Bryły obrotowe - walec - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Bryły obrotowe – walec

Bryły obrotowe powstają w wyniku obrotu figury płaskiej dookoła prostej będącej osią obrotu.

W tym materiale zajmiemy się jedną z brył obrotowych, zwaną walcem.

Walec

Definicja: Walec

Walec to bryła, która powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków tego prostokąta.

Zapoznaj się z poniższymi apletami, które przedstawiają walec i jego elementy.

RGGdRboYNt98f11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZdTQxNlsZeoZ11

W rozważonej bryle obrotowej istnieje kilka ważnych elementów, które powinniśmy zdefiniować i wyjaśnić.

Pierwszą definicją jest oś obrotu, która jest przerywaną prostą przechodzącą przez środki kół, które są odpowiednio górną i dolną podstawą walca.

Wiadomo, że każda koło posiada promień. Zatem promieniem podstawy walca będziemy nazywać promień koła w podstawie. Podobnie postępujemy ze zdefiniowaniem średnicy podstawy walca, która jest również średnicą koła w podstawie.

Tworzącą walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca, zawarte w płaszczyźnie bocznej walca.

Wysokością walca jest każdy odcinek o końcach należących do podstaw walca i prostopadły do tych podstaw. W szczególności każda tworząca walca jest jego wysokością.

Powierzchnię boczną walca jest prostokąt, który jest owinięty wokół podstaw walca o tych samych promieniach. Wynika z tego, że jeden bok ściany bocznej jest równy wysokości walca, a drugi bok to długość okręgu w podstawie.

Prostokąt zawarty w walcu, którego jeden bok ma długość wysokości walca, a drugi jest równy średnicy koła w podstawie oraz pionową osią symetrii jest oś obrotu nazywamy przekrojem osiowym walca . Poprowadzona przekątna powstałego prostokąta to przekątna przekroju osiowego. Kąt pomiędzy przekątną, a średnicą podstawy nazywamy kątem nachylenia przekątnej przekroju osiowego do płaszczyzny podstawy.

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe:

P_{c} = 2 P_{P} + P_{b} = 2 \cdot π r^{2} + 2 π r \cdot H = 2 π r (r + H)

Objętość walca jest równa:

V = π r^{2} H

Przykład 1

Oblicz objętość walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości $12 cm$ i $16 cm$ wokół dłuższego boku.

R1CtzXzE29b5z1

Rozwiązanie:

Z podanej treści zadania wynika, że dłuższy bok prostokąta zawiera w sobie oś obrotu.

Obracając prostokątem zgodnie ze wskazówkami zegara wokół osi obrotu powstaje walec o wysokości $H = 16 cm$ oraz promieniu $r = 12 cm$ .

Skorzystamy ze wzoru na objetość walca $V = π \cdot r^{2} \cdot H$ . Zatem $V = 12^{2} \cdot 16 \cdot π = 2304 ({cm}^{3})$ .

Zapoznaj się z poniższymi animacjami, które przedstawiają różne przekroje walca.

ReTKpOdbvlLTS1

Przekroje walca, w zależności od tego jak zostaną poprowadzone, mogą przyjmować różne kształty.

Jeżeli przekrój poprowadzimy pod kątem do podstawy walca, będzie przyjmował on kształt elipsy.
Jeżeli przekrój poprowadzimy równolegle do podstawy walca, będzie przyjmował on kształt okręgu, który znajduje się w podstawie walca.
Jeżeli przekrój poprowadzimy prostopadle do podstawy walca, będzie przyjmował on kształt prostokąta.

Przykład 2

Przekrój osiowy walca jest kwadratem, którego przekątna jest równa $24 \sqrt{6}$ . Oblicz objętość walca.

RACe242bVkIcF1

Rozwiązanie:

Z poznanej wcześniej definicji przekroju osiowego wiemy, że boki kwadratu zawierają w wysokości oraz średnicy walca. W takim razie rozwiązanie musimy rozpocząć od wyznaczenia boku kwadratu.

Wiemy, że przekątna kwadratu wynosi $24 \sqrt{6}$ . Przypomnijmy sobie wzór na przekątną kwadratu, czyli $d = a \sqrt{2}$ . Zatem $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{24 \sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 24 \sqrt{3}$ .

Wynika stąd, że $H = 24 \sqrt{3}$ . Długość boku kwadratu jest równa średnicy. W taki razie $r = \frac{a}{2} = 12 \sqrt{3}$ .

Skorzystamy ze wzoru na objetość walca $V = π \cdot r^{2} \cdot H$ . Zatem $V = {(12 \sqrt{3})}^{2} \cdot 24 \sqrt{3} \cdot π = 10368 π \sqrt{3} ({cm}^{3})$

Zapoznaj się z poniższymi animacjami, które przedstawiają siatkę walca.

RsAeA0MYRrPgI1

RQZrDj9qZt1Oa1

Walec jest trójwymiarową bryłą. Składa się z dwóch podstaw, które są takimi samymi kołami oraz z powierzchni bocznej. Walec możemy rozłożyć na płasko, uzyskując siatkę składającą się z dwóch kół oraz z prostokąta. Układ siatki nie jest przypadkowy. Nie zawsze dwa koła i prostokąt będą tworzyć siatkę ostrosłupa. Przykład konstrukcji siatki przedstawimy poniżej.
Weźmy koło, które stanowi podstawę stożka. Do jego krawędzi przylega prostokąt w taki sposób, że styka się on z kołem bokiem, którego długość jest równa obwodowi koła w podstawie. Drugie koło przylega do drugiego boku tego prostokąta o tej samej długości.

Przykład 3

Objętość walca jest równa $729 π {cm}^{3}$ , a średnica podstawy walca jest $2$ razy dłuższa od jego wysokości. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

RNGvkOUBTLPGZ1

Rozwiązanie:

Wzór na objetość walca jest następującej postaci $V = π \cdot r^{2} \cdot H$ .

Z treści wynika, że $729 π = π \cdot r^{2} \cdot H$ , czyli $r^{2} \cdot H = 729$ .

Wiadomo również, że $2 r = 2 H$ , czyli $r = H$ .

Po wstawieniu do wcześniej wyznacoznego równania dostajemy, że $r^{2} \cdot r = 729$ , więc $r^{3} = 729$ . Wynika stąd, że $r = 9 c m$ . Zatem również $H = 9 c m$ .

Pole powierzchni całkowitej wyznaczamy za pomocą wzoru $P_{c} = 2 π \cdot r (r + H) = 2 π \cdot 9 \cdot (9 + 9) = 324 π ({cm}^{2})$ .

Przykład 4

Powierzchnia boczna walca jest kwadratem o przekątnej długości $8 \sqrt{2} cm$ . Oblicz objętość tego walca.

R1OLpWY6lmls81

Rozwiązanie:

Wiadomo, że przekątna kwadratu jest równa $d = 8 \sqrt{2} cm$ zatem bok kwadratu jest równy $a = 8 cm$ .

Jeden z boków kwadratu jest równy wyskości walca, zatem $H = 8 cm$ . Drugi z boków stanowi obwód koła, które jest podstawą walca.

Wynika z tego, że $2 π r = 8$ , czyli $r = \frac{4}{π}$ .

Obliczamy objetość walca $V = π \cdot r^{2} \cdot H = π \cdot {(\frac{4}{π})}^{2} \cdot 8 = \frac{128}{π^{2}} {cm}^{2}$ .

Przykład 5

Podstawą walca jest koło o średnicy $12 \sqrt{3} dm$ . Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

R1Gcayatw1sza1

Rozwiązanie:

Podstawą walca jest koło o średnicy $12 \sqrt{3} dm$ , czyli $2 r = 12 \sqrt{3}$ . Wynika stąd, ze promień jest równy $r = 6 \sqrt{3} (dm)$ .

Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym otrzymujemy, że $tg 60 ° = \frac{H}{2 r}$ , czyli $\sqrt{3} = \frac{H}{12 \sqrt{3}}$ .

Wynika z tego, że $H = 36 (dm)$ .

Pole powierzchni całkowitej wyznaczamy ze wzoru $P_{b} = 2 π \cdot r H = 2 π \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 36 = 432 π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 1

R1T4HlzCSorE9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość walca jest równa $H = 12 cm$ . Promień podstawy walca jest równy $r = 9 cm$ . Wynika z tego, że objętość walca jest równa $V = π r^{2} \cdot H = 81 π \cdot 12 = 972 π ({cm}^{3})$ . Pole powierzchni całkowitej walca jest równe $P_{c} = 2 π r (r + H) = 2 π \cdot 9 (9 + 12) = 378 π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 2

R1UccoujdZYqA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość walca jest równa $H = 16 cm$ .

