Jak to się dzieje, że planety krążą wokół Słońca, a wokół Jowisza jego księżyce? Co mają wspólnego ruch planet i ruch samochodu na zakręcie? Dzięki tej lekcji poznasz przyczynę zmiany kierunku prędkości i cechy ruchu po okręgu.

R1exRiMPwgkLp
Źródło: Nikos Koutoulas, dostępny w internecie: https://www.flickr.com/, licencja: CC BY-NC 3.0.
Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia
Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia
  • znaczenie pojęć: prędkości liniowa, okres obiegu i częstotliwość obiegu;

  • w jaki sposób można obliczyć wartości tych wielkości;

  • określenie ruchu jednostajnego po okręgu;

  • przyczyny ruchu jednostajnego i zmiennego.

Nauczysz się
  • wyjaśniać ruch po okręgu działaniem siły dośrodkowej;

  • wskazywać źródła siły dośrodkowej w odniesieniu do konkretnych ruchów po okręgu;

  • obliczać wartość siły dośrodkowej.

Siła dośrodkowa

Znasz już zasady (prawa) dynamiki. Wynika z nich, że aby zmienić stan ruchu ciała, czyli zwiększyć lub zmniejszyć jego prędkość albo zmienić jej kierunek lub zwrot, musimy działać pewną siłą. Aby zwiększyć prędkość ruchu ciała, trzeba działać siłą o takim samym kierunku i zwrocie, jakie ma prędkość, natomiast aby zmniejszyć wartość prędkości – siła powinna mieć zwrot przeciwny do zwrotu prędkości ciała.

Co powoduje, że ciało poruszające się dotychczas po prostej zaczyna zakręcać i poruszać się po okręgu? Domyślasz się pewnie, że musi działać jakaś siła. Jakie cechy ma ta siła?

Rozpatrujemy ruch jednostajny po okręgu, a zatem wartość prędkości musi być stała. Ma następować jedynie zmiana kierunku prędkości. Oznacza to, że siła, o której myślimy, musi być prostopadła do wektora prędkości ciała i zwrócona do środka okręgu. Taką siłę będziemy nazywać zatem siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową. Od czego może zależeć jej wartość?

Pomińmy kwestie matematyczne związane z wyprowadzeniem wzoru. Zauważymy tylko, że im większa będzie prędkość ciała poruszającego się po linii prostej, tym większą siłę trzeba będzie przyłożyć, aby zmienić kierunek jego ruchu. Logiczne będzie także stwierdzenie, że im większa masa ciała, które ma poruszać się po okręgu, tym większa siła musi na nie działać (II zasada dynamiki). Okrąg, po którym ma się poruszać ciało, będzie miał jakiś promień. Jeżeli działająca siła będzie niewielka, to ciało również niewiele skręci – będzie się ono poruszało po okręgu o dużym promieniu. Aby uzyskać mały promień okręgu, musimy działać odpowiednio większą siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową.

Rozważania matematyczne prowadzą do następującej zależności siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej F od masy m i prędkości v ciała oraz promienia okręgu r:

F=m·v2r
Zapamiętaj!

Siła dośrodkowasiła dośrodkowaSiła dośrodkowa jest odpowiedzialna za to, że ciało porusza się po okręgu. Jej wartość obliczamy za pomocą wzoru:

F=m·v2r

gdzie:
mkg – masa poruszającego się ciała;
vms – prędkość ciała;
rm – promień okręgu, który zakreśla poruszające się ciało.

A co jest źródłem siły dośrodkowej?

Rzut młotem
Podczas rzutu młotem (tak naprawdę jest to kula, do której przymocowano stalową linkę zakończoną uchwytem) siłę dośrodkowąsiła dośrodkowasiłę dośrodkową za pośrednictwem linki wywiera zawodnik. Rolę siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej pełni siła naciągu liny.

RKa7sf5JMlXJH
Źródłem siły dośrodkowej podczas rzutu młotem jest zawodnik
Źródło: Erik van Leeuwen, dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

Zawodnik rozpędza młot, wykonując kilka obrotów, a następnie puszcza linkę. Na młot przestaje wówczas działać siła dośrodkowasiła dośrodkowasiła dośrodkowa – obserwujemy, jak daleko on poleci.

Szklanka na obracającej się płycie
Wyobraźmy sobie szklankę stojącą na obracającej się płycie (np. gramofonowej) albo na szklanym talerzu w kuchence mikrofalowej. Jeżeli szklankę postawimy w pewnej odległości od osi obrotu, to naczynie będzie się poruszało po okręgu. Co powoduje, że szklanka porusza się takim ruchem? Czy poruszałaby się tak, gdyby powierzchnia talerza była idealnie gładka? Jaka siła mogłaby wówczas spowodować ruch szklanki? Jedyną siłą, o jakiej może być tu mowa, jest siła tarcia pomiędzy płytą (talerzem) a szklanką (pomijamy tu możliwość przyklejania szklanki do płyty), ponieważ siły ciężkości i sprężystości podłoża równoważą się wzajemnie.

Samochód na zakręcie
Co się dzieje podczas pokonywania zakrętu przez samochód? Powiecie: po prostu kręcimy kierownicą i przednie koła ustawiają się w odpowiedniej pozycji. Czy na pewno? A gdyby na zakręcie był lód? Czy skręcenie kół wystarczyłoby do zmiany kierunku jazdy? Chyba wszyscy są przekonani, że nie. Podobnie jak w powyższym przykładzie, siłą dośrodkową jest znowu siła tarcia.

O sile grawitacji, która jest siła dośrodkowąsiła dośrodkowasiła dośrodkową, będziemy mówić na następnych lekcjach. A jakie jeszcze inne ruchy po okręgu możecie wskazać?

Ćwiczenie 1

Wybierzcie kilka rodzajów ruchu po okręgu, przeanalizujcie je i wskażcie, co jest siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową w każdym przykładzie.

RWoUiviHK6XbX
(Uzupełnij).

Analiza różnych rodzajów ruchu po okręgu wskazuje, że siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało.

Przykład 1

Samochód o masie 2 t porusza się ze stałą prędkością 72 kmh. Oblicz wartość siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej działającej na samochód, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym łukiem okręgu o promieniu 25 m.

Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o masie ciała, jego prędkości i promieniu okręgu, po którym się ono porusza. Są to wystarczające dane, aby móc wyznaczyć wartość siły dośrodkowejsiła dośrodkowasiły dośrodkowej. Należy jednak zwrócić uwagę, że prędkość została podana w kmh, a więc wymaga przeliczenia na ms.

Dane:
m=2 t
1 t=1000 kg
v=72 kmh
r=25 m

Szukane:
F= ?

Wzór:
F=mv2r

Obliczenia:
v=72 kmh=72·1000 m3600 s=20 ms
F=2000 kg·20 ms225 m=80·400 N=32000 N=32 kN 

Odpowiedź:
Na samochód działa siła dośrodkowasiła dośrodkowasiła dośrodkowa 32 kN.

Przykład 2

Podczas zawodów lekkoatletycznych odbywa się konkurencja rzutu młotem. Do linki o długości 1,1 m przymocowana jest kula o masie 4 kg. Zawodniczka wprawia kulę w ruch jednostajny po okręgu, tak że na kulę działa siła dośrodkowa o wartości 1,6 kN. Oblicz wartośc prędkości liniowej, z jaką porusza się kula.

Analiza zadania:
W zadaniu podana jest informacja o wartości siły dośrodkowej, którą obliczamy ze wzoru F=mv2r. Nie znamy wartości prędkości liniowej ciała, musimy więc ją obliczyć na podstawie danych zawartych w zadaniu.

Dane:
r=1,1 m
m=4 kg
F=1,6 kN=1600 N

Szukane:
v=?

Wzory:
F=mv2r|·r
F·r=mv2|:m
v2=F·rm
v=F·rm

Obliczenia:

v=1600 N·1,1 m4 kg=440 m2s221 ms
v=N·mkg=kgms2·mkg=m2s2=ms

Odpowiedź:
Kula porusza się z prędkością o wartości równej w przybliżeniu 21 ms.

Przykład 3

Dziecko o masie 20 kg siedzi na krzesełku karuzeli znajdującym się w odległości 5 m od środka obrotu. Oblicz wartość siły dośrodkowej działającej na dziecko, gdy krzesełko porusza się z prędkością 3 ms.

Analiza zadania:
Korzystamy z zależności F=mv2r, aby wykorzystać informacje zawarte w zadaniu.

Dane:
m=20 kg 
r=5 m 
v=3 ms

Szukane:
F= ?

Obliczenia:
F=mv2r=20 kg·3 ms25 m=36 N
F=kg·ms2m=kg·ms2=N

Odpowiedź:
Na dziecko siedzące na krzesełku kręcącej się karuzeli działa siła dośrodkowa o wartości 36 N.

RI94o4G2E7aSr
Ćwiczenie 2
Na samochód poruszający się po łuku zakrętu działa siła dośrodkowa 1125 N. Auto jedzie ze stałą prędkością 15 ms. Zakręt jest wycinkiem okręgu o promieniu 20 m. Oblicz całkowitą masę samochodu. Całkowita masa samochodu wynosi Tu uzupełnij kg.
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.
R16u9BM44dP9811
Ćwiczenie 3
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania. Może przydać się również kalkulator.
Dziecko o masie 20 kg siedzi na karuzeli, która wykonuje 12 obrotów na minutę. Promień zataczanego okręgu jest równy 6 m.
Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. Na dziecko działa siła wzdłuż promienia, zwrócona do środka okręgu., 2. Na dziecko działa siła wzdłuż promienia, zwrócona na zewnątrz okręgu., 3. Na dziecko działa siła o kierunku takim samym jak kierunek prędkości., 4. Okres obrotu karuzeli jest równy 5 s., 5. W czasie 5 minut karuzela wykona 3600 obrotów., 6. Okres obrotu karuzeli jest równy 12 s., 7. W ciągu dwóch minut karuzela wykona 24 obroty., 8. W ciągu sekundy karuzela wykona 0,2 obrotu., 9. W czasie jednego obrotu karuzeli dziecko przebędzie drogę ok. 37,68 m., 10. Prędkość liniowa karuzeli wynosi około 18,8 ms.
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.
R1DMFpVmR0bRB21
Ćwiczenie 4
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania przygotuj kartkę papieru i przybory do pisania.
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Po uwzględnieniu wzoru na prędkość liniową (v=2π·rT lub v=2πrf) we wzorze na siłę dośrodkową otrzymamy zależność: Możliwe odpowiedzi: 1. F=4π2mrf2, 2. F=mr2πf2, 3. F=2πT2mr, 4. F=4mπ2rT2, 5. F=4mπrf2, 6. F=2πrf2, 7. F=2πfr2m, 8. F=2πrT2m, 9. F=2mπr2T2, 10. F=m4πr2T2, 11. F=2πTr2
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

  • Siłą odpowiedzialną za ruch ciała po okręgu jest siła dośrodkowa.

  • Wartość siły dośrodkowej obliczamy za pomocą wzoru:

    F=m·v2r,

    gdzie:
    mkg – masa poruszającego się ciała;
    vms – prędkość ciała;
    rm – promień okręgu zakreślanego przez poruszające się ciało.

  • Siłą dośrodkową może być jedna, bezpośrednio działająca siła lub (częściej) wypadkowa kilku sił działających na ciało. Siła dośrodkowa jest prostopadła do wektora prędkości ciała (tak jak pokazano na ilustracji poniżej).

R1NZiXtCY4Zsw
Wektor siły dośrodkowej jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany do środka okręgu, po którym porusza się ciało
Źródło: GroMar Sp. z o. o., licencja: CC BY-SA 3.0.
RnNB6qKU2yUr33
Ćwiczenie 5
Motocyklista porusza się ze stałą prędkością o wartości 90 kmh. Motocyklista i motocykl mają łączną masę 270 kg. Na motocykl działa pewna siła dośrodkowa, która w tym wypadku jest siłą tarcia, gdyż pozostałe siły równoważą się.
Uzupełnij luki w odpowiedzi podanymi wartościami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku.
  1. Ile wynosi wartość siły tarcia działającej na koła pojazdu, jeśli znajduje się on na zakręcie będącym wycinkiem koła o promieniu 20 m?
    Odpowiedź: Wartość siły tarcia wynosi F= 1. 7795,5 N, 2. 8,14 Hz, 3. 9,12 Hz, 4. 6285,8 N, 5. 5 s, 6. 17 s, 7. 7,86 Hz, 8. 8,55 Hz, 9. 15 s, 10. 8 s, 11. 8437,5 N, 12. 7545,5 N, 13. 9,94 Hz, 14. 10 s.
  2. W jakim czasie motocyklista wykonałby jedno pełne okrążenie, gdyby poruszał się po okręgu o tym samym promieniu?
    Odpowiedź: Motocyklista wykonałby to okrażenie w czasie t 1. 7795,5 N, 2. 8,14 Hz, 3. 9,12 Hz, 4. 6285,8 N, 5. 5 s, 6. 17 s, 7. 7,86 Hz, 8. 8,55 Hz, 9. 15 s, 10. 8 s, 11. 8437,5 N, 12. 7545,5 N, 13. 9,94 Hz, 14. 10 s.
  3. Z jaką częstotliwością obracają się koła motocykla, jeśli wiadomo, że średnica kół pojazdu wynosi 0,64 m?
    Odpowiedź: Koła obracają się z częstotliwością f= 1. 7795,5 N, 2. 8,14 Hz, 3. 9,12 Hz, 4. 6285,8 N, 5. 5 s, 6. 17 s, 7. 7,86 Hz, 8. 8,55 Hz, 9. 15 s, 10. 8 s, 11. 8437,5 N, 12. 7545,5 N, 13. 9,94 Hz, 14. 10 s.
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.
R10ByjoInz7YN2
Ćwiczenie 6
Zawodnik wykonuje rzut młotem. Kula o masie 5 kg jest przymocowana linką o długości 1,2 m. Zawodnik wprawia kulę w ruch, tak że zyskuje ona prędkość o stałej wartości 18 ms. Ile wynosi siła naciągu linki? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. F=1350 N, 2. F=1210 N, 3. F=1180 N, 4. F=1270 N
Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Słownik

siła dośrodkowa
siła dośrodkowa

siła odpowiedzialna za ruch ciała po okręgu. Jej wartość obliczamy ze wzoru F=mv2r. Siła ta działa na ciało wzdłuż promienia okręgu, po którym odbywa się ruch ciała i jest zwrócona zawsze do środka tego okręgu.