Cechy podzielności liczb

Cecha podzielności przez dwa

RSJcocjR7gbna1
Animacja przedstawia cechę podzielności przez 2.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RSJcocjR7gbna

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia cechę podzielności przez 2.

RNFaRGp3kEixC1
Ćwiczenie 1
Określ, czy podane liczby są podzielne przez 2. Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je lub wybierz prawidłowe odpowiedzi z listy rozwijalnej. liczby podzielne przez 2 Możliwe odpowiedzi: 1. 900989, 2. 1222000, 3. 123452, 4. 193782720, 5. 1265688, 6. 1000027, 7. 10000001, 8. 546537376, 9. 10000, 10. 4521654, 11. 12220003, 12. 5465283763, 13. 76767676, 14. 90098, 15. 123453, 16. 3782368725, 17. 767676761, 18. 12656881, 19. 100002, 20. 145216547 liczby niepodzielne przez 2 Możliwe odpowiedzi: 1. 900989, 2. 1222000, 3. 123452, 4. 193782720, 5. 1265688, 6. 1000027, 7. 10000001, 8. 546537376, 9. 10000, 10. 4521654, 11. 12220003, 12. 5465283763, 13. 76767676, 14. 90098, 15. 123453, 16. 3782368725, 17. 767676761, 18. 12656881, 19. 100002, 20. 145216547

Przeciągnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

123 452, 767 676 761, 76 767 676, 900 989, 10 000, 100 002, 1 000 027, 12 656 881, 12 220 003, 123 453, 1 265 688, 5 465 283 763, 3 782 368 725, 1 222 000, 145 216 547, 90 098, 10 000 001, 193 782 720, 546 537 376, 4 521 654

liczby podzielne przez 2  
liczby niepodzielne przez 2  
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Jeśli liczba jest podzielna przez 2, to jej cyfrą jedności jest: 0, 2, 4, 6 lub 8 oraz odwrotnie, jeśli cyfrą jedności liczby jest: 0, 2, 4, 6 lub 8, to jest ona podzielna przez 2.

RJW2L8E7XJF0a1
Ćwiczenie 2
Określ, czy podane liczby są podzielne przez 2. Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je. Liczby podzielne przez 2 Możliwe odpowiedzi: 1. 7, 2. 6, 3. 2, 4. 4, 5. 1, 6. 0, 7. 8, 8. 5, 9. 3, 10. 9 Liczby niepodzielne przez 2 Możliwe odpowiedzi: 1. 7, 2. 6, 3. 2, 4. 4, 5. 1, 6. 0, 7. 8, 8. 5, 9. 3, 10. 9

Przeciągnij i upuść.

<span aria-label="siedem" role="math"><math><mn>7</mn></math></span>, <span aria-label="dziewięć" role="math"><math><mn>9</mn></math></span>, <span aria-label="cztery" role="math"><math><mn>4</mn></math></span>, <span aria-label="pięć" role="math"><math><mn>5</mn></math></span>, <span aria-label="trzy" role="math"><math><mn>3</mn></math></span>, <span aria-label="sześć" role="math"><math><mn>6</mn></math></span>, <span aria-label="jeden" role="math"><math><mn>1</mn></math></span>, <span aria-label="zero" role="math"><math><mn>0</mn></math></span>, <span aria-label="osiem" role="math"><math><mn>8</mn></math></span>, <span aria-label="dwa" role="math"><math><mn>2</mn></math></span>

Liczby podzielne przez 2 mogą mieć rząd jedności  
Liczby niepodzielne przez 2 mogą mieć rząd jedności  
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R101F6kTUnQ7Z1
Ćwiczenie 3
Wypisz w kolejności rosnącej pięć liczb naturalnych podzielnych przez 2, większych od 676, a mniejszych od 690, aby ich suma była największa. Szukane liczby to: Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGcy0j9IPOWks1
Ćwiczenie 4
Z cyfr 1, 3, 6, 4 ułożono trzycyfrowe liczby podzielne przez 2 i trzycyfrowe liczby niepodzielne przez 2. Przeciągnij i upuść liczby do odpowiedniej grupy lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej. Podzielne przez 2: Możliwe odpowiedzi: 1. 143, 2. 314, 3. 361, 4. 634, 5. 431, 6. 146, 7. 461, 8. 134, 9. 136, 10. 316, 11. 463, 12. 341, 13. 614, 14. 436, 15. 613, 16. 641, 17. 346, 18. 416, 19. 643, 20. 413, 21. 631, 22. 364, 23. 164, 24. 163 Niepodzielne przez 2: Możliwe odpowiedzi: 1. 143, 2. 314, 3. 361, 4. 634, 5. 431, 6. 146, 7. 461, 8. 134, 9. 136, 10. 316, 11. 463, 12. 341, 13. 614, 14. 436, 15. 613, 16. 641, 17. 346, 18. 416, 19. 643, 20. 413, 21. 631, 22. 364, 23. 164, 24. 163
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Cecha podzielności przez pięć

REPCjG4LnTquJ2
Ćwiczenie 5
Mając do dyspozycji wyłącznie monety o nominale 5 zł, spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać podaną kwotę? Uzupełnij komórki tabeli, przenosząc w puste miejsca odpowiednie wartości lub wyrażenia, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RsAsIc0cjSrM02
Ćwiczenie 6
Uzupełnij brakującą cyfrę, tak aby utworzona liczba była podzielna przez 5. Wpisz w luki odpowiednie wartości. 985 Tu uzupełnij 458 Tu uzupełnij 789 Tu uzupełnij 12340 Tu uzupełnij
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Jeśli liczba jest podzielna przez 5, to jej cyfrą jedności jest: 0 lub 5 oraz odwrotnie, jeśli cyfrą jedności liczby jest: 0 lub 5, to jest ona podzielna przez 5.

REA4o8JO84nUH2
Ćwiczenie 7
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 5.
Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez 5.
Odpowiedź: Szukana liczba to Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 5 większe od 30, a mniejsze od 90, zapisane w kolejności rosnącej.
Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne jednocześnie przez 5 i przez 2, zapisane w kolejności rosnącej.
Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Cecha podzielności przez dziesięć

RoyODFTmI6IqL2
Ćwiczenie 8
Mając do dyspozycji wyłącznie banknoty o nominale 10 zł, spróbuj uzyskać potrzebną kwotę, wpisując liczby banknotów w odpowiednie miejsce tabeli. Czy zawsze możesz uzyskać daną kwotę? Wypełnij komórki tabeli, przenosząc w puste miejsca odpowiednie wartości lub wyrażenia, lub wybierz poprawne odpowiedzi z listy rozwijalnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Jeśli liczba jest podzielna przez 10, to jej cyfrą jedności jest 0 oraz odwrotnie, jeśli cyfrą jedności liczby jest 0, to jest ona podzielna przez 10.

RlFxDxbOuWCf12
Ćwiczenie 9
Znajdź liczby spełniające poniższe warunki, a następnie wypełnij luki, wpisując szukane liczby. Spośród danych liczb: 36, 50, 149, 280, 390, 400, 405, 600, 580, 1000, 1028, 2000, 50000 wypisz w kolejności rosnącej liczby podzielne przez 10.
Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Czy wśród tych liczb są liczby podzielne przez 100? Wypisz je w kolejności rosnącej.
Odpowiedź: Szukane liczby to Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij, Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij. Liczba jest podzielna przez 100, gdy ostatnie dwie jej cyfry to Tu uzupełnijTu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MSAjZmJ2pA02
Ćwiczenie 10
Jaką cyfrę można wpisać w miejsce kropek, żeby liczba 4567…0 była podzielna przez daną liczbę? Przyporządkuj liczby, które można wstawić w lukę do danej podzielności. podzielność przez 5 Możliwe odpowiedzi: 1. 6, 2. 0, 3. 7, 4. 4, 5. 0, 6. 7, 7. 3, 8. 1, 9. 4, 10. 0, 11. 2, 12. 2, 13. 9, 14. 5, 15. 5, 16. 8, 17. 3, 18. 1, 19. 8, 20. 6, 21. 9 podzielność przez 10 Możliwe odpowiedzi: 1. 6, 2. 0, 3. 7, 4. 4, 5. 0, 6. 7, 7. 3, 8. 1, 9. 4, 10. 0, 11. 2, 12. 2, 13. 9, 14. 5, 15. 5, 16. 8, 17. 3, 18. 1, 19. 8, 20. 6, 21. 9 podzielność przez 100 Możliwe odpowiedzi: 1. 6, 2. 0, 3. 7, 4. 4, 5. 0, 6. 7, 7. 3, 8. 1, 9. 4, 10. 0, 11. 2, 12. 2, 13. 9, 14. 5, 15. 5, 16. 8, 17. 3, 18. 1, 19. 8, 20. 6, 21. 9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Cechy podzielności przez trzy i dziewięć