Promień podstawy walca jest równy $r = 16 cm$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej walca jest równe

$P_{c} = 2 π r (r + H) = 2 π \cdot 16 (16 + 16) = 1024 π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 3

RrTzGQvKhlzjA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość drugiego boku prostokąta:

$5^{2} + x^{2} = 13^{2} \Rightarrow x = 12$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokość tego walca jest równa $12 cm$ . Zatem $V = π \cdot 5^{2} \cdot 12 = 300 π ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 4

R1JkPNoq6Tbmi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przekątna przekroju osiowego razem z średnicą podstawy i wysokością walca tworzy trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ .

Korzystając z własności trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ otrzymujemy, że średnica walca ma długość $3 \sqrt{3} cm$ , stąd promień ma długość $\frac{3}{2} \sqrt{3} cm$ oraz wysokość walca jest równa $9 cm$ .

Zatem

$V = π \cdot {(\frac{3}{2} \sqrt{3})}^{2} \cdot 9 = \frac{243}{4} π ({cm}^{3})$ ,

$P_{c} = 2 π \cdot \frac{3}{2} \sqrt{3} \cdot (\frac{3}{2} \sqrt{3} + 9) = (\frac{27}{2} + 27 \sqrt{3}) π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 5

RRxjaaHySM2sq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że $P_{b} = 2 π r \cdot H \Rightarrow 112 π = 2 π r \cdot 14 \Rightarrow r = 4 (cm)$ . Zatem objętość tego walca jest równa :

$V = π \cdot 4^{2} \cdot 14 = 224 π ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 6

RLF9j13IXUexU

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skoro przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu $180 {cm}^{2}$ , to promień walca ma długość $3 \sqrt{5} cm$ , a jego wysokość jest równa $6 \sqrt{5} cm$ .

Zatem

$V = π \cdot {(3 \sqrt{5})}^{2} \cdot 6 \sqrt{5} = 270 \sqrt{5} π ({cm}^{3})$ ,

$P_{c} = 2 π \cdot 3 \sqrt{5} \cdot (3 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5}) = 270 π ({cm}^{2})$ .

Ćwiczenie 7

Rx53HA7yz0E8H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że $P_{p} = π r^{2} \Rightarrow 18 π = π r^{2} \Rightarrow r = 3 \sqrt{2} (cm)$ .

Skoro pole podstawy walca jest równe $18 π {cm}^{2}$ i stanowi $30 %$ pola powierzchni bocznej , to $P_{b} = 60 π ({cm}^{2})$ .

Ponadto

$P_{b} = 2 π r \cdot H \Rightarrow 60 π = 2 π \cdot 3 \sqrt{2} \cdot H \Rightarrow H = 5 \sqrt{2} (cm)$ .

Stąd otrzymujemy, że objętość tego walca jest równa

$V = 18 π \cdot 5 \sqrt{2} = 90 \sqrt{2} π ({cm}^{3})$ .

Ćwiczenie 8

Rv3BmmuCdsN5e

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Objętość tego naczynia jest równa

$V = 4^{2} \cdot π \cdot 15 = 240 π ({cm}^{3}) \approx 753, 6 ({cm}^{3})$ .

Woda zajmuje $753, 6 \cdot 0, 8 = 602, 88 ({cm}^{3})$ , zatem pozostało $753, 6 - 602, 88 = 150, 72 ({cm}^{3})$ na kostki lodu.

Objętość jednej kostki wynosi $V = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ({cm}^{3})$ . Zauważmy, że $150, 72 : 8 = 18, 84$ . Zatem w podanym naczyniu zmieści się jeszcze $18$ kostek lodu.

Ćwiczenie 9

R1WJBkcAYvIAx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6MEUkFa0Ekm2

H = 9 c m

r = 4 c m

Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 63 π (c m^{3})

, 2.

V = 5 π (c m^{3})

, 3.

V = 144 π (c m^{3})

, 4.

V = 8 π (c m^{3})

H = 2 c m

r = 2 c m

Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 63 π (c m^{3})

, 2.

V = 5 π (c m^{3})

, 3.

V = 144 π (c m^{3})

, 4.

V = 8 π (c m^{3})

H = 7 c m

r = 3 c m

Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 63 π (c m^{3})

, 2.

V = 5 π (c m^{3})

, 3.

V = 144 π (c m^{3})

, 4.

V = 8 π (c m^{3})

H = 5 c m

r = 1 c m

Możliwe odpowiedzi: 1.

V = 63 π (c m^{3})

, 2.

V = 5 π (c m^{3})

, 3.

V = 144 π (c m^{3})

, 4.

V = 8 π (c m^{3})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RXbPAIRGV9FvQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SQOZZCvkeHQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

RKZLbGeQH39aD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIlyWAbCSE0BR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.