecinek, minus, trzy, zamknięcie nawiasu

(c) Połącz w pary ilustracje warunków powstałych z opuszczenia wartości bezwzględnych z ilustracjami graficznymi ich układów.

RTyg8wG1LHmTp

RbNzHnG83lnUt

R1HyvD0U18Dqf

Do podanych obiektów dopasuj obiekty, które są do nich symetryczne względem osi X.

Do pionowej półprostej ograniczonej od dołu niezamalowanym punktem o współrzędnych nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu obiektem symetrycznym względem osi X jest 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa półprosta ograniczona od 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa niezamalowanym punktem o współrzędnych 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

Do poziomej prostej określonej równaniem y, równa się, trzy symetryczna względem osi X jest 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa prosta określona równaniem 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

Do prostej określonej wzorem y, równa się, minus, dwa x symetryczna względem osi X jest prosta określona wzorem 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

Do podanych obiektów dopasuj obiekty, które są do nich symetryczne względem osi X.

Do pionowej półprostej ograniczonej od dołu niezamalowanym punktem o współrzędnych nawias, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu obiektem symetrycznym względem osi X jest 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa półprosta ograniczona od 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa niezamalowanym punktem o współrzędnych 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

Do poziomej prostej określonej równaniem y, równa się, trzy symetryczna względem osi X jest 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa prosta określona równaniem 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

Do prostej określonej wzorem y, równa się, minus, dwa x symetryczna względem osi X jest prosta określona wzorem 1. góry, 2. nawias, minus, jeden, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. pozioma, 4. nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. y, równa się, minus, dwa wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, 6. x, równa się, trzy, 7. pozioma, 8. y, równa się, dwa x, 9. dołu, 10. pionowa, 11. y, równa się, minus, trzy, 12. pionowa.

(d) Przyporządkuj nierównościom ich interpretacje graficzne. Złap element i przesuwaj go w prawo lub w lewo.

R4ihT4XUeH71Z

RoaQW91HRDNJs

RJHsR4c40pHG13

Ćwiczenie 7

R1QlFhY9CkB1L3

Ćwiczenie 8

R4TlA1Q0zWj6X1

Ćwiczenie 9

Połącz w pary punkty, które są położone symetrycznie względem osi Y. A, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu A, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu Możliwe odpowiedzi: 1. A prim, równa się, nawias, minus, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 2. A prim, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 3. A prim, równa się, nawias, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, 4. A prim, równa się, nawias, jeden, przecinek, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, 5. A prim, równa się, nawias, dwa przecinek jeden, zamknięcie nawiasu, 6. A prim, równa się, nawias, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 7. A prim, równa się, nawias, minus, jeden przecinek dwa, zamknięcie nawiasu, 8. A prim, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 10

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

RWDxHU4zJk8nz

RNWuJ9dMJMXjA

R5cpVQXqBuyNZ

RvsZr6far0aNA

RTKNvCqi4lo74

R1QYcNBRoi3gy

Ćwiczenie 11

Połącz w pary figury symetryczne względem osi $Y$ .

R1WCjBuuqv2p9

RVkyvcN7JyH8P

R1QdIYi1YEoy1

Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 3, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 1, zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, minus 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, minus 3, zamknięcie nawiasu., 2. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus trzy do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, 2, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, minus 3, zamknięcie nawiasu., 3. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 1, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 2, 3, zamknięcie nawiasu., 4. Grafika przedstawia poziomą oś x od minus 2 do dwa i pionową oś y od minus jeden do trzy. Na płaszczyźnie znajduje się trójkąt, którego wierzchołki mają współrzędne, wierzchołek pierwszy: początek nawiasu, minus 2, 3, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi: początek nawiasu, minus 2, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci: początek nawiasu, 1, 1, zamknięcie nawiasu.

Ćwiczenie 12

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $(x, y)$ spełniają równanie $|2 x + 5| + |y + 1| = 2$ . Naszkicuj obraz otrzymanej figury w symetrii względem osi $Y$ i podaj jego równanie.

W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $(x, y)$ spełniają równanie $|2 x + 5| + |y + 1| = 2$ . Opisz obraz otrzymanej figury w symetrii względem osi $Y$ i podaj jego równanie.

