Dodawanie i odejmowanie wyrażeń algebraicznych

Tabelka przedstawia sumy algebraiczne i wyrazy tych sum.

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $W=10+6x-4x+7x-9$.

Grupujemy wyrazy podobne i wykonujemy dodawanie.

Zapiszemy za pomocą wyrażenia algebraicznego:

1. sumę czterech kolejnych liczb naturalnych,

2. sumę czterech kolejnych liczb naturalnych nieparzystych,

3. sumę czterech kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez trzy.

Rozwiązanie:

1. Oznaczmy przez $n$ najmniejszą z rozważanych liczb naturalnych. Kolejne liczby naturalne różnią się o $1$.
   Wtedy:
   $n$ – pierwsza liczba naturalna,
   $n+1$ – druga liczba naturalna,
   $n+2$ – trzecia liczba naturalna,
   $n+3$ – czwarta liczba naturalna.
   Suma liczb:
   $n+n+1+n+2+n+3=\left(n+n+n+n\right)+\left(1+2+3\right)=4n+6$.

2. $\text{I}$ sposób:
   Oznaczmy przez $m$ najmniejszą z rozważanych liczb nieparzystych naturalnych. Kolejne liczby różnią się o $2$.
   Zatem:
   $m$ – pierwsza liczba nieparzysta,
   $m+2$ – druga liczba nieparzysta,
   $m+4$ – trzecia liczba nieparzysta,
   $m+6$ – czwarta liczba nieparzysta.
   Suma liczb:
   $m+m+2+m+4+m+6=4m+12$.
   
   $\text{II}$ sposób:
   Kolejne liczby nieparzyste to: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $\dots$ Są to liczby, które przy dzieleniu przez $2$ dają resztę $1$.
   Oznaczmy przez $n$ dowolną liczbę naturalną dodatnią. Wtedy cztery kolejne liczby nieparzyste można zapisać w postaci:
   $2n+1$, $2n+3$, $2n+5$, $2n+7$.
   Suma liczb:
   $2n+1+2n+3+2n+5+2n+7=8n+16$.

3. $\text{I}$ sposób:
   Oznaczmy przez $m$ pierwszą z rozważanych liczb podzielnych przez $3$. Kolejne liczby podzielne przez $3$ różnią się o $3$.
   Wtedy:
   $m$ – pierwsza liczba podzielna przez trzy,
   $m+3$ – druga liczba podzielna przez trzy,
   $m+6$ – trzecia liczba podzielna przez trzy,
   $m+9$ – czwarta liczba podzielna przez trzy.
   Suma liczb:
   $m+m+3+m+6+m+9=4m+18$.
   
   $\text{II}$ sposób:
   Kolejne liczby naturalne podzielne przez trzy to: $0$, $3$, $6$, $9$, $12$, $\dots$ Są to kolejne wielokrotności liczby trzy.
   Oznaczmy przez $n$ dowolną liczbę naturalną.
   Wtedy cztery kolejne wielokrotności liczby trzy można zapisać w postaci: $3n$, $3n+3$, $3n+6$, $3n+9$.
   Suma liczb:
   $3n+3n+3+3n+6+3n+9=12n+18$.

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, stanowiące odpowiedź do poniższego zadania.

W sadzie rosną grusze, śliwy, jabłonie i czereśnie. Grusz jest dwa razy więcej niż śliw, jabłoni jest tyle ile grusz i śliw razem. Czereśni rosło początkowo trzy razy tyle ile pozostałych drzew.

Niestety wichura zniszczyła pięć czereśni.

Obliczymy, ile co najmniej wszystkich drzew rośnie teraz w sadzie.

Oznaczymy przez $s$ liczbę śliw rosnących w ogrodzie, przez $L$ liczbę wszystkich drzew rosnących w ogrodzie. Potrzebne dane zamieścimy w tabelce.

Aby obliczyć ile wszystkich drzew rośnie w ogrodzie, dodajemy liczbę rosnących tam śliw, grusz, jabłoni i czereśni.

Redukujemy wyrazy podobne i wykonujemy dodawanie w nawiasie.

Najmniejszą liczbą naturalną dodatnią jest jeden.

$24·1-5=24-5=19$

Odpowiedź:
W sadzie rośnie co najmniej $19$ drzew.

Niech $W=4x-y+5$ i $U=x+2y-5$. Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $W+U$

Opuszczamy nawiasy (nie zmieniając znaków!) i redukujemy wyrazy podobne.

Niech $W=3a-4b+c$ i $U=-a-4b+2c$. Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $W-U$.

Opuszczając nawiasy, zmieniamy znaki w wyrażeniu $\left(-a-4b+2c\right)$ na przeciwne.

Redukujemy wyrazy podobne.

Krystian wybrał się rowerem z miejscowości Pojutrze do miejscowości Przedwczoraj, oddalonej o $60 \mathrm{km}$. Pierwszego dnia przejechał $\left(2a-3\right) \mathrm{km}$, drugiego dnia $\left(a-8\right) \mathrm{km}$, a pozostałą część drogi przebył trzeciego dnia.

Obliczymy, ile kilometrów przejechał Krystian trzeciego dnia.

R7NHmnmgbIsZ2

Ilustracja przedstawia oś podzieloną na trzy części. Po lewej stronie osi znajduje się zdjęcie miasta z podpisem Pojutrze, a po prawej stronie osi zdjęcie miasteczka z podpisem Przedwczoraj. Cała oś podpisana jest jako sześćdziesiąt kilometrów. Pierwszą część osi czytaną od lewej podpisano dwa "a" minