Definicje i twierdzenia z wielokątów, kół i okręgów, brył oraz potęg o podstawach wymiernych

W tym materiale zawarte są definicje oraz twierdzenia dotyczące wielokątów, kół i okręgów, brył oraz potęg o podstawach wymiernych.

Potęga

Definicja: Potęga

Potęgą $a^{n}$ o wykładniku naturalnym $(n > 1)$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$ .

a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}

Przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ oraz $a^{1} = a$ .

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb naturalnych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

R1Z1tjwk482bF1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na przykład:

7^{5} \cdot 7^{3} = 7^{5 + 3} = 7^{8}

Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb naturalnych $n$ i $m$ spełniających warunek $n \geq m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}

R1HUeWq4VRmFi1

Na przykład:

\frac{7^{5}}{7^{3}} = 7^{5 - 3} = 7^{2}

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb naturalnych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

RDBoa22Rshi5M1

Na przykład:

{(7^{5})}^{3} = 7^{5 \cdot 3} = 7^{15}

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest równość

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

RGkqhPYvk1uXR1

Na przykład:

8^{6} \cdot 5^{6} = {(8 \cdot 5)}^{6}

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby naturalnej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}

RS6b7c3hacr1S1

Na przykład:

\frac{8^{6}}{5^{6}} = {(\frac{8}{5})}^{6}

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie $S$ i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest mniejsza bądź równa $r$ .

RUUen3rmJzSpk1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$K (S, r)$ – koło o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$

Wycinek koła

Definicja: Wycinek koła

Wycinkiem koła (wycinkiem kołowym) nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

R1bfX0TTxvmaA1

Rysunek koła podzielonego ramionami kąta środkowego alfa na dwa wycinki kołowe (na rysunku lekko od siebie odsunięte). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odcinek koła

Definicja: Odcinek koła

Odcinkiem koła (odcinkiem kołowym) nazywamy część koła odciętą przez cięciwę wraz z tą cięciwą.

R1ZkYTwhtsT1J1

Rysunek dwóch kół. Pierwsze koło podzielone cięciwą na dwa odcinki kołowe (na rysunku lekko od siebie odsunięte). Drugie koło podzielone najdłuższą cięciwą (średnicą) na dwa półkola (na rysunku lekko od siebie odsunięte). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każda cięciwa wyznacza dwa odcinki koła. Średnica dzieli koło na dwa półkola.

Oś obrotu

Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej $p$ , zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą $p$ nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

Kula

Definicja: Kula

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest nie większa od długości odcinka, zwanego promieniem kuli.

R1EdumpjyKJX41