9. Przykłady zasady zachowania energii mechanicznej

Zasada zachowania energiizasada zachowania energiiZasada zachowania energii mechanicznej to jedno z podstawowych praw fizycznych. Została sformułowana już w $\text{XVIII}$ wieku. Zakłada ona, że wartości energii mogą się zmieniać, ale całkowita energia pozostaje stała, jeśli żadne siły zewnętrzne nie wykonują pracy nad rozpatrywanym układem ciał. Energia może zmieniać swoją formę i przekształcać się np. z kinetycznej w potencjalną. Jaki wpływ na energię ciał mają zderzenia sprężyste i niesprężyste? Dowiesz się z tego materiału.

Przeczytaj

Do tej pory poznałeś podstawowe rodzaje energii mechanicznej – energię kinetyczną i potencjalną. Energia kinetyczna związana jest z ruchem ciała i zależy od jego prędkości. Energia potencjalna może być energią potencjalną grawitacji – zależna jest wtedy od względnego położenia ciała i wynika z działania siły grawitacji – lub energią potencjalną sprężystości – wynika wtedy z działania siły sprężystości. Wyrażamy je następującymi wzorami:

• energia kinetyczna:

  $$E_{\mathrm{k}}=\frac{m·v^2}{2}$$

  gdzie: $m$ – masa, $v$ – prędkość;

• energia potencjalna grawitacji:

  $$E_{\mathrm{pg}}=m·g·h$$

  gdzie: $m$ – masa, $g$ – przyspieszenie ziemskie, $h$ – wysokość;

• energia potencjalna sprężystości:

  $$E_{\mathrm{ps}}=\frac{k·x^2}{2}$$

  gdzie: $k$ – współczynnik sprężystości, $x$ – odkształcenie ciała.

Energie te mogą przechodzić jedna w drugą, ale energia mechaniczna całego układu jest zachowana zgodnie z zasadą zachowania energii.

R3wPGSHgNp19U

Ilustracja składa się z dwóch części. W części górnej widoczna jest dłoń z młotkiem, którym wbijany jest w płaską poziomą powierzchnię gwóźdź. Obrazek pierwszy. Energia potencjalna. Dłoń trzyma młotek w górze. Poniżej gwóźdź wystający z powierzchni. Obrazek drugi. Energia kinetyczna. Dłoń z młotkiem opada, główką młotka w kierunku gwoździa. Obrazek trzeci. Energia mechaniczna. Główka młotka uderza w gwóźdź. W dolnej części łucznik strzelający z łuku. Pierwszy obrazek. Energia potencjalna. Łucznik trzyma łuk z założoną strzałą i napiętą cięciwą. Drugi obrazek. Energia kinetyczna. Łucznik puścił cięciwę, strzała leci.

Zderzenie jest pojęciem powszechnie używanym w życiu codziennym. Pełni ono ważną rolę również w fizyce. Zderzenie to zjawisko występujące, gdy jedno ciało będące w ruchu styka się gwałtownie z innym ciałem. Nie wszystkie takie oddziaływania są jednakowe i mogą mieć zupełnie inny charakter. Efektem zderzenia może być rozpadnięcie się ciała na wiele elementów, dwa ciała mogą połączyć się w jedno lub ciała mogą odbijać się od siebie. Wyróżnia się zderzenia sprężyste i niesprężyste oraz centralne i niecentralne.

Zderzenie centralne to takie, w którym środki mas zderzających się ciał pozostają na prostej zarówno przed jak i po zderzeniu. Zderzenie niecentralne to takie, w wyniku którego przynajmniej jedno ciało zmienia kierunek swojego ruchu. Zderzenie niecentralne nazywane jest rykoszetem.

