Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale zawarte są informacje na temat brył obrotowych. Poznasz podstawowe definicje i przykłady brył obrotowych. Dowiesz się jak wyznaczyć przekrój osiowy i przekrój poprzeczny w tego typu bryłach.

Oś obrotu
Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej p, zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą p nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

RMivYwVKPNvOv11
Aplet przedstawia konstrukcję różnych brył obrotowych. Tworzymy w przestrzeni płaszczyznę alfa. Wybieramy na niej punkt O i prowadzimy przez ten punkt odcinek OW prostopadły do płaszczyzny alfa. Na płaszczyźnie alfa kreślimy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu. Na okręgu wybieramy punkt P, który przesuwając po okręgu. Przez odcinek OW i punkt P przeprowadzamy płaszczyznę beta, którą można obracać wokół odcinka OW. Na płaszczyźnie beta umieszczamy trzy odcinki różnie położone względem osi obrotu OW. Jeden u równoległy do osi obrotu, drugi v prostopadły do osi obrotu i trzeci w nachylony pod pewnym kątem do osi OW. Obracając płaszczyzną beta odcinki zakreślają w przestrzeni ślad, każdy z nich inny. W wyniku obracania tych odcinków otrzymujemy trzy różne figury obrotowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RNupMyc0BbUvK11
Aplet przedstawia konstrukcję, która pozwala na tworzenie dowolnych brył obrotowych, tak zwaną maszynkę do tworzenia brył obrotowych. Jej działanie jest podobne do tworzenia rozmaitych kształtów obrotowych na kole garncarskim. Garncarz w wyniku obrotu wokół pionowej osi kształtuje kawałek gliny w różne kształty obrotowe, np.: doniczki, dzbanki. Kreślimy na płaszczyźnie XY okrąg o środku w punkcie O i współrzędnych (0, 0), który przechodzi przez punkt na osi OX Na okręgu obieramy dowolny punkt P i przesuwamy go po okręgu. Prowadzimy płaszczyznę przez oś OZ i punkt P. Kreślimy w płaszczyźnie łamaną dowolnego kształtu. Łamana tworzy ślady, otrzymujemy różne bryły obrotowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 1
RObJFJGe1NDma1
Animacja pokazuje w jaki sposób wyrabia się naczynia gliniane i jakie figury tworzą takie naczynia.

Przykłady brył obrotowych.

R1ScA4gulI5xZ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGb9fRqH1pVK611
Aplet przedstawia konstrukcję stożka przy wykorzystaniu maszynki do robienia brył obrotowych. Na płaszczyźnie układamy trzy odcinki w kształcie trójkąta, którego najdłuższy bok zawarty jest w osi obrotu. Obracając wokół osi obrotu otrzymujemy stożek. Następnie tworzymy prostokąt. Obracając go wokół dłuższego boku otrzymujemy walec.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Przez całą noc padał deszcz i beczka na deszczówkę została napełniona w połowie. Beczka ma wysokość 1,4 m. Jej średnica w najszerszym miejscu wynosi 1 m, a w najwęższym 80 cm.

Ile litrów wody znajduje się w beczce? Przyjmij, że π=227. Skorzystaj z podanego wzoru na pojemność beczki.

Wzór na pojemność beczki:

V=112πH2d12+d22
  • V – pojemność,

  • H – wysokość beczki,

  • d1 – średnica w najszerszym miejscu,

  • d2 – średnica w najwęższym miejscu.

Mamy podać pojemność beczki w litrach.

Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Zapisujemy więc wymiary beczki w decymetrach.

H=1,4 m=14 dm
d1=1 m=10 dm
d2=80 cm=8 dm.

Beczka napełniona jest w połowie, zatem obliczamy połowę jej pojemności.

12V=12·112πH2d12+d22
12V=124·227·142·102+82
12V=4424·264
12V=484.

W beczce jest 484 l wody.

Przykład 3

Bryła G powstaje w wyniku obrotu figury F wokół prostej p.

ROByJb6HnwYFD1
Animacja 3d pokazuje, że poprzez obrót prostokąta wzdłuż jego krawędzi otrzymamy walec.
Przykład 4

Zaobserwuj, jaka bryła powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych,

RSzO5zNjzr4Q21
Animacja 3d pokazuje, że poprzez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż jego przyprostokątnej otrzymamy stożek.
1
Ciekawostka

Nasza planeta nie ma kształtu idealnej kuli. Na skutek ruchu wirowego (czyli ruchu wokół własnej osi) Ziemia uległa spłaszczeniu przy biegunach. W wyniku tego powstała bryła zwana geoidą (z greckiego: gea – Ziemia, eidos – kształt).

Bryłą najbardziej zbliżoną kształtem do Ziemi jest elipsoida obrotowa.

RiZgXKENJaSxY1
Aplet przedstawia konstrukcję elipsoidy obrotowej. Na płaszczyźnie kreślimy elipsę. Obracając elipsę wokół osi obrotu otrzymujemy elipsoidę obrotową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przekroje brył obrotowych

Figurę płaską, która powstanie po przecięciu bryły płaszczyzną, nazywamy przekrojem tej bryły.

