Do czego mogą się przydać wyrażenia algebraiczne w życiu codziennym?

R1W2z26L5tPCq

Wyrażenia algebraiczne przydają się, gdy chcemy zapisać algorytm rozwiązania problemu, który powtarza się cyklicznie.

Na przykład musimy obliczyć, ile rolek tapety trzeba kupić, aby wystarczyło ich na oklejenie prostokątnej ściany o wymiarach $4 m$ na $3 m$ .

Rs99zEt6AelLH

Ilustracja przedstawia młodą kobietę w trakcie naklejania tapety na ścianę. W danym momencie kobieta odpoczywa siedząc na stole przykrytym papierem ochronnym oraz kawałkiem kolorowej tapety. Ubrana jest w jeansowe spodnie i białą koszulę w pionowe pasy, na głowie ma zawiązaną niebieską chustę. Na kolanach trzyma papierową rolkę po tapecie. Obok niej stoją otwarte farby i klej oraz drabina. — Źródło: Nataliya Vaitkevich, dostępny w internecie: pexels, domena publiczna.

Najpierw oczywiście obliczamy pole powierzchni ściany.

P = 3 \cdot 4 = 12 (m^{2})

Jedna rolka tapety wystarczy na oklejenie $5 m^{2}$ ściany. Ponieważ:

12 : 5 = 2, 4

zatem trzeba kupić trzy rolki tapety.

Jeśli chcielibyśmy wytapetować jeszcze inne prostokątne ściany, można powyższe obliczenia zapisać w postaci wzoru:

\frac{a \cdot b}{5}

gdzie:
$a$ , $b$ – wymiary ściany w metrach.

Musimy jeszcze określić przybliżenie z góry otrzymanej liczby (chyba, że jest to liczba całkowita). Korzystając z tego wzoru, ustalimy szybciej liczbę potrzebnych rolek tapety.

Wyrażenie $\frac{a \cdot b}{5}$ to wyrażenie algebraiczne.

Wyrażenie algebraiczne to wyrażenie zbudowane z liczb, liter, znaków działań, nawiasów.

Analizując przykłady zawarte w tym materiale, poznasz sposoby zapisywania zależności przedstawionych w zadaniach praktycznych w postaci wyrażeń algebraicznych. Skorzystasz z podanych wzorów, rozwiązując zadania z kontekstem realistycznym. Sprawdzisz ukształtowane umiejętności wykonując ćwiczenia.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
AnimacjeAnimacje
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Twoje cele

Utworzysz wyrażenie algebraiczne na podstawie informacji osadzonych w kontekście praktycznym.
Zapiszesz zależności przedstawione w zadaniach z kontekstem realistycznym w postaci wyrażeń algebraicznych jednej lub kilku zmiennych.
Wykorzystasz w obliczeniach wzory z fizyki i geometrii.

Wiele praw z różnych dziedzin wiedzy formułowana jest za pomocą wzorów zapisanych w postaci wyrażeń algebraicznych. Pokażemy teraz kilka przykładów zastosowania takich wzorów w zadaniach prowadzących w konsekwencji do obliczania wartości liczbowych wyrażeń algebraicznychwyrażenie algebraicznewyrażeń algebraicznych.

R1XyL3SmJF8Pd

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Chcąc obliczyć gęstość (masę właściwą) danej substancji obliczamy stosunek masy tej substancji do zajmowanej przez nią objętości.

ρ = \frac{m}{v}

gdzie:

$ρ$ – gęstość w $\frac{kg}{m^{3}}$ ,
$m$ – masa w $kg$ ,
$v$ – objętość w $m^{3}$ .

Obliczymy masę złotej bransoletki o objętości $6 {cm}^{3}$ . Gęstość złota jest równa $19320 \frac{kg}{m^{3}}$ .

Aby skorzystać z podanego wzoru, musimy ujednolicić jednostki. Wygodniej będzie zapisać gęstość złota w $\frac{g}{{cm}^{3}}$ .

19320 \frac{kg}{m^{3}} = 19320 \cdot \frac{1000}{1000000} \frac{g}{{cm}^{3}} = 19, 320 \frac{g}{{cm}^{3}}

Podstawiamy dane liczby do wzoru na gęstość i wyznaczamy masę bransoletki.

19, 320 = \frac{m}{6}

m = 19, 320 \cdot 6

m = 115, 92 g

Odpowiedź:
Masa bransoletki jest równa $115, 92 g$ .

Przykład 2

Wzór

C = \frac{5}{9} \cdot (F - 32 °)

stosujemy do obliczania temperatury w stopniach Celsjusza, gdy dana jest temperatura $F$ w stopniach Fahrenheita.

Wyrazimy w stopniach Celsjusza temperaturę równą $50 °$ Fahrenheita.

Obliczamy wartość wyrażenia

C = \frac{5}{9} \cdot (F - 32 °)

dla

F = 50 °

C = \frac{5}{9} \cdot (50 ° - 32 °)

C = \frac{5}{9} \cdot 18 °

C = 10 °

Odpowiedź:
Temperatura jest równa $10 °$ Celsjusza.

Przykład 3

Ciężar ciała to siła, z jaką Ziemia przyciąga ciało o masie $m$ (podanej w kilogramach).

Ciężar ciała na Ziemi obliczamy ze wzoru

F_{g} = m \cdot g

gdzie $g$ – współczynnik równy około $10 \frac{N}{kg}$ .

Jednostką ciężaru jest niuton ( $N$ ). Obliczymy ciężar ciała o masie $50 kg$ .

Do wzoru na ciężar ciała podstawiamy:

m = 50 kg

g = 10 \frac{N}{kg}

i obliczamy wartość otrzymanego wyrażenia.

F_{g} = 50 \cdot 10 = 500

Odpowiedź:
Ciężar ciała jest równym około $500 N$ .

W zastosowaniach praktycznych wykorzystywane są często wzory geometryczne.

Przykład 4

Prostopadłościenny zbiornik ma długość $10 m$ , szerokość $5 m$ i głębokość $3 m$ . Zbiornik wypełniony jest całkowicie wodą. Obliczymy, ile litrów wody znajduje się w tym zbiorniku.

Korzystamy ze wzoru:

V = a \cdot b \cdot c

gdzie
$V$ – objętość prostopadłościanu,
$a$ , $b$ , $c$ – wymiary prostopadłościanu.

Zamieniamy metry na decymetry i do wzoru podstawiamy odpowiednie liczby.

$a = 10 m = 100 dm$
$b = 5 m = 50 dm$
$c = 3 m = 30 dm$

V = 100 \cdot 50 \cdot 30 = 150000

150000 {dm}^{3} = 150000 l

Odpowiedź:
W zbiorniku znajduje się $150000 l$ wody.

W treści wielu zadań z elementami życia codziennego, niektóre wielkości zapisane są za pomocą liter. Wtedy odpowiedź do zadania ma najczęściej formę wyrażenia algebraicznegowyrażenie algebraicznewyrażenia algebraicznego.

Przykład 5

Pani Daria zarabia $m$ złotych miesięcznie, a jej mąż o $2000 zł$ więcej. Obliczymy, ile złotych łącznie zarobili małżonkowie przez $3, 5$ roku.

Pani Daria zarabia $m$ złotych miesięcznie, więc w ciągu $3, 5$ roku zarobi $3, 5 m \cdot 12 = 42 m$ złotych. Mąż pani Darii zarabia $(m + 2000)$ złotych miesięcznie, więc w ciągu $3, 5$ roku zarobi $3, 5 (m + 2000) \cdot 12 = 42 m + 84000$ złotych.

Łącznie zarobią więc:

42 m + 42 m + 84000 = 84 m + 84000

Odpowiedź:
Małżonkowie zarobią w ciągu $3, 5$ roku $84 m + 84000$ złotych.

Aby ułatwić rozwiązanie zadania, czasem warto oznaczyć pewne wielkości literami. Utworzone w ten sposób wyrażenie algebraicznewyrażenie algebraicznewyrażenie algebraiczne stanowi odpowiedź do zadania lub jest pomocne w obliczeniach.

Przykład 6

Włodek ma banknoty dwustuzłotowe, pięćdziesięciozłotowe i monety. Wiadomo, że wartość monet wynosi $140 zł$ . Ustalimy, ile pieniędzy ma Włodek.