Poznamy teraz cechy podzielności przez 3 i 9. Tym razem nie wystarczy popatrzeć na cyfrę jedności liczby.
Na przykład:
Liczba 113 ma cyfrę jedności 3, ale

  • 113:3=37 reszta 2

Podobnie

  • 119:9=13 reszta 2

W obu przypadkach reszty są różne od zera, zatem liczba 113 nie jest podzielna przez 3, a liczba 119 nie jest podzielna przez 9.
Spróbujmy odkryć cechy podzielności przez 3 i 9.

Rp4GO3ICQeMCq2
Ćwiczenie 11
Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez 3. Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. 111, 2. 6779, 3. 234, 4. 529, 5. 4962, 6. 4573

  • 111
  • 6779
  • 234
  • 529
  • 4962
  • 4573
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPURPc2VyMDPf2
Ćwiczenie 12
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie 111 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 234 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 529 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 4573 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 6779 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 4962 wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11napz4b8yHZ2
Ćwiczenie 13
Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez 3. Możliwe odpowiedzi: 1. 226, 2. 102, 3. 131, 4. 414, 5. 800, 6. 444

  • 226
  • 102
  • 131
  • 414
  • 800
  • 444
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

ROBeQQjmhoYHF2
Ćwiczenie 14
Korzystając z kalkulatora, sprawdź, czy podana liczba jest podzielna przez 9. Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. 222, 2. 333, 3. 549, 4. 4574, 5. 5778, 6. 4962

  • 222
  • 333
  • 549
  • 4574
  • 5778
  • 4962
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8we5RQZJQUkF2
Ćwiczenie 15
Oblicz sumę cyfr podanej liczby. Wynik wpisz w puste miejsce. Suma cyfr w liczbie 222 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 333 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 549 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 4574 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 5778 wynosi Tu uzupełnij. Suma cyfr w liczbie 4962 wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RUuLv7D9CkV4B3
Ćwiczenie 16
Czy sumy cyfr poniższych liczb są podzielne przez 9? Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. 222, 2. 333, 3. 549, 4. 4574, 5. 5778, 6. 4962

  • 222
  • 333
  • 549
  • 4574
  • 5778
  • 4962
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

RIwltHLaMyGzV3
Ćwiczenie 17
Określ, czy podane liczby są podzielne przez 9 czy 3. Dopasuj liczby do odpowiednich grup, przeciągając je. liczby podzielne przez 9 Możliwe odpowiedzi: 1. 666, 2. 108, 3. 45 003, 4. 78, 5. 96, 6. 36, 7. 99 999, 8. 3 468, 9. 0, 10. 204, 11. 801, 12. 144, 13. 789, 14. 144, 15. 4 545, 16. 4 545, 17. 504, 18. 36, 19. 123 000, 20. 504, 21. 138, 22. 12 345, 23. 243, 24. 11 001, 25. 252, 26. 801, 27. 666, 28. 108, 29. 0, 30. 252, 31. 99 999, 32. 225, 33. 243, 34. 225 liczby podzielne przez 3 Możliwe odpowiedzi: 1. 666, 2. 108, 3. 45 003, 4. 78, 5. 96, 6. 36, 7. 99 999, 8. 3 468, 9. 0, 10. 204, 11. 801, 12. 144, 13. 789, 14. 144, 15. 4 545, 16. 4 545, 17. 504, 18. 36, 19. 123 000, 20. 504, 21. 138, 22. 12 345, 23. 243, 24. 11 001, 25. 252, 26. 801, 27. 666, 28. 108, 29. 0, 30. 252, 31. 99 999, 32. 225, 33. 243, 34. 225
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RkjHWlqm7YLIe3
Ćwiczenie 18
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każda liczba podzielna przez 9 jest również podzielna przez 3, 2. Każda liczba podzielna przez 3 jest również podzielna przez 9, 3. Każda liczba nieparzysta jest podzielna przez 3, 4. Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfry jedności i cyfry dziesiątek jest równa 9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.