Ciekawe zadania – własności liczb dwucyfrowych

1. Cele lekcji

Wiadomości

Uczniowie utrwalają sobie pojęcie systemu dziesiątkowego, zwłaszcza zapis liczb dwucyfrowych, poznają własności niektórych liczb dwucyfrowych.

b. Umiejętności

Po zajęciach uczeń:

• potrafi utworzyć prostą tabelę w programie EXCEL według zadanego wzoru,

• potrafi wykonać funkcję sumy dla zaznaczonego obszaru komórek,

• potrafi zapisać liczbę dwucyfrową w postaci algebraicznej,

• potrafi dodawać i odejmować wyrażenia algebraiczne,

• potrafi formułować wnioski i zapisywać je w języku matematyki.

1. • praca samodzielna przy komputerze,

   • ćwiczenia praktyczne – rozwiązywanie zadań,

   • praca w grupach.

1. tabela liczb 10‑99,

2. zadania do pracy w grupie,

3. schemat do uzupełnienia,

4. komputery.

Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach, łączą się w trzyosobowe grupy. Nauczyciel wyjaśnia przebieg zajęć i kolejno wykonywane przez uczniów czynności. Każda grupa otrzymuje tabelę liczb 10‑99. Zadaniem każdej grupy jest szukanie ciekawych zależności między liczbami w tabeli. Polecenia dla grup:

Grupa 1

• Zamaluj w tabeli kolumny, w których są wszystkie liczby parzyste.

• Wśród pozostałych liczb – zamaluj liczby podzielne przez 5, liczby podzielne przez 3 i liczby podzielne przez 7.

• Przeanalizuj pozostałe liczby i powiedz – jakie to liczby?

Grupa 2

• Zakreśl liniami wszystkie liczby leżące wzdłuż przekątnych – od lewego dolnego rogu do prawego górnego.

• Przeanalizuj, jaką wspólną cechę mają liczby w zakreślonych liniach.

Grupa 3

• Zakreśl liniami wszystkie liczby leżące wzdłuż przekątnych – od prawego dolnego rogu do lewego górnego.

• Przeanalizuj, jaką wspólną cechę mają liczby zakreślone w jednej linii.

Każda grupa stara się opisać ustnie wnioski wynikające z wykonania zadania oraz analizy liczb zakreślonych w tabeli. Nauczyciel koryguje wypowiedzi w razie konieczności.

Faza realizacyjna

1. Nauczyciel podaje zadania do rozwiązania, wynikające z powyżej stwierdzonych prawidłowości, których rozwiązanie można otrzymać różnymi sposobami, między innymi w tabeli. Rozwiązują je uczniowie chętni przy tablicy z pomocą nauczyciela.

Zadanie 1

W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności. Liczba utworzona z tych cyfr jest mniejsza od 63. Jaka to liczba?

I metoda: rozwiązanie w tabeli

Z warunków zadania wynika, że cyfra jedności zawiera się między 1 a 6, a cyfra dziesiątek między 4 a 9.

Odp. W tabeli widać, że warunki zadania spełniają tylko dwie liczby: 41 i 52.

II metoda: ułożenie i rozwiązanie równania

c.dz x + 3 c.j x równanie 10(x + 3) + x < 63 stąd otrzymamy x < 3

Odp. Tylko 2 i 3 są mniejsze od 3, a zatem liczby 41 i 52 są mniejsze od 63.

2. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, aby suma jej cyfr wynosiła 9 i aby po przestawieniu cyfr otrzymać liczbę mniejszą od połowy szukanej liczby. Podaj wszystkie takie liczby.

I metoda: rozwiązanie w tabeli

W tabeli widać, że tylko liczby 72 i 81 spełniają warunki zadania.

II metoda: ułożenie nierówności

cyfra dziesiątek x cyfra jedności 9 – x

liczba dana 10x + 9 – x = 9x + 9

liczba przestawiona 10(9 – x) + x = 90 – 9x

połowa liczby danej 4,5x + 4,5

nierówność: 90 – 9x < 4,5x + 4,5 stąd $x<6\frac{1}{3}$

Odp. Tylko cyfry7 i 8 spełniają warunki zadania, a zatem szukane liczby to72 i 81.

3. Jeżeli cyfrę dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej zwiększymy o 4, a jej cyfrę jedności zmniejszymy o 2, to otrzymamy liczbę mniejszą od 86. Jeśli zaś cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o 2, a cyfrę jedności powiększymy o 1, to otrzymamy liczbę większą od 27. Jaka to liczba? (zadanie to jest przykładem na to, że metoda rozwiązania w tabeli nie zawsze jest najłatwiejsza, bo tak jak w tym przypadku zawiera zbyt wiele możliwości; wspólnie próbujemy rozpisać te możliwości, żeby uczniowie zobaczyli na czym polega trudność).

liczba wyjściowa liczba zmieniona na I sposób liczba zmieniona na II sposób

c. dz. x x + 4 x – 2

c. j y y – 2 y + 1

Otrzymamy dwie nierówności:

10(x + 4) + y – 2 < 88 i 10(x – 2) + y + 1 > 27

stąd 10x + y < 50 i 10x + y > 46

Odp. Liczb dwucyfrowych znajdujących się pomiędzy 46 a 50 jest trzy: 47, 48, 49.

4. W grupach trzyosobowych uczniowie, samodzielnie w oparciu o powyższe rozwiązania zadań, zapisują rozwiązania poniższych zadań:

Grupa 1 i 3

• W liczbie dwucyfrowej cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry, to nowa liczba będzie wynosiła 3/8 liczby poprzedniej. Znajdź tę liczbę.

• Liczba dwucyfrowa jest 7 razy większa od sumy cyfr tej liczby. Jeżeli od tej liczby odejmiemy 27, to otrzymamy liczbę powstałą z przestawienia jej cyfr. Co to za liczba?

Grupa 2 i 4

• Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 12. Jeżeli od tej liczby odejmiemy 18, to otrzymamy liczbę złożoną z takich samych cyfr, lecz zapisanych w odwrotnej kolejności. Wyznacz tę liczbę.

• Znajdź liczbę dwucyfrową, która jest równa podwojonemu iloczynowi swoich cyfr.

5. Każda grupa rozwiązuje zadanie jednym z wybranych sposobów, wybrane lub chętne osoby prezentują rozwiązania pozostałym.

Faza podsumowująca

Uczniowie wykonują tabelę, z którą pracowali w programie EXCEL i na jej podstawie:

• liczą sumę wszystkich liczb dwucyfrowych,

• liczą sumę wszystkich liczb parzystych,

• liczą sumę wszystkich liczb nieparzystych.

Do obliczenia wykorzystują odpowiednie formuły programu EXCEL

RIrFJCqh55CgA

Na podstawie powyższych obliczeń uzupełniają schemat.

4. 3. Z. Bobiński, P. Nodzyński, Liga zadaniowa, wyd. Czarny Kruk, Bydgoszcz 1993.

   4. B. Stryczniewicz, Matematyka to nie Czarna Magia, wyd. Nowik, Opole 2006.