R1Anq6sgk9Ol1

Ilustracja składa się z dwóch części. W pierwszej części zderzenie centralne. Dwie kule o masach em jeden i em dwa, poruszające się z prędkościami odpowiednio fał jeden i fał dwa zderzają się. Ich środki mas znajdują się na tej samej prostej co wektory prędkości. Wektor fał jeden skierowany jest do środka kuli em dwa. Wektor fał dwa skierowany jest do środka kuli em jeden. W drugiej części zderzenie niecentralne. Dwie te same kule, z tymi samymi prędkościami, zderzają się. Ich środki i wektory prędkości tym razem nie leżą na tej samej prostej.

Na czym zatem polega sprężystość zderzeń? Sprężystość jest to właściwość ciał, która polega na przeciwstawianiu się efektowi odkształcenia czyli powracaniu do pierwotnego kształtu i rozmiaru po usunięciu działającej na ciało siły. Wiele materiałów posiada właściwości elastyczne np. guma, ale nawet takie jak stal, drewno czy kryształy. Sprężystość jest wprost proporcjonalna do siły, jaką ciało może wytrzymać bez uszkodzenia lub trwałej zmiany kształtu. Sprężystość może zależeć od wielu czynników jak temperatura (zwykle wzrost temperatury powoduje zmniejszenie sprężystości danego materiału) czy sama struktura lub zanieczyszczenia materiału. Elastyczność ciał można tez modyfikować przez odpowiednią obróbkę.

W zależności zatem od zderzających się ciał zderzenia mogą być sprężyste lub niesprężyste. Bez względu na rodzaj zderzenia spełniona jest zasada zachowania pęduzasada zachowania pęduzasada zachowania pędu dla układu ciał. Oznacza to, że pęd układu przed zderzeniem jest taki sam jak po zderzeniu. Dla przypomnienia pęd wyrażany jest jako iloczyn masy $m$ i prędkości $v$ ciała:

Występuje wtedy zarówno zachowanie pędu jak i energii kinetycznej. Oznacza to, że nie występuje żadna siła, która powodowałaby zmianę energii. Zasada ta spełniona jest tylko dla zderzeń doskonale sprężystych. W tym przypadku nie ma strat energii kinetycznej. Zderzenia jakie znamy z otaczającego nas świata nie są doskonale sprężyste, następuje rozproszenie pewnych ilości energii.
Zderzenie, w którym energia kinetyczna zmienia się w inny rodzaj energii podczas tego zderzenia lub rozprasza się, jest zderzeniem niesprężystym. Należy tutaj wyróżnić zderzenie doskonale niesprężyste, w którym ciała po zderzeniu łączą się i poruszają dalej razem.

Przykład 2

Oblicz prędkość jaką uzyska wózek sklepowy o masie $7 \mathrm{kg}$ po wskoczeniu do niego chłopca o masie $50 \mathrm{kg}$, biegnącego z prędkością $4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

R1RgTa1x0UMYC

Ilustracja składa się z dwóch części. W pierwszej części sytuacja przed zderzeniem. Postać idzie w kierunku deski z kółkami. W drugiej części sytuacja po zderzeniu. Postać stoi na poruszającej się desce z kółkami. Deska porusza się w tym samym kierunku, w którym szła postać.

Rozwiązanie:
Sytuację można rozpatrywać jako zderzenie chłopca z wózkiem. W tej sytuacji zadziała zasada zachowania pędu. Pęd przed zderzeniem posiadał tylko chłopiec, po zderzeniu pęd posiadają połączone masy chłopca i wózka, a zatem:
$m_{\mathrm{ch}}·v_1=\left(m_{\mathrm{ch}}+m_{\mathrm{w}}\right)·v_2$
gdzie:
$m_{\mathrm{ch}}=50 \mathrm{kg}$
$m_{\mathrm{w}}=7 \mathrm{kg}$
$v_1=4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
$v_2$ to szukana prędkość wózka z chłopcem.
Po podstawieniu:
$50 \mathrm{kg}·4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(50 \mathrm{kg}+7 \mathrm{kg}\right)·v_2$
$v_2=\frac{50 \mathrm{kg}·4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{50 \mathrm{kg}+7 \mathrm{kg}}=3,51 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Przykład 3

Udowodnij, że opisane poniżej zderzenie jest zderzeniem sprężystym.

Piłka o masie $4 \mathrm{kg}$ porusza się z prędkością $1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ i zderza się z piłką o masie $2 \mathrm{kg}$ poruszającą się z prędkością $2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$. Po zderzeniu prędkość pierwszej piłki wynosi $\frac{5}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, a drugiej piłki $\frac{2}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

RzJBIwVyUQGdT

Ilustracja składa się z dwóch części. Na pierwszej części sytuacja przed zderzeniem. Dwie kule o masach em jeden i em dwa, poruszające się z prędkościami odpowiednio fał jeden i fał dwa, zderzają się. Ich środki mas znajdują się na tej samej prostej co wektory prędkości. Wektory prędkości fał jeden i fał dwa skierowane są w prawo. Wektor fał jeden jest dłuższy od wektora fał dwa. Na drugiej części sytuacja po zderzeniu. Dwie te same kule. Kula em jeden ma prędkość u jeden kula em dwa ma prędkość u dwa, a ich środki cały czas są na tej samej prostej. Wektory prędkości u jeden i u dwa skierowane są w prawo. Wektor u jeden jest krótszy od wektora u dwa.

Rozwiązanie:
Zderzenie sprężyste to takie, w którym zachowana jest energia kinetyczna, a zatem:
$E_{\mathrm{K} \text{przed}}=E_{\mathrm{K} \text{po}}$
$E_{\mathrm{K} \text{przed}}=\frac{m_1·{v_1}^2}{2}+\frac{m_2·{v_2}^2}{2}$
$E_{\mathrm{K} \text{po}}=\frac{m_1·{u_1}^2}{2}+\frac{m_2·{u_2}^2}{2}$
gdzie:
$m_1$ – masa pierwszej piłki
$m_2$ – masa drugiej piłki
$v_1$ – prędkość pierwszej piłki przed zderzeniem
$v_2$ – prędkość drugiej piłki przed zderzeniem
$u_1$ – prędkość pierwszej piłki po zderzeniu
$u_2$ – prędkość drugiej piłki po zderzeniu.
Po podstawieniu:
$E_{\mathrm{K} \text{przed}}=\frac{4 \mathrm{kg}·{\left(1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2}+\frac{2 \mathrm{kg}·{\left(2 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2}=2 \mathrm{J}+4 \mathrm{J}=6 \mathrm{J}$ $E_{\mathrm{K} \text{po}}=\frac{4 \mathrm{kg}·{\left(\frac{5}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2}+\frac{2 \mathrm{kg}·{\left(\frac{2}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2}=\frac{50}{9} \mathrm{J}+\frac{4}{9} \mathrm{J}=\frac{54}{9} \mathrm{J}=6 \mathrm{J}$

Podsumowując, kiedy ciała przylegają do siebie po zderzeniu, to zderzenie jest doskonale niesprężyste. Jeśli ciała nie połączyły się, to rodzaj zderzenia możemy opisać, jeśli określimy czy początkowa energia kinetyczna jest taka sama jak końcowa. Jeśli jest taka sama, to zderzenie jest doskonale sprężyste. Jeśli energia kinetyczna zmieniła się, to zderzenie jest niesprężyste. Jeżeli nie ma udziału sił zewnętrznych, to pęd jest zachowany w tych przypadkach.

W otaczającym nas świecie możemy spotkać się z wieloma przykładami zderzeń. Począwszy od sprężystych zderzeń między atomami, zderzeń bil podczas gry w bilard, czy kozłowaniu piłki, po niesprężyste zderzenia pojazdów. Podczas zderzeń występują straty energii, ale często nie są one duże, a zderzenia takie można traktować jak doskonale sprężyste.