Przypadki powstałe z opuszczenia wartości bezwzględnych
$\{\begin{matrix} 2 x + 5 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \\ 2 x + 5 + y + 1 = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x + 5 \geq 0 \\ y + 1 < 0 \\ 2 x + 5 - (y + 1) = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x + 5 < 0 \\ y + 1 \geq 0 \\ - (2 x + 5) + y + 1 = 2 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} 2 x + 5 < 0 \\ y + 1 < 0 \\ - (2 x + 5) - (y + 1) = 2 \end{matrix}$
Uproszczone układy warunków
$\{\begin{cases} x \geq - \frac{5}{2} \\ y \geq - 1 \\ y = - 2 x - 4 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x \geq - \frac{5}{2} \\ y < - 1 \\ y = 2 x + 2 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - \frac{5}{2} \\ y \geq - 1 \\ y = 2 x + 6 \end{cases}$	$\{\begin{cases} x < - \frac{5}{2} \\ y < - 1 \\ y = - 2 x - 8 \end{cases}$
Ilustracje warunków
R1eWRNnKA8Wvx Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu $x = - 1$ , druga to pionowa prosta o równaniu $y = - 2, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 2, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 2,5, 1, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	R1JTJm31jzBGi Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $x = - 1$ , druga to pionowa prosta o równaniu $y = - 2, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 2,5, minus 3, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	Rbve32QH2TFNB Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu $x = - 1$ , druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 2, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 3, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 2,5, 1, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 3,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.	RAJRWKrA0vgQW Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $x = - 1$ , druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu $y = - 2, 5$ , trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 4, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 2,5, minus 3, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 3,5, minus 1, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, natomiast obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym.
Wykres równania $\|2 x + 5\| + \|y + 1\| = 2$
RXY43v0q98Qmg Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajduje się łamana w kształcie rombu. Wierzchołki mają współrzędne: wierzchołek pierwszy początek nawiasu, minus 2,5, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi początek nawiasu, minus 3,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek czwarty początek nawiasu, minus 2,5, minus 3, zamknięcie nawiasu.
Wykres równania $\|2 x + 5\| + \|y + 1\| = 2$ oraz jego obraz w symetrii względem osi $Y$ . Równanie obrazu to $\|2 x - 5\| + \|y + 1\| = 2$ .
R8bSPkdI8Z24v Grafika przedstawia poziomą oś X od minus czterech do jeden i pionową osią y od minus trzech do jeden. Na płaszczyźnie znajdują się dwie łamane w kształcie rombu. Wierzchołki pierwszego rombu mają współrzędne: wierzchołek pierwszy początek nawiasu, minus 2,5, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi początek nawiasu, minus 3,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci początek nawiasu, minus 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek czwarty początek nawiasu, minus 2,5, minus 3, zamknięcie nawiasu. Wierzchołki drugiego rombu mają współrzędne: wierzchołek pierwszy początek nawiasu, 2,5, 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek drugi początek nawiasu, 3,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek trzeci początek nawiasu, 1,5, minus 1, zamknięcie nawiasu, wierzchołek czwarty początek nawiasu, 2,5, minus 3, zamknięcie nawiasu.

RGXVMQ1CRdE5c2

Ćwiczenie 13

Rozwiąż test. Zaznacz poprawne odpowiedzi. Figura F ma równanie wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy. Obrazem figury F w symetrii względem osi Y jest figura F prim, która ma równanie
wartość bezwzględna z, x, plus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy
wartość bezwzględna z, minus, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy
wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, plus, wartość bezwzględna z, y, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, trzy

Figura F ma równanie nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć. Obrazem figury F w symetrii względem osi Y jest figura F prim, która ma równanie
nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć
nawias, x, plus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć
nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, pięć

Figura F ma równanie nawias, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem. Obrazem figury F w symetrii względem osi Y jest figura F prim, która ma równanie
minus, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem
nawias, trzy, minus, x, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, jeden, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem
nawias, minus, x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, jeden, plus, y, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, siedem

Figura F ma równanie nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden. Obrazem figury F w symetrii względem osi Y jest figura F prim, która ma równanie
nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, minus, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden
nawias, minus, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden
nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, nawias, y, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden

Ćwiczenie 14

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają warunek $|2 x + 1| + |2 y - 3| \leq 2$ .

(a) Przyporządkuj układom warunków układy im równoważne.

Rqf81fC5jpqr0

(b) Przyporządkuj układom warunków powstałych z opuszczenia wartości bezwzględnych ich ilustracje. Złap element i przesuwaj go w prawo lub w lewo.

R1935vfzok8Ly

RnRJHAMaStRZS

Grafika przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu x, równa się, jeden przecinek pięć, druga to pionowa prosta o równaniu < y, równa się, zero przecinek pięć, trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, 2, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 0,5, 2,5, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 0,5, 1,5, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym, natomiast obszar poniżej ukośnej prostej jest zaznaczony kolorem niebieskim. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, minus, x, plus, dwa., koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, x, plus, trzy., koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, x, plus, jeden., koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, minus, x., koniec równania, koniec układu równań Grafika przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu x, równa się, jeden przecinek pięć, druga to pionowa prosta o równaniu < y, równa się, zero przecinek pięć, trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie początek nawiasu, minus 1, 0, zamknięcie nawiasu, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 0,5, 0,5, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, 0,5, 1,5, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, obszar po prawej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym, natomiast obszar powyżej ukośnej prostej jest zaznaczony kolorem niebieskim. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, minus, x, plus, dwa., koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, x, plus, trzy., koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, x, plus, jeden., koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, minus, x., koniec równania, koniec układu równań Grafika przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta o równaniu x, równa się, jeden przecinek pięć, druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu y, równa się, zero przecinek pięć, trzecia to ukośna prosta, która przecina oś x w punkcie poza widoczną częścią płaszczyzny, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 0,5, 2,5, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 1,5, 1,5, zamknięcie nawiasu. Obszar powyżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym, natomiast obszar poniżej ukośnej prostej jest zaznaczony kolorem niebieskim. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, minus, x, plus, dwa., koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, x, plus, trzy., koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, x, plus, jeden., koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, minus, x., koniec równania, koniec układu równań Grafika przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do dwóch i pionową osią y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy proste. Pierwsza z nich to pozioma prosta namalowana linią przerywaną o równaniu x, równa się, jeden przecinek pięć, druga to pionowa prosta namalowana linią przerywaną o równaniu y, równa się, zero przecinek pięć, trzecia to ukośna prosta, która przecina środek układu współrzędnych, przecina pionową prostą w punkcie początek nawiasu, minus 0,5, 0,5, zamknięcie nawiasu oraz poziomą prostą w punkcie początek nawiasu, minus 1,5, 1,5, zamknięcie nawiasu. Obszar poniżej poziomej prostej jest zaznaczony kolorem pomarańczowym, obszar po lewej stronie pionowej prostej jest zaznaczony kolorem fioletowym, natomiast obszar powyżej ukośnej prostej jest zaznaczony kolorem niebieskim. Możliwe odpowiedzi: 1. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka., koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, minus, x, plus, dwa., koniec równania, koniec układu równań, 2. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, większy równy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, mniejszy równy, x, plus, trzy., koniec równania, koniec układu równań, 3. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, większy równy, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, x, plus, jeden., koniec równania, koniec układu równań, 4. nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, x, mniejszy niż, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec równania, drugie równanie, macierz, element, jeden jeden, y, mniejszy niż, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, element, jeden dwa, y, większy równy, minus, x., koniec równania, koniec układu równań

(c) Przyporządkuj nierównościom ich interpretacje graficzne. Złap element i przesuwaj go w prawo lub w lewo.

RWBmMJiEcrXhJ

RoThuH2rJAXoR

Ćwiczenie 15

R1b8kG8IqOSyV

R1BNHVJO8IvjI3

Ćwiczenie 16

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 17

Połącz w pary punkty oraz ich obrazy w symetrii względem punktu $(0, 0)$ .

A	B	C	D	E	F
R4jikfqgZxXc7	ROAtcoyFMnqPX	RlDXBHj2xM5Wv	R1XPpmJJzWZGe	RsK7dzWGxPpKb	RzjJmiUEL4mBb

R8Dc1Io3Zftaj

RfQgRoyk2myjX

R1PtSVCdxbocv1

Ćwiczenie 18

Ćwiczenie 19

Połącz w pary trójkąty oraz ich obrazy w symetrii względem początku układu współrzędnych.

A	B	C	D
RcpPY1VAzhVQU	R1RliiWDL4lAA	RbUkb23UuK1yC	RblFFPSUR4Arn

R1Q45jdhacZ9L

R1OhPEmVwW0se

Połącz w pary trójkąty oraz ich obrazy w symetrii względem początku układu współrzędnych. A. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na układzie zostały zaznaczone trzy punkty tworząc trójkąt prostokątny. Wierzchołek pierwszy nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu. Wierzchołek drugi nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy B. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na układzie zostały zaznaczone trzy punkty tworząc trójkąt prostokątny. Wierzchołek pierwszy nawias minus jeden średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek drugi nawias dwa średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias dwa średnik dwa koniec nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy C. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na układzie zostały zaznaczone trzy punkty tworząc trójkąt prostokątny. Wierzchołek pierwszy nawias minus dwa średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek drugi nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias minus jeden średnik dwa koniec nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy D. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dwóch. Na układzie zostały zaznaczone trzy punkty tworząc trójkąt prostokątny. Wierzchołek pierwszy nawias minus dwa średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek drugi nawias jeden średnik dwa koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias minus dwa średnik dwa koniec nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. element 3 prawy, 2. element 2 prawy, 3. element 4 prawy, 4. element 1 prawy

R1LzzbUd0v1Vk2

Ćwiczenie 20

Ćwiczenie 21

a) Przyporządkuj układom warunków układy im równoważne. Przeciągnij i upuść.

Rva3uUBIsZbkS

b) Przyporządkuj układom warunków ich ilustracje w układzie współrzędnych.

RBCnGAMjsLCnC

RN277DITahVoF

c) Przyporządkuj dane nierówności do zbiorów punktów, których współrzędne je spełniają. Przeciągnij wzór na grafikę.

R1ZYTUrCwjQkq

R1PwhDUPyVfks

Ćwiczenie 22

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $(x, y)$ spełniają nierówność $|2 x + 3| + |y - 1| > 3$ oraz jego obraz w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Układy warunków powstałe z opuszczenia wartości bezwzględnych	Układy warunków równoważnych	Nierówności
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ 2 x + 3 + y - 1 > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x \geq - \frac{3}{2} \\ y \geq 1 \\ y > - 2 x + 1 \end{matrix}$ RSflq1VcXtBvW Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się jeden, włącznie z prostą. Drugi przedział znajduje się po prawej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się minus dwa x dodać jeden.	$\|2 x + 3\| + \|y - 1\| > 3$ R1I1aUbhijxHt Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech . Na płaszczyźnie układu współrzędnego kolorem pomarańczowym zamalowany został zbiór punktów z wyłączeniem rombu. Jego wierzchołki znajdują się w następujących punktach. Wierzchołek pierwszy nawias minus jeden przecinek pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Wierzchołek drugi zero średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias minus jeden przecinek pięć średnik cztery koniec nawiasu. Wierzchołek czwarty minus trzy średnik jeden koniec nawiasu.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 < 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ - (2 x + 3) + y - 1 > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < - \frac{3}{2} \\ y \geq 1 \\ y > 2 x + 7 \end{matrix}$ Rjhy9b9xKLvuq Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po lewej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się dwa x dodać siedem.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0 \\ y - 1 < 0 \\ 2 x + 3 - (y - 1) > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x \geq - \frac{3}{2} \\ y < 1 \\ y < 2 x + 1 \end{matrix}$ RaVKu3WxRMeNZ Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po prawej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się dwa x dodać jeden .	$\|2 x - 3\| + \|y + 1\| > 3$ RoeUIxMqoO40b Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech . Na płaszczyźnie układu współrzędnego kolorem pomarańczowym zamalowany został zbiór punktów z wyłączeniem rombu. Jego wierzchołki znajdują się w następujących punktach. Wierzchołek pierwszy nawias jeden przecinek pięć średnik minus cztery koniec nawiasu. Wierzchołek drugi trzy średnik minus jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias jeden przecinek pięć średnik dwa koniec nawiasu. Wierzchołek czwarty zero średnik minus jeden koniec nawiasu.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 < 0 \\ y - 1 < 0 \\ - (2 x + 3) - (y - 1) > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < - \frac{3}{2} \\ y < 1 \\ y < - 2 x - 5 \end{matrix}$ R14gKoQqTqv0H Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po lewej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć. Trzeci przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się minus dwa x minus pięć.

R1LjsvhFLlegt3

Ćwiczenie 23

R5SW6x5ygjWQx3

Ćwiczenie 24

Ćwiczenie 25

Połącz w pary punkty oraz ich obrazy w symetrii względem punktu $(0, 0)$ .

A	B	C	D	E	F
R4jikfqgZxXc7	ROAtcoyFMnqPX	RlDXBHj2xM5Wv	R1XPpmJJzWZGe	RsK7dzWGxPpKb	RzjJmiUEL4mBb

R8Dc1Io3Zftaj

RfQgRoyk2myjX

R1PtSVCdxbocv1

Ćwiczenie 26

Ćwiczenie 27

Połącz w pary trójkąty oraz ich obrazy w symetrii względem początku układu współrzędnych.

A	B	C	D
RcpPY1VAzhVQU	R1RliiWDL4lAA	RbUkb23UuK1yC	RblFFPSUR4Arn

R1Q45jdhacZ9L

R1OhPEmVwW0se

R1LzzbUd0v1Vk2

Ćwiczenie 28

Ćwiczenie 29

a) Przyporządkuj układom warunków układy im równoważne. Przeciągnij i upuść.

Rva3uUBIsZbkS

b) Przyporządkuj układom warunków ich ilustracje w układzie współrzędnych.

RBCnGAMjsLCnC

RN277DITahVoF

c) Przyporządkuj dane nierówności do zbiorów punktów, których współrzędne je spełniają. Przeciągnij wzór na grafikę.

R1ZYTUrCwjQkq

R1PwhDUPyVfks

Ćwiczenie 30

Układy warunków powstałe z opuszczenia wartości bezwzględnych	Układy warunków równoważnych	Nierówności
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ 2 x + 3 + y - 1 > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x \geq - \frac{3}{2} \\ y \geq 1 \\ y > - 2 x + 1 \end{matrix}$ RSflq1VcXtBvW Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się jeden, włącznie z prostą. Drugi przedział znajduje się po prawej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się minus dwa x dodać jeden.	$\|2 x + 3\| + \|y - 1\| > 3$ R1I1aUbhijxHt Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech . Na płaszczyźnie układu współrzędnego kolorem pomarańczowym zamalowany został zbiór punktów z wyłączeniem rombu. Jego wierzchołki znajdują się w następujących punktach. Wierzchołek pierwszy nawias minus jeden przecinek pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Wierzchołek drugi zero średnik jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias minus jeden przecinek pięć średnik cztery koniec nawiasu. Wierzchołek czwarty minus trzy średnik jeden koniec nawiasu.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 < 0 \\ y - 1 \geq 0 \\ - (2 x + 3) + y - 1 > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < - \frac{3}{2} \\ y \geq 1 \\ y > 2 x + 7 \end{matrix}$ Rjhy9b9xKLvuq Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po lewej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się nad prostą o równaniu y równa się dwa x dodać siedem.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0 \\ y - 1 < 0 \\ 2 x + 3 - (y - 1) > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x \geq - \frac{3}{2} \\ y < 1 \\ y < 2 x + 1 \end{matrix}$ RaVKu3WxRMeNZ Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po prawej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć, włącznie z prostą. Trzeci przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się dwa x dodać jeden .	$\|2 x - 3\| + \|y + 1\| > 3$ RoeUIxMqoO40b Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do trzech oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech . Na płaszczyźnie układu współrzędnego kolorem pomarańczowym zamalowany został zbiór punktów z wyłączeniem rombu. Jego wierzchołki znajdują się w następujących punktach. Wierzchołek pierwszy nawias jeden przecinek pięć średnik minus cztery koniec nawiasu. Wierzchołek drugi trzy średnik minus jeden koniec nawiasu. Wierzchołek trzeci nawias jeden przecinek pięć średnik dwa koniec nawiasu. Wierzchołek czwarty zero średnik minus jeden koniec nawiasu.
$\{\begin{matrix} 2 x + 3 < 0 \\ y - 1 < 0 \\ - (2 x + 3) - (y - 1) > 3 \end{matrix}$	$\{\begin{matrix} x < - \frac{3}{2} \\ y < 1 \\ y < - 2 x - 5 \end{matrix}$ R14gKoQqTqv0H Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dwóch oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na układzie zaznaczono także trzy różne przedziały ograniczone trzema prostymi. Pierwszy przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się jeden. Drugi przedział znajduje się po lewej stronie prostej o równaniu x równa się minus jeden przecinek pięć. Trzeci przedział znajduje się pod prostą o równaniu y równa się minus dwa x minus pięć.

R1LjsvhFLlegt3

Ćwiczenie 31

R5SW6x5ygjWQx3

Ćwiczenie 32

Słownik

wykres równania

zbiór wszystkich punktów o współrzędnych $(x, y)$ , które spełniają dane równanie

izometria płaszczyzny

przekształcenie płaszczyzny, które dowolnym punktom $X$ i $Y$ przyporządkowują takie punkty $X'$ i $Y'$ , dla których odległość $X'$ od $Y'$ jest równa odległości $X$ od $Y$

inwolucja

takie przekształcenie płaszczyzny, które jest odwrotne samo do siebie

złożenie przekształceń

przekształcenie, które można rozpatrywać jako wykonanie dwóch (lub więcej) przekształceń jedno po drugim

przekształcenie płaszczyzny

funkcja, która punktom pewnej płaszczyzny przyporządkowuje punkty tej samej płaszczyzny

5. Wzajemne położenie dwóch okręgów

M_R_W21_M2 Okrąg i prosta w układzie współrzędnych