Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Wzór skróconego mnożenia na n–tą potęgę różnicy

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

II. Wyrażenia algebraiczne. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${\left(a+b\right)}^2$, ${\left(a-b\right)}^2$, $a^2-b^2$, ${\left(a+b\right)}^3$, ${\left(a-b\right)}^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$.

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

2) stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona): $\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)=1$, $\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)=n$, $\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)=n$, $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1\\ k+1\end{array}\right)$;

3) korzysta ze wzorów na: $a^3+b^3$, ${\left(a+b\right)}^n$ i ${\left(a-b\right)}^n$.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• określa współczynniki n–tej potęgi dwumianu, korzystając z trójkąta Pascala

• zapisuje n–tą potęgę dwumianu w postaci sumy, korzystając z dwumianu Newtona

• interpretuje współczynniki uzyskane w wyniku rozwinięcia potęgi dwumianu

• analizuje złożone problemy arytmetyczne i algebraiczne, planuje sposób ich rozwiązania

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• arkusz analogii

• bank krytycznych ocen

• ale kino

Formy pracy:

• praca w parach

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

Uczniowie przypominają poznane wzory skróconego mnożenia, w tym wzór na n–tą potęgę sumy.

Podają przykłady ich zastosowania. Rozmawiają o tym, czy do wzoru ${\left(a+b\right)}^n$ w miejsce $b$ można podstawić liczbę ujemną i jak wtedy będzie wyglądał zapis. W ten sposób dochodzą do sformułowania tematu i celów zajęć.

Faza realizacyjna:

Praca w grupach – metodą „arkusz analogii” uczniowie wyprowadzają wzór na n–tą potęgę różnicy, wzorując się na wzorze na n–tą potęgę sumy.

Zapisują na kartkach przykłady obliczania potęg różnicy. Metodą „ale kino” uczniowie tworzą wspólny bank przykładów.

Teraz uczniowie pracują w parach – uzupełniają uzyskane już informacje na temat sposobów wyznaczania współczynników rozwinięcia potęgi różnicy, zapoznając się z materiałem w sekcji „Przeczytaj”, następnie oglądają animację.

Uczniowie nadal pracują w parach. Na zmianę rozwiązują zaproponowane ćwiczenia interaktywne. Jeden uczeń rozwiązuje, a drugi przygląda się jego pracy i zapisuje uwagi.

Po skończonym ćwiczeniu, uczniowie dzielą się na forum klasy swoimi spostrzeżeniami. Tworzą w ten sposób bank krytycznych ocen, którego celem jest pokazanie najczęściej popełnianych błędów, a zarazem okazją do wyjaśnienia, jak tych błędów unikać.

Faza podsumowująca:

Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, oceniając również pracę swojej i innych grup.

Nauczyciel zwraca uwagę na istotne momenty w zajęciach i stopień osiągniętych celów.

Praca domowa:

W domu uczniowie mają za zadanie poszukać problemów z innych dziedzin wiedzy (np. z fizyki, chemii), w których wykorzystywany jest  wzór na n–tą potęgę różnicy.

Materiały pomocnicze:

• Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratówPydyndOTsWzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

• Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyPBH36rZrWWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

• Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicyPPdMLFL4VWzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

• Wzory skróconego mnożenia na różnicę oraz na sumę sześcianów – zastosowaniaP13RE6xHcWzory skróconego mnożenia na różnicę oraz na sumę sześcianów – zastosowania

Wskazówki metodyczne:

Animacja może być wykorzystana przy okazji tematów związanych z dwumianem Newtona lub trójkątem Pascala.