Ważne!

Przekrój osiowy bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

1
Przykład 5
Rq6WvJKOTJVNX1
Aplet przedstawia walec, przecięty płaszczyzną osiową i płaszczyzną poprzeczną. Każdą bryłę obrotową można przeciąć płaszczyzną zawierającą oś obrotu oraz płaszczyzną prostopadłą do tej osi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Określ, jaki kształt mają przekroje narysowanych brył. Jeśli nie wiesz, jak nazywa się dana figura, sprawdź w internecie jej nazwę.

RTHF5m3TyZpNt1
Animacja 3D pokazuje baterię elektryczną. Kreślone są krawędzie – powstaje walec. Następnie przekroje skośne i poprzeczne dzielą walce na dwie bryły.
Przykład 7

Arbuz przekrojono na pół. Otrzymany przekrój jest w kształcie koła o polu 452,16 cm2. Oblicz średnicę tego koła. Przyjmij π=3,14.

Korzystamy ze wzoru na pole koła o promieniu r.

P=πr2
452,16=3,14·r2
r2=144
r=144=12

bo

r>0.

Obliczamy średnicę koła.

2·12 cm=24 cm.

Średnica koła, będąca przekrojem arbuza, jest równa 24 cm.

1
Przykład 8
R1OnrArTUgFiA1
Aplet przedstawia różne bryły obrotowe z zaznaczonymi płaszczyznami poprzecznymi i osiowymi. Otrzymujemy przekroje osiowe i poprzeczne. W wyniku przecięcia walca otrzymujemy koło i prostokąt. W wyniku przecięcia stożka – trójkąt i koło.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
1
Ćwiczenie 1

Narysuj bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej p.

Opisz bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej p.

R1LGdtNIuLTHK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjlSgVukPjnle
2
Ćwiczenie 2

Bryła na rysunku powstała w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej dookoła prostej.

Narysuj tę figurę i tę prostą.

R1ENn5hSHHDvK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18xICQNu0xEG
R1VlMVN2NomRZ
Ćwiczenie 2
Połącz w pary figury z bryłami, które mogą powstać w wyniku obrotu tej figury względem pewnej prostej. Koło Możliwe odpowiedzi: 1. Stożek, 2. Kula, 3. Walec Prostokąt Możliwe odpowiedzi: 1. Stożek, 2. Kula, 3. Walec Trójkąt Możliwe odpowiedzi: 1. Stożek, 2. Kula, 3. Walec
2
Ćwiczenie 3

Naszkicuj przekrój osiowy przedstawionych figur.

R1Pdaf4FaU0KJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Pb5Qe3g5wF5
2
Ćwiczenie 4

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. trójkątem równoramiennym.

  2. trójkątem równobocznym.

RNx6mjrhsmGTi

Opisz bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. trójkątem równoramiennym.

  2. trójkątem równobocznym.

2
Ćwiczenie 5

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. prostokątem,

  2. kwadratem.

R1A3sXZ636b3W

Opisz bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. prostokątem,

  2. kwadratem.

2
Ćwiczenie 6

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

R1SNYm8o8B6h9

Opisz bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

2
Ćwiczenie 7
RdsAvtSEL0u7S
Bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta P wokół jednego z jego boków. Przekątna prostokąta P ma długość 5 i jest nachylona do jego boku pod kątem 60°. Jaką długość ma promień r podstawy tej bryły? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. r =52 lub r =532, 2. r =32 lub r =562, 3. r =52 lub r =562, 4. r =32 lub r =532
R1261DShr74UO2
Ćwiczenie 8
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Bryła, której każdy przekrój poprzeczny jest kołem, jest bryłą obrotową., 2. Sześcian jest bryłą obrotową., 3. Istnieje bryła obrotowa, której przekrój osiowy jest inny niż przekrój poprzeczny.
RpSOgDN2KO6wG1
Ćwiczenie 9
Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
  • Część wspólna bryły obrotowej z płaszczyzną zawierającą oś obrotu to przekrój 1. równoległą, 2. poprzeczny, 3. osiowy, 4. prostopadłą bryły.
  • Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną 1. równoległą, 2. poprzeczny, 3. osiowy, 4. prostopadłą do osi obrotu.
3
Ćwiczenie 10
RlGoby1LrmD43
Arbuz przekrojono na pół. Pole tak otrzymanego przekroju jest w kształcie koła o polu 530,66 cm2. Skóra arbuza ma grubość 2 cm. Oblicz, ile procent pola przekroju stanowi pole powierzchni miąższu arbuza. Przyjmij π=3,14. Wynik zaokrąglij do jednej cyfry po przecinku. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 72%, 2. 74%, 3. 76%, 4. 78%
3
Ćwiczenie 11

Narysuj bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

  1. trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia,

  2. trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy.

R1QHi8zK7JiAt

Opisz bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

  1. trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia,

  2. trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy.

1
Ćwiczenie 12

Narysuj bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

  1. na której leży jeden z boków,

  2. równoległej do dłuższego boku, która leży poza tym bokiem,

  3. równoległej do krótszego boku, która leży poza tym bokiem.

RLJiWNSWAtvCT
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida