Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Zapamiętaj!

Jeżeli przed nawiasem, w którym występuje suma algebraiczna, znajduje się znak plus lub nie ma żadnego znaku, to usuwając nawias, nie zmieniamy znaków przed wyrazami sumy.
Jeżeli przed nawiasem, w którym występuje suma algebraiczna, znajduje się znak minus, to usuwając nawias, zmieniamy znak każdego z wyrazów sumy na przeciwny.

R1SPw5S6Ndq4G1

Ćwiczenie 1

Czy nawias został poprawnie usunięty?

$(- a - b) - c = - a - b - c$
$- (a + b) + c = - a + b + c$
$c + (a + b) = c + a + b$
$- (a + b) + c = - a - b + c$
$c - (- a + b) = c + a + b$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKYzmMrE2mHOY11

Ćwiczenie 2

Zaznacz, w których przykładach nawias został poprawnie usunięty?

$- (- a - b) + c = a + b - c$
$- (- a - b) + c = a + b + c$
$a + (- b - c) = a - b + c$
$c - (- a + b) = c + a - b$
$a + (- b - c) = a - b - c$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROBImqdpUQv0N1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij równości zapisami bez użycia nawiasów. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłowe wyrażenie.

(a + b) - c =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

2 a + (- d + b) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

(- x - y) + (z - 1) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

- (7 a + 4 b - c) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

- (3 a - 2 b) + (- c - d) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

4 - (- a + 2 b) + 4 c =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

10 x y - (- x + 10 y - 10) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

(x y - y) + (- z + x y z) - (- x z - y z) =

- 3 a + 2 b - c - d

, 2.

10 x y + x + 10 y - 10

, 3.

2 a - d + b

, 4.

10 x y + x - 10 y + 10

, 5.

x - y - z - 1

, 6.

- x - y + z - 1

, 7.

4 + a - 2 b + 4 c

, 8.

a + b - c

, 9.

- 7 a - 4 b + c

, 10.

x y - y - z + x y z + x z + y z

, 11.

4 - a + 2 b + 4 c

, 12.

- 7 a - 4 b - c

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R7AFvfXsDxrQW21

Ćwiczenie 4

Połącz w pary takie sumy algebraiczne, które są sobie równe.

x + 2 y - z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

- x - 2 y - z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

- x + 2 y + z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

x + 2 y - z - w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

x - 2 y - z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

- x + 2 y + z - w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

x - 2 y + z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

- x + 2 y - z + w

Możliwe odpowiedzi: 1.

- (- x - 2 y) - (z + w)

, 2.

(- x - 2 y) + (- z + w)

, 3.

(- x + 2 y) + (z + w)

, 4.

(x + 2 y) - (z - w)

, 5.

- (x - 2 y) + (- z + w)

, 6.

- (- x + 2 y) - (- z - w)

, 7.

(x - 2 y) - (z - w)

, 8.

(- x + 2 y) - (- z + w)

Połącz w pary takie same sumy algebraiczne.

$x + 2 y - z + w$
$- x - 2 y - z + w$
$- x + 2 y + z + w$
$x + 2 y - z - w$
$x - 2 y - z + w$
$- x + 2 y + z - w$
$x - 2 y + z + w$
$- x + 2 y - z + w$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLzbHZROKGwFv1

Ćwiczenie 5

Wyrażenie $(a - 6 b) - (- a + 3 b)$ po usunięciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych jest równe

$2 a - 9 b$
$- 3 b, 3 b, 2 a + 9 b$
$- 2 a - 9 b$
$2 a - 3 b$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eSJvheYlG7c21

Ćwiczenie 6

Połącz w pary takie sumy algebraiczne, które są sobie równe.

3 a - 4 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

2 a - 4 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

3 a + 5 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

3 a - 2 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

- a + b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

- a - 3 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

- 3 a - 2 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

- 6 a - 3 b

Możliwe odpowiedzi: 1.

(- 5 a - 2 b) + (- a - b)

, 2.

- (- 3 a + b) - (3 b + a)

, 3.

(a + b) + (2 a - 3 b)

, 4.

10 a - (7 a + b) - 3 b

, 5.

- (2 a - 3 b) - (- a + 2 b)

, 6.

2 a + (- 4 a + 6 b) + (- 8 b - a)

, 7.

(a - 3 b) + (- a + 3 b) - (a + 3 b)

, 8.

a + 3 b - (- 2 a - 2 b)

Połącz w pary takie same sumy algebraiczne.

$3 a - 4 b$
$2 a - 4 b$
$3 a + 5 b$
$3 a - 2 b$
$- a + b$
$- a - 3 b$
$- 3 a - 2 b$
$- 6 a - 3 b$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QN1pFbaCLov2

Ćwiczenie 7

Wyrażenie $- (- x + xy - 2 y) + (x - y) - (- 2 x + xy)$ po usunięciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych jest równe

$4 x - 2 xy + y$
$2 x - 2 xy + y$
$4 x + y$
$4 x - 2 xy + 3 y$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1akDwYupaEN92

Ćwiczenie 8

Zapisz każdą sumę algebraiczną w najprostszej postaci. Zaznacz równe sumy.

$2 x - (- x + 4)$
$- (3 x + 4) + 6 x$
$- x - (- 2 x + 4)$
$x + (2 x - 1) - 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFlYRz2Smhejf2

Ćwiczenie 9

Zapisz każdą z sum algebraicznych w najprostszej postaci. Zaznacz równe sumy.

$(2 x - 3 y) - (- 4 x + 7 y)$
$- (- 3 x - 9 y) + (3 x + y)$
$(- 6 y + 7 x) - (x + 4 y)$
$- (x + 3 y) + (7 x - 7 y)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10QSyncYGnre2

Ćwiczenie 10

Zapisz każdą z sum algebraicznych w najprostszej postaci. Zaznacz równe sumy.

$- (- 2 x^{2} + 3) + (- x^{2} + 8)$
$- (x^{2} - 4) + (2 x^{2} + 9)$
$(3 x^{2} + 1) - (2 x^{2} - 4)$
$(- 4 x^{2} - 4) + (5 x^{2} + 9)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIoEBcoo7rUDo2

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy podana równość jest prawdziwa, czy fałszywa.

$(a + b) + (a + b) + (a + b) = 3 a + 3 b$
$(x^{2} + y^{2}) - (- x^{2} - y^{2}) = 0$
$(a - b) + (a - b) + (a - b) =$ $3 a - 3 b$
$1 - (x - (x + 1) - 1) = - 1$
$1 - (- a + 3 b) + (- a + 3 b) =$ 1
$- (a^{3} + a^{2}) + (3 a^{2} + a^{3}) - 2 a^{2} = 2 a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REvJNRWRMZSbP21

Ćwiczenie 12

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadającą jej uproszczoną postać.

(- a + b) + b

Możliwe odpowiedzi: 1.

0

, 2.

2 a

, 3.

- 2 a - b

, 4.

- a + 2 b

, 5.

b

a + (- a + b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

0

, 2.

2 a

, 3.

- 2 a - b

, 4.

- a + 2 b

, 5.

b

(a - b) + (a + b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

0

, 2.

2 a

, 3.

- 2 a - b

, 4.

- a + 2 b

, 5.

b

(- a + b) + (a - b)

Możliwe odpowiedzi: 1.

0

, 2.

2 a

, 3.

- 2 a - b

, 4.

- a + 2 b

, 5.

b

(- a - b) + (- a)

Możliwe odpowiedzi: 1.

0

, 2.

2 a

, 3.

- 2 a - b

, 4.

- a + 2 b

, 5.

b

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadającą jej uproszczoną postać.

$(- a + b) + b$
$a + (- a + b)$
$(a - b) + (a + b)$
$(- a + b) + (a - b)$
$(- a - b) + (- a)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aLjC0a0qRBh21

Ćwiczenie 13

Przeciągnij i upuść.

$6 x$ , $3 x$ , $7 x$ , $8 x$

a) $(2 x - 6 a) + (- 5 a -$ ............ $) = - 11 a - 6 x$
b) $- (- 8 x + 3 s) - ($ ............ $+ 6 s) = 2 x - 9 s$
c) $($ ............ $- b) - (- 7 x + 3 b) = 10 x - 4 b$
d) $- (12 d +$ ............ $) + 18 d - x = 6 d - 8 x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWXLoi70x0DXC2

Ćwiczenie 14

Wybierz właściwy zapis po opuszczeniu nawiasów oraz redukcji wyrazów podobnych. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

(2 a - 3 b - 1) - (- 3 a - b + \frac{1}{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

- (a b + 4) + (- 5 a b - \frac{1}{3}) - (2 - 3 a b) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

(- x^{2} + 3 x) + (- 1, 3 x^{2} - 3, 03 x + 1, 9) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

16 x^{2} y - (- x y + 1, 6 x^{2} y) + (- 5 x y - y x^{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

12 \frac{1}{3} k^{2} m + (m + 2 k^{2}) - (1 \frac{1}{4} k^{2} m - 2 m - \frac{1}{6} k^{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

2 x^{2} + 3 z^{2} - (5 x^{2} + z^{2} - (- 4 x^{2} - 10 z^{2})) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

13 r s - (- 2 s + r) - 6, 8 s + (- 10 r s - 4, 3 s + 0, 2 r) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

- (12 x - 8 y + 6 z) + x + y + z - (- 2 x - 3 y + 5 z) + (- y + z) + (x - y - z) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

Wybierz właściwy zapis po opuszczeniu nawiasów oraz redukcji wyrazów podobnych. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

(2 a - 3 b - 1) - (- 3 a - b + \frac{1}{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

- (a b + 4) + (- 5 a b - \frac{1}{3}) - (2 - 3 a b) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

(- x^{2} + 3 x) + (- 1, 3 x^{2} - 3, 03 x + 1, 9) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

16 x^{2} y - (- x y + 1, 6 x^{2} y) + (- 5 x y - y x^{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

12 \frac{1}{3} k^{2} m + (m + 2 k^{2}) - (1 \frac{1}{4} k^{2} m - 2 m - \frac{1}{6} k^{2}) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

2 x^{2} + 3 z^{2} - (5 x^{2} + z^{2} - (- 4 x^{2} - 10 z^{2})) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

13 r s - (- 2 s + r) - 6, 8 s + (- 10 r s - 4, 3 s + 0, 2 r) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

- (12 x - 8 y + 6 z) + x + y + z - (- 2 x - 3 y + 5 z) + (- y + z) + (x - y - z) =

17, 6 x^{2} y + 6 x y

, 2.

- a b + 1 \frac{2}{3}

, 3.

10 \frac{3}{4} k^{2} m + 3 m + 1 \frac{5}{6} k^{2}

, 4.

- 2, 3 x^{2} + 6, 03 x + 1, 9

, 5.

- 8 x + 10 y - 10 z

, 6.

- a - 4 b - \frac{1}{2}

, 7.

11 \frac{1}{12} k^{2} m + 3 m + 2 \frac{1}{6} k^{2}

, 8.

23 r s + 4, 5 s - 0, 8 r

, 9.

- 8 x + 9 y - 11 z

, 10.

13, 4 x^{2} y - 4 x y

, 11.

x^{2} + 12 z^{2}

, 12.

3 r s - 9, 1 s - 0, 8 r

, 13.

- 7 x^{2} - 8 z^{2}

, 14.

- 3 a b - 6 \frac{1}{3}

, 15.

- 2, 3 x^{2} - 0, 03 x + 1, 9

, 16.

5 a - 2 b - 1 \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYbmSLcXvkmEb21

Ćwiczenie 15

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi jednomianami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdej równości.

(3 x + 6 a) - (- 5 a +

9 x

, 2.

- 8 g

, 3.

- 17 a

, 4.

- 8 x

, 5.

4 r

, 6.

- 9 g

, 7.

8 x

, 8.

6 r

, 9.

- 6 r

, 10.

- 9 x

, 11.

- 5 a

, 12.

17 a

, 13.

8 g

, 14.

- 8 x

, 15.

9 g

, 16.

5 a

) = 11 a - 6 x

- (- 7 r + 3 s) - (

9 x

, 2.

- 8 g

, 3.

- 17 a

, 4.

- 8 x

, 5.

4 r

, 6.

- 9 g

, 7.

8 x

, 8.

6 r

, 9.

- 6 r

, 10.

- 9 x

, 11.

- 5 a

, 12.

17 a

, 13.

8 g

, 14.

- 8 x

, 15.

9 g

, 16.

5 a

+ 6 s) = r - 9 s

(

9 x

, 2.

- 8 g

, 3.

- 17 a

, 4.

- 8 x

, 5.

4 r

, 6.

- 9 g

, 7.

8 x

, 8.

6 r

, 9.

- 6 r

, 10.

- 9 x

, 11.

- 5 a

, 12.

17 a

, 13.

8 g

, 14.

- 8 x

, 15.

9 g

, 16.

5 a

+ b) + (- 7 a + 3 b) = - 2 a + 4 b

- (3 d +

9 x

, 2.

- 8 g

, 3.

- 17 a

, 4.

- 8 x

, 5.

4 r

, 6.

- 9 g

, 7.

8 x

, 8.

6 r

, 9.

- 6 r

, 10.

- 9 x

, 11.

- 5 a

, 12.

17 a

, 13.

8 g

, 14.

- 8 x

, 15.

9 g

, 16.

5 a

) + 7 d = 4 d - 8 g

Wybierz.

$8 g$ , $9 x$ , $4 r$ , $6 r$ , $- 8 x$ , $- 6 r$ , $- 5 a$ , $17 a$ , $- 9 x$ , $- 9 g$ , $9 g$ , $- 8 x$ , $- 8 g$ , $- 17 a$ , $8 x$ , $5 a$

a) $(3 x + 6 a) - (- 5 a +$ .............. $) = 11 a - 6 x$
b) $- (- 7 r + 3 s) - ($ .............. $+ 6 s) = r - 9 s$
c) $($ .............. $+ b) + (- 7 a + 3 b) = - 2 a + 4 b$
d) $- (3 d +$ .............. $) + 7 d = 4 d - 8 g$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZ4wHb0SVw0RJ2

Ćwiczenie 16

Niech

A = x^{2} - 3 x + 1

B = - 4 x^{2} - 3

C = 6 x + 12

D = - 3 x^{2} - 5 x + 2

. Uzupełnij poniższe zdania odpowiednimi wyrażeniami algebraicznymi tak, aby były one zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź. Wartość wyrażenia

A + B + C

wynosi 1.

- 2 x^{2} - 14 x - 9

, 2.

- 3 x^{2} + 3 x + 10

, 3.

- 2 x + 4

, 4.

- 5 x^{2} + 9 x + 8

, 5.

- 2 x^{2} + 8 x - 6

.Wartość wyrażenia

B - D - A

wynosi 1.

- 2 x^{2} - 14 x - 9

, 2.

- 3 x^{2} + 3 x + 10

, 3.

- 2 x + 4

, 4.

- 5 x^{2} + 9 x + 8

, 5.

- 2 x^{2} + 8 x - 6

.Wartość wyrażenia

A - C + D

wynosi 1.

- 2 x^{2} - 14 x - 9

, 2.

- 3 x^{2} + 3 x + 10

, 3.

- 2 x + 4

, 4.

- 5 x^{2} + 9 x + 8

, 5.

- 2 x^{2} + 8 x - 6

.Wartość wyrażenia

D - A - B

wynosi 1.

- 2 x^{2} - 14 x - 9

, 2.

- 3 x^{2} + 3 x + 10

, 3.

- 2 x + 4

, 4.

- 5 x^{2} + 9 x + 8

, 5.

- 2 x^{2} + 8 x - 6

.Wartość wyrażenia

C + B - A

wynosi 1.

- 2 x^{2} - 14 x - 9

, 2.

- 3 x^{2} + 3 x + 10

, 3.

- 2 x + 4

, 4.

- 5 x^{2} + 9 x + 8

, 5.

- 2 x^{2} + 8 x - 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rua8JbEHm1u2b2

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RqVRSbo1mhRCp2

Ćwiczenie 18

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RiHhNClQalnxL

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Podaj przykład dwóch wyrażeń algebraicznych, których suma jest równa

$- y^{3} - 3 y^{2} + 1,2 y - 0,3$
$0,6 a^{2} - 0,2 a - 3 b$

R193jpRQzHeOb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na przykład:

$- y^{3} - 3 y^{2}$ , $1,2 y - 0,3$
$a^{2} + a + 6 b$ , $- 0,4 a^{2} - 1,2 a - 9 b$

Ćwiczenie 21

Podaj przykład dwóch wyrażeń algebraicznych, których różnica jest równa

$10 x^{2} - x - \frac{2}{5}$
$2 a^{2} b + a b + 7 a b^{2} + 3 b$

R1Sgo7btejjL8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na przykład:

$6 x^{2} - 10 x + \frac{2}{5}$ , $- 4 x^{2} - 9 x + \frac{4}{5}$
$3 a^{2} b + a b - a b^{2} - 4 b$ , $a^{2} b - 8 a b^{2} - 7 b$

RxtU0RNHeX1bj3

Ćwiczenie 22

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi wyrażeniami algebraicznymi w najprostszej postaci. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

- (x - [- x - (x - (- x) + 1) - 1]) =

6 x - 2

, 2.

- 4 x + 2

, 3.

9 x^{2} + 2

, 4.

- 4 x - 2

, 5.

5 x^{2} - 2 x - 2

, 6.

4 x + 2

, 7.

- 6 x - 2

, 8.

4 x - 2

, 9.

7 x^{2} + 2

4 x + (- [- (2 x - 1) - (- 2 x + 1)] + 2) - 4 =

6 x - 2

, 2.

- 4 x + 2

, 3.

9 x^{2} + 2

, 4.

- 4 x - 2

, 5.

5 x^{2} - 2 x - 2

, 6.

4 x + 2

, 7.

- 6 x - 2

, 8.

4 x - 2

, 9.

7 x^{2} + 2

7 x^{2} - (- [- (x^{2} + x + 1) + (- x^{2} - x + 1)] - (2 x^{2} + 2 x + 2)) =

6 x - 2

, 2.

- 4 x + 2

, 3.

9 x^{2} + 2

, 4.

- 4 x - 2

, 5.

5 x^{2} - 2 x - 2

, 6.

4 x + 2

, 7.

- 6 x - 2

, 8.

4 x - 2

, 9.

7 x^{2} + 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

Dane są wyrażenia algebraiczne.

${A = a}^{3} + 2 a^{2} + 2 a$

$B = - 2 a^{2} - 4 a$

$C = - 2 a^{3} + 6 a + 1$

$D = a^{3} + 2 a - 3$

Wstaw nawiasy w wyrażeniach, tak aby była prawdziwa równość:

$A + B - C - D = 4 a^{3} - 6 a - 4$
$- A - B - C - D = - 2 a^{3} + 10 a - 2$
$- D + A - B - C = - 4 a^{3} + 6 a + 4$

R1SezUPhWsOVj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A + B - (C - D)$
$- A - (B - C - D)$
$- (D + A) - (B - C)$

Ćwiczenie 24

Podaj przykład takich sum algebraicznych $A$ i $B$ , aby prawdziwa była równość

$A + B = x^{2}$ i $B - A = - 4$
$A + B = 10 x^{2}$ i $A - B = 2 x^{2} + 6 x - 2$
$A + B = x^{3} + 1$ i $A - B = \frac{1}{5} x^{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3}$

R1QfoTl4NA6vw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A = 0,5 x^{2} + 2$ , $B = 0,5 x^{2} - 2$
$A = 6 x^{2} + 3 x - 1$ , $B = 4 x^{2} - 3 x + 1$
$A = \frac{3}{5} x^{3} - \frac{1}{4} x + \frac{1}{3}$ , $B = \frac{2}{5} x^{3} + \frac{1}{4} x + \frac{2}{3}$

Ćwiczenie 25

Uzasadnij, że wartość liczbowa wyrażenia
$x^{4} - \{- x^{3} - [- x^{2} - (- x + 1 + x^{2}) + x] + 2 x\} - [x^{3} - x^{2} + (- x^{2} - 5)]$
dla każdej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

R1PYc5DctVz66

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x^{4} + 4 > 0$ dla każdej liczby ujemnej.