Nie wiadomo ile banknotów danego rodzaju ma Włodek. Oznaczamy więc nieznane liczby literami.

$x$ – liczba banknotów dwustuzłotowych,
$y$ – liczba banknotów pięćdziesięciozłotowych.

Wtedy Włodek ma $200 x zł$ w banknotach dwustuzłotowych i $50 y zł$ w banknotach pięćdziesięciozłotowych.

Odpowiedź:
Kwota, którą dysponuje Włodek to $(200 x + 50 y + 140)$ złotych.

Przykład 7

Pan Jan musi pomalować $k$ jednakowych ławek ogrodowych. Pomalował już $ł$ ławek. Ustalimy, w ciągu ilu godzin pomaluje resztę ławek, jeżeli w ciągu godziny maluje $d$ ławek.

Pan Jan ma jeszcze do pomalowania $k - ł$ ławek. Skoro w ciągu godziny maluje $d$ ławek, to na pomalowanie pozostałych ławek potrzebuje $\frac{k - ł}{d}$ godzin.

Przykład 8

Państwo Kowalscy kupili telewizor, pralkę o $1200 zł$ tańszą od telewizora i robot kuchenny cztery razy droższy od telewizora. Całą kwotę za te zakupy będą musieli spłacić w trzech równych ratach. Obliczymy, ile złotych wyniesie jedna rata.

Oznaczmy:
$a$ – cena telewizora (w $zł$ )

Wtedy:
$a$ – $1200$ – cena pralki (w $zł$ ),
$4 a$ – cena robota kuchennego (w $zł$ ).

Państwo Kowalscy za zakupy muszą zapłacić

a + (a - 1200) + 4 a = 6 a - 1200 (zł)

Jedna rata będzie więc wynosiła

\frac{6 a - 1200}{3} (zł)

Zapiszemy otrzymane wyrażenie algebraicznewyrażenie algebraicznewyrażenie algebraiczne w postaci dwóch ułamków i skrócimy.

\frac{6 a - 1200}{3} = \frac{6 a}{3} - \frac{1200}{3} = 2 a - 400

Odpowiedź:
Jedna rata wyniesie $(2 a - 400)$ złotych, gdzie $a$ oznacza cenę telewizora.

Notatki

R1PiTeEcuFOIQ

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Animacje

Polecenie 1

Wyrażenia algebraiczne tworzone przez matematyków są narzędziami do opisu zjawisk i różnych efektów działalności człowieka. Dzięki umiejętności wykorzystania wyrażeń algebraicznych, łatwiejsze staje się rozwiązywanie problemów, którym trzeba stawić czoło w różnych codziennych sytuacjach.

RN5tuf9ZSVLco1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 2

W Stanach Zjednoczonych Ameryki jednostką pomiaru temperatury są stopnie Fahrenheita. Wzór przeliczający temperaturę podaną w stopniach Fahrenheita $t_{F}$ na temperaturę w stopniach Celsjusza: $t = \frac{5}{9} (t_{F} - 32)^{o} C$ .

Pewnego dnia temperatura powietrza była równa $77^{o} F$ . Określ tę temperaturę w stopniach Celsjusza.

RTYPX27FAIF5U

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

t = \frac{5}{9} (77 - 32) = \frac{5}{9} \cdot 45 = 25

Temperatura wynosiła $25^{o} C$ .

Polecenie 3

Skoczek narciarski, Alojzy, bierze udział w zawodach rozgrywanych na skoczni K– $120$ . Był dobrze przygotowany, więc skoczył na odległość $130 m$ . Ile punktów otrzymał za odległość?

RpHpvDZb6XFKy

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj ze wzoru zamieszczonego w Przykładzie $3$ na filmie.

Korzystamy ze wzoru

L_{d} = 60 + (d - 120) \cdot 1, 8

gdzie:
$L_{d}$ – liczba punktów za skok,
$d$ – długość skoku (w $m$ ).

L_{d} = 60 + (130 - 120) \cdot 1, 8

L_{d} = 60 + 10 \cdot 1, 8

L_{d} = 60 + 18 = 78

Odpowiedź:
Alojzy za długość skoku uzyskał $78$ punktów.

Polecenie 4

Zapoznaj się z filmem pokazującym sposoby rozwiązywania problemów z życia codziennego z wykorzystaniem wyrażeń algebraicznych. Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać przedstawione tam zadania, a dopiero następnie porównaj z przedstawionymi w filmie odpowiedziami.

R1R2YFLYxJ5AN

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 5

Przyrost naturalny to różnica między liczbą urodzeń żywych, a liczbą zgonów. Z reguły te wielkości przeliczane są na $100$ (lub na $1000$ ) mieszkańców i wtedy określane są jako stopa przyrostu naturalnego.

Stopę przyrostu naturalnego $S$ oblicza się według wzoru:

$S = \frac{U - Z}{L} \cdot 100 %$ ,

gdzie:
$U$ - liczba urodzeń, $Z$ - liczba zgonów, $L$ - ogólna liczba ludności.

W miejscowości Ustronie w $2022$ r. urodziło się $146$ dzieci, a zmarło 136 osób. Wszystkich mieszkańców było $2000$ . Oblicz stopę przyrostu naturalnego w tej miejscowości.

Rz2ZSoFgRTOB5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Korzystamy ze wzoru $S = \frac{U - Z}{L} \cdot 100 %$ .

Podstawiamy $U = 146$ , $Z = 136$ , $L = 2000$

$S = \frac{146 - 136}{2000} \cdot 100 %$ ,

$S = \frac{10}{2000} \cdot 100 % = 0, 5 %$ .

Odpowiedź:
Stopa przyrostu naturalnego w tej miejscowości wynosi $0, 5 %$ .

RuX09wLhcTbxZ1

Polecenie 6

Rozwiąż zadanie, korzystając z powyższego filmu.
Dziesięciu przedsiębiorców wita się każdy z każdym uściskiem ręki i wręcza przy tym poznanemu koledze wizytówkę. Ile było uścisków dłoni? Ile wizytówek wręczono?

Rbf7EFsrL4qgr

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$\frac{n (n - 1)}{2}$ – wzór na liczbę uścisków dłoni

$n (n - 1)$ – wzór na liczbę wizytówek

$\frac{10 \cdot (10 - 1)}{2} = 5 \cdot 9 = 45$ – tyle było uścisków dłoni

$10 \cdot (10 - 1) = 10 \cdot 9 = 90$ – tyle wizytówek wręczono

Polecenie 7

Długość $d$ nart (w $cm$ ) dla początkujących i średniozaawansowanych dobiera się według wzoru:
$d = w - 15$
gdzie:
$w$ – wzrost danej osoby (w $cm$ ).

Leon ma $52 cm$ wzrostu i jest początkującym narciarzem. Ustal, jakiej długości narty powinien kupić.

R1USy12AgMvqc

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Korzystamy ze wzoru:

$d = w - 15$ ,

do którego podstawiamy $w = 152$ . $d = 152 - 15 = 137$ .

Odpowiedź:
Leon powinien kupić narty długości $137 cm$ .

Polecenie 8

Alina ma akwarium w kształcie kuli o promieniu $12 cm$ . Oblicz objętość tego akwarium. Skorzystaj ze wzoru na objętość $V$ kuli: $V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot R^{3}$ ,
gdzie:
$R$ – promień kuli.
Przyjmij $π = 3, 14$ .

Ri13Jq74oifqJ

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

V = \frac{4}{3} \cdot 3, 14 \cdot 12^{3} = 7234, 56

V \approx 7, 2 l

Odpowiedź:
Objętość akwarium wynosi około $7, 2 l$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

RkeHQoyabBc3W

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1BOJtTSnyjah

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Przyjrzyj się ilustracji i wskaż, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

R12p4fo6Q3Wah

Ilustracja filiżanki razem ze spodkiem. Na ilustracji są dwa napisy "filiżanka 25 złotych" oraz "spodek a złotych". — Źródło: dostępny w internecie: pixabay, domena publiczna.

