Bryły obrotowe - zpe.gov.pl

W tym materiale zawarte są informacje na temat brył obrotowych. Poznasz podstawowe definicje i przykłady brył obrotowych. Dowiesz się jak wyznaczyć przekrój osiowy i przekrój poprzeczny w tego typu bryłach.

Oś obrotu

Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej $p$ , zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą $p$ nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

RMivYwVKPNvOv11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNupMyc0BbUvK11

Przykład 1

RObJFJGe1NDma1

Przykłady brył obrotowych.

R1ScA4gulI5xZ1

Rysunki: pomarańczy, szklanki, pojemnika z jogurtem, balona, bączka do zabawy, śruby. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGb9fRqH1pVK611

Przykład 2

Przez całą noc padał deszcz i beczka na deszczówkę została napełniona w połowie. Beczka ma wysokość $1, 4 m$ . Jej średnica w najszerszym miejscu wynosi $1 m$ , a w najwęższym $80 cm$ .

Ile litrów wody znajduje się w beczce? Przyjmij, że $π = \frac{22}{7}$ . Skorzystaj z podanego wzoru na pojemność beczki.

Wzór na pojemność beczki:

V = \frac{1}{12} π H (2 {d_{1}}^{2} + {d_{2}}^{2})

$V$ – pojemność,
$H$ – wysokość beczki,
$d_{1}$ – średnica w najszerszym miejscu,
$d_{2}$ – średnica w najwęższym miejscu.

Mamy podać pojemność beczki w litrach.

Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Zapisujemy więc wymiary beczki w decymetrach.

H = 1, 4 m = 14 dm

d_{1} = 1 m = 10 dm

d_{2} = 80 cm = 8 dm

Beczka napełniona jest w połowie, zatem obliczamy połowę jej pojemności.

\frac{1}{2} V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} π H (2 {d_{1}}^{2} + {d_{2}}^{2})

\frac{1}{2} V = \frac{1}{24} \cdot \frac{22}{7} \cdot 14 (2 \cdot 10^{2} + 8^{2})

\frac{1}{2} V = \frac{44}{24} \cdot 264

\frac{1}{2} V = 484

W beczce jest $484 l$ wody.

Przykład 3

Bryła $G$ powstaje w wyniku obrotu figury $F$ wokół prostej $p$ .

ROByJb6HnwYFD

Przykład 4

Zaobserwuj, jaka bryła powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych,

RSzO5zNjzr4Q2

Ciekawostka

Nasza planeta nie ma kształtu idealnej kuli. Na skutek ruchu wirowego (czyli ruchu wokół własnej osi) Ziemia uległa spłaszczeniu przy biegunach. W wyniku tego powstała bryła zwana geoidą (z greckiego: gea – Ziemia, eidos – kształt).

Bryłą najbardziej zbliżoną kształtem do Ziemi jest elipsoida obrotowa.

RiZgXKENJaSxY1

Przekroje brył obrotowych

Figurę płaską, która powstanie po przecięciu bryły płaszczyzną, nazywamy przekrojem tej bryły.

Ważne!

Przekrój osiowy bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

Przykład 5

Rq6WvJKOTJVNX1

Przykład 6

Określ, jaki kształt mają przekroje narysowanych brył. Jeśli nie wiesz, jak nazywa się dana figura, sprawdź w internecie jej nazwę.

RTHF5m3TyZpNt

Przykład 7

Arbuz przekrojono na pół. Otrzymany przekrój jest w kształcie koła o polu $452, 16 {cm}^{2}$ . Oblicz średnicę tego koła. Przyjmij $π = 3, 14$ .

Korzystamy ze wzoru na pole koła o promieniu $r$ .

P = π r^{2}

452, 16 = 3, 14 \cdot r^{2}

r^{2} = 144

r = \sqrt{144} = 12

r > 0

Obliczamy średnicę koła.

2 \cdot 12 cm = 24 cm

Średnica koła, będąca przekrojem arbuza, jest równa $24 cm$ .

Przykład 8

R1OnrArTUgFiA1

Ćwiczenie 1

Narysuj bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej $p$ .

Opisz bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej $p$ .

R1LGdtNIuLTHK1

Rysunki czterech figur z zaznaczonymi osiami obrotu p. 1) Prostokąt z zaznaczoną osią obrotu wzdłuż dłuższego boku. 2) Trójkąt prostokątny – oś obrotu zawiera dłuższą przyprostokątną. 3) Romb – oś obrotu zawiera dłuższą przekątną figury. 4) Trójkąt równoramienny – oś obrotu zawiera wysokość poprowadzoną do podstawy figury. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rwx8ENNX7tlhv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyobraź sobie, że obracasz podane figury wokół prostej $p$ i zwróć uwagę na to, jakie bryły powstaną.

Ćwiczenie 2

Bryła na rysunku powstała w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej dookoła prostej.

Narysuj tę figurę i tę prostą.

R1ENn5hSHHDvK1

Rysunek trzech brył obrotowych: 1) wazonu, 2) pieczęci, 3) solniczki. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eTVPnHJJ9X7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VlMVN2NomRZ

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Naszkicuj przekrój osiowy przedstawionych figur.

R1Pdaf4FaU0KJ1

Rysunki czterech brył obrotowych: 1) odważnika, 2) arbuza, 3) metalowej puszki, 4) donicy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R198iS7ZWdOP8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

trójkątem równoramiennym.
trójkątem równobocznym.

R6Hjgg8N6CsFf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

trójkątem równoramiennym.
trójkątem równobocznym.

Ćwiczenie 5

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

prostokątem,
kwadratem.

R3RIH1h4cfzhL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

prostokątem,
kwadratem.

Ćwiczenie 6

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

RSznjTxf0Bxjv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

Ćwiczenie 7

RdsAvtSEL0u7S

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że przekątna prostokąta razem z promieniem walca i jego wysokością tworzy trójkąt o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ .

Korzystając z własności trójkąta o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ dostajemy, że promień może mieć długość $r = \frac{5}{2}$ , a wysokość $H = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ lub analogicznie promień może mieć długość $r = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ , a wysokość $H = \frac{5}{2}$ .

R1261DShr74UO2

Ćwiczenie 8

Bryła, której każdy przekrój poprzeczny jest kołem, jest bryłą obrotową.
Sześcian jest bryłą obrotową.
Istnieje bryła obrotowa, której przekrój osiowy jest inny niż przekrój poprzeczny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RpSOgDN2KO6wG1

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RlGoby1LrmD43

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $P_{p} = π r^{2} \Rightarrow 530, 66 = 3, 14 r^{2} \Rightarrow r = 13 (cm)$ .

Promień miąższu, to $r = 13 - 2 = 11 (cm)$ , zatem pole miąższu wynosi $P_{m} = π r^{2} = π \cdot 11^{2} = 3, 14 \cdot 11^{2} = 379, 94 ({cm}^{2})$ .

Zatem

$\frac{P_{m}}{P_{p}} \cdot 100 % = \frac{379, 94}{530, 66} \cdot 100 % \approx 72 %$ .

Pole miąższu stanowi około $72 %$ pola przekroju arbuza.

Ćwiczenie 11

Narysuj bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia,
trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy.

R1An8nCnsDtOy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia,
trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy.

Ćwiczenie 12

Narysuj bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

na której leży jeden z boków,
równoległej do dłuższego boku, która leży poza tym bokiem,
równoległej do krótszego boku, która leży poza tym bokiem.

RT91vfjgLE2HJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

na której leży jeden z boków,
równoległej do dłuższego boku, która leży poza tym bokiem,
równoległej do krótszego boku, która leży poza tym bokiem.