Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, w którym pokazane jest, jak zastosować regułę równoliczności.

RSIai5FdJ4Df7

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1FsJXG5i

Film nawiązujący do treści materiału na temat liczby elementów zbioru skończonego oraz zasady równoliczności .

Polecenie 2

Korzystając z omówionego przykładu rozwiąż samodzielnie następujące zadanie.

Rozpatrzmy rzut czterema symetrycznymi kostkami sześciennymi do gry, z których każde dwie mają inne kolory.

Wykaż, że takich wyników, w których wypadła suma liczb oczek większa niż szesnaście jest tyle samo, co wyników, w których wypadła suma liczb oczek mniejsza niż dwanaście.

Kostki odróżniają się od siebie, zatem możemy ustalić porządek (według uznania), w którym będziemy podawali wyniki rzutu określonego w treści zadania.

W ten sposób każdy wynik rzutu czterema symetrycznymi kostkami sześciennymi do gry zanotujemy jako czteroelementowy ciąg $(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4})$ , gdzie

$k_{1}$ – liczba oczek otrzymanych na pierwszej kostce,

$k_{2}$ – liczba oczek otrzymanych na drugiej kostce,

$k_{3}$ – liczba oczek otrzymanych na trzeciej kostce,

$k_{4}$ – liczba oczek otrzymanych na czwartej kostce

oraz $k_{i} = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ dla $i = 1, 2, 3, 4$ .

Rozpatrzmy funkcję

$f (k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}) = (7 - k_{1}, 7 - k_{2}, 7 - k_{3}, 7 - k_{4})$ ,

która każdemu wynikowi $(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4})$ rzutu czterema kostkami przypisuje wynik $(7 - k_{1}, 7 - k_{2}, 7 - k_{3}, 7 - k_{4})$

W ten sposób wzajemnie jednoznacznie przypisaliśmy wyniki w następujących parach:

$1 \leftrightarrow 6$ : wypadło jedno oczko ↔ wypadło sześć oczek,

$2 \leftrightarrow 5$ : wypadły dwa oczka ↔ wypadło pięć oczek,

$3 \leftrightarrow 4$ : wypadły trzy oczka ↔ wypadły cztery oczka.

Zatem dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $W$ wszystkich wyników rzutu czterema odróżnialnymi symetrycznymi kostkami sześciennymi oraz zbiorem wartości funkcji $f$ jest ten sam zbiór $W$ wszystkich wyników rzutu czterema odróżnialnymi symetrycznymi kostkami sześciennymi.

Oznacza to, że funkcja $f$ przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór $W$ na zbiór $W$ .

Oznaczmy przez $A$ podzbiór zbioru $W$ opisujący wszystkie wyniki spełniające warunek „wypadła suma liczba oczek większa niż szesnaście”.

Wobec tego dla każdej czwórki $(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4})$ ze zbioru $A$ prawdziwa jest nierówność

$k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4} > 16$

Korzystając z reguły równoliczności stwierdzamy, że jest ich tyle samo, co rozwiązań nierówności

$(7 - k_{1}) + (7 - k_{2}) + (7 - k_{3}) + (7 - k_{4}) > 16$

Ta nierówność jest równoważna kolejno nierównościom

$28 - (k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4}) > 16$

$28 - 16 > (k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})$

$k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4} < 12$

Wobec tego wyników, w których wypadła suma liczb oczek większa niż szesnaście jest tyle samo, co wyników, w których wypadła suma liczb oczek mniejsza niż dwanaście.

Przeczytaj

Sprawdź się