Z informacji o polu przekroju wyznacz jedną z niewiadomych i wstaw do równania na pole podstawy.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

R1XHcadOl2LZY

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o dolnej podstawie $ABCD$, oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek $A\text{'}$, nad B znajduje się $B\text{'}$ i tak dalej. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h. Wierzchołki A prim, B prim, D i C, połączono, w taki sposób, że powstał przekrój prostopadłościanu, którego płaszczyznę stanowi prostokąt. $\angle BCB\text{'}$ oznaczono alfa.

$a$ - długość krawędzi podstawy prostopadłościanu

$h$ - wysokość prostopadłościanu

$p$ - długość przekątnej ściany bocznej

Wtedy $P_{\text{śb}}=a·h$ oraz $P_{\text{przekroju}}=a·p$

Podstawiając wartości z treści zadania

$a·p=72$ czyli $a=\frac{72}{p}$

Wstawiając tę zależność do równania $a·h=36\sqrt{3}$ otrzymujemy

$\frac{72}{p}·h=36\sqrt{3}/:72$

$\frac{h}{p}=\frac{36\sqrt{3}}{72}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Z drugiej strony $\frac{h}{p}=\sin \alpha$, zatem $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, a więc $\alpha =60°$.

Zaznacz kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy oraz oblicz wysokość trójkąta $BCD$.

Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

R2HcO2M1g0ehm

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o dolnej podstawie $ABCD$, oraz górnej $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek $A\text{'}$, nad B znajduje się $B\text{'}$ i tak dalej. . Długość krawędzi $AB$ podstawy wynosi dwanaście, długość krawędzi $BC$ podstawy wynosi pięć, natomiast długość krawędzi bocznej $CC\text{'}$ wynosi sześć. Wierzchołki B, G, $C\text{'}$, połączono, w taki sposób, że powstał przekrój prostopadłościanu, którego płaszczyznę stanowi trójkąt. Z wierzchołka $C\text{'}$ poprowadzono wysokość trójkąta, której spodek leży w punkcie L. Zaznaczono wysokość trójkąta $BCD$ o długości x. Zaznaczono $\angle CLC\text{'}$, który stanowi kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy i oznaczono go alfa.

$h$ - wysokość prostopadłościanu

$x$ - wysokość trójkąta $BCD$ padająca na przeciwprostokątną

Z twierdzenia Pitagorasa: $5^2+{12}^2={\left|BD\right|}^2$, zatem $\left|BD\right|=13$.

Przyrównując wzory na pole trójkąta $BCD$: $\frac{1}{2}·5·12=\frac{1}{2}·13·x$, stąd $x=\frac{60}{13}$.

$tg\alpha =\frac{h}{x}$

$h=x·tg\alpha =\frac{60}{13}·\frac{13}{10}=6$.

Wysokość graniastosłupa wynosi $6$.