RMw8sLFOyrOuX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1HipzUtUmzNB

Ćwiczenie 4

Garnek waży

a kg

. Do garnka wlano

b kg

wody, wsypano

c kg

ziemniaków i postawiono na kuchni do gotowania.
Połącz w pary - pytanie i odpowiedzi. Ile kilogramów waży teraz garnek z zwartością? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Po pół godziny gotowania połowa wody wyparowała. Ile kilogramów waży teraz garnek z zawartością? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Do garnka dodano jeszcze

0, 5 kg

marchewki. Ile kilogramów waży teraz garnek z zawartością? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Ile waży zawartość garnka? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Ile ważą dwa puste takie garnki? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Pusty garnek waży tyle, ile zawartość garnka. Ile kilogramów waży garnek z zawartością? Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a

, 2.

2 b + 2 c

, 3.

a + b + c + 0, 5

, 4.

a + b + c

, 5.

b + c

, 6.

a + 0, 5 a + c

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RXWhtmWcFfABj

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1TTO9TxAdTvM

Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie litery. Na koncert przyszło

k

kobiet, Tu uzupełnij mężczyzn oraz

d

dzieci i teraz na widowni jest

2 d + k

wszystkich osób.Na parkingu stoi

m

samochodów osobowych oraz Tu uzupełnij samochodów ciężarowych i teraz na parkingu stoi

k + m

wszystkich samochodów.Za Tu uzupełnij metrów wstążki czerwonej w cenie

3 zł

za metr i trzy razy tyle metrów wstążki niebieskiej w tej samej cenie, zapłacono

12 m

złotych.Film jest o

m + p

dłuższy od reklam, które trwają Tu uzupełnij minut, więc cały film trwa

m + 2 p

minut.

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oblicz odpowiednią różnicę: $2 d + k - (k + d)$ .
Oblicz odpowiednią różnicę: $k + m - m$ .
Zauważ, że $12 m : 3 = 4 m$ .
Oblicz odpowiednią różnicę: $m + 2 p - (m + p)$ .

Ćwiczenie 7

Za $z$ metrów złotej koronki i $c$ metrów koronki amarantowej zapłacono $a$ złotych. Oblicz, ile kosztował metr złotej koronki, jeżeli metr amarantowej koronki kosztował $d$ złotych.

R1ezblc0SLMOe

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Za koronkę amarantową zapłacono $c d$ złotych.

Za koronkę amarantową zapłacono $c d$ złotych, zatem za złotą koronkę zapłacono $(a - c d)$ złotych.
Ponieważ kupiono $z$ metrów złotej koronki, więc metr złotej koronki kosztował $\frac{a - c d}{z}$ złotych.

Ćwiczenie 8

Na koncert przyszło $k$ kobiet. Mężczyzn było trzy razy tyle co kobiet, a dzieci dwa razy tyle, ile mężczyzn i kobiet razem. Po godzinie wyszło $10$ kobiet i $7$ dzieci, a przyszło $2$ mężczyzn. Oblicz, ile teraz osób jest na widowni.

R1c4vC2Fz7gwH

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Na koncert przyszło:
$k$ kobiet,
$3 k$ mężczyzn,
$2 (k + 3 k)$ dzieci.

Na koncert przyszło:
$k$ kobiet,
$3 k$ mężczyzn,
$2 (k + 3 k)$ dzieci.
Łącznie na koncert przyszło $k + 3 k + 2 (k + 3 k)$ osób.
Zapisujemy otrzymane wyrażenie w najprostszej postaci.

k + 3 k + 2 (k + 3 k) = 4 k + 2 k + 6 k = 12 k

Po godzinie wyszło $10$ kobiet i $7$ dzieci, a przyszło $2$ mężczyzn, zapiszemy ile osób zostało.

12 k - 10 - 7 + 2 = 12 k - 15

Odpowiedź:
Na widowni jest teraz $12 k - 15$ osób.

Ćwiczenie 9

Zegar w ciągu $a$ godzin spóźnia się $b$ minut. Oblicz, ile minut spóźni się w ciągu doby.

RaqxFffZHdL8S

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zegar w ciągu godziny spóźnia się $\frac{b}{a}$ minut.

Doba ma $24$ godziny. Zegar w ciągu godziny spóźnia się $\frac{b}{a}$ minut, a więc w ciągu doby spóźni się $\frac{b}{a} \cdot 24$ minuty.

Słownik

wyrażenie algebraiczne

wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, znaków działań, nawiasów.

Bibliografia

Stewart I., (2020), Po co nam matematyka, Warszawa: Prószyński i S‑ka.