Wiedza na temat zderzeń wykorzystywana jest w wielu dziedzinach nauki, w tym także w balistyce, do analizy ruchu pocisku. Stosuje się często urządzenie zwane wahadłem balistycznym. Pocisk jest wystrzeliwany w zawieszony drewniany, nieruchomy blok. Pewne ilości energii kinetycznej zamieniane są w ciepło i dźwięk podczas wystrzału, a pozostała część jest wykorzystywana do deformacji drewnianego bloku. Jest to zderzenie niesprężyste, w którym pęd jest zachowany. Dzięki temu po zderzeniu blok odchyla się. Innym sposobem zastosowania zderzeń w balistyce jest badanie toru pocisku w specjalnym żelu balistycznym. Energia kinetyczna pocisku jest w tym przypadku wytracana po zderzeniu z żelem.

RBlU0bvCdM8dL

Fotografia przedstawia żel balistyczny podczas przelotu przez niego kuli. Żel ma formę dużego, półprzezroczystego prostopadłościanu. Na jego ścianie widać podłużne wybrzuszenie z pęknięciem na końcu, od którego odrywają się fragmenty substancji.

Wiedza o zderzeniach oraz zasada zachowania pędu i energii, znajduje swoje zastosowanie w analizie sportów. Oczywistym jest tutaj gra w bilard, która polega na zderzeniach kul i zmianach ich energii i prędkości. Możemy jednak pójść krok dalej i opisać w ten sposób nawet jazdę na deskorolce. Jazda zaczyna się od wejścia, wskoczenia na deskę, jest to więc rodzaj zderzenia niesprężystego, w wyniku którego dwa ciała zaczynają poruszać się razem. Podczas jazdy w skateparku [skejtpak] na tzw. halfpipe [hafpajp] (dwustronna rampa do wyskoków w kształcie litery U) następują dla odmiany ciągłe zmiany energii potencjalnej na kinetyczną i kinetycznej na potencjalną, dzięki czemu zawodnik może wyskoczyć ponad halfpipe i wykonać triki. Energia potencjalna zawodnika zależy od wysokości na jakiej się on znajduje - im jest wyżej, tym więcej ma energii potencjalnej. Zaczynając ruch na wysokości, zawodnik nie ma jeszcze energii kinetycznej, a dopiero zacznie ją zyskiwać jadąc w dół. Traci on wtedy energię potencjalną nabierając prędkości. Jego energia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną. Po dotarciu do środka na dnie halfpipe’a, traci on całą energię potencjalną (przy założeniu, że znajduje się tam poziom zero), ale zyskuje dużo energii kinetycznej – posiada więc dużą prędkość. Dzięki temu zawodnik może wjechać na drugą stronę halfpipe’a i wyskoczyć w górę w celu wykonania trików. Podstawą jazdy jest zatem zasada zachowania energii – całkowita ilość energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się, ale mogą być wzajemnie w siebie przekształcone. Oczywiście podczas jazdy na deskorolce zawodnik traci trochę energii na skutek tarcia kółek o podłoże. Z tego powodu jazda na deskorolce w górę i w dół halfpipe’a nie jest samoczynna i wymaga często dołożenia energii przez odepchnięcie się zawodnika.

Zasada zachowania energii czy energia zachowania pędu i zderzenia są powszechne i w mniejszej lub większej skali występują wokół nas.

Analiza ruchu

Poniższe multimedium służy do symulacji zderzeń centralnych sprężystych i niesprężystych. Po wyborze rodzaju zderzenia, stosunku mas kulek oraz stosunku ich prędkości zobaczysz, jak dobór tych parametrów wpływa na zachowanie kulek.

R1dezVX7k7gYs

Symulacja interaktywna dotycząca zasady zachowania energii.

Symulacja interaktywna dotycząca zasady zachowania energii.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P92Pdnqqe

Analiza ruchu – ciąg dalszy

Poniższe multimedium służy do zobrazowania wpływu masy na ruch ciał. Zobaczysz, jak dobór tych parametrów wpływa na zachowanie ciał.

Zadania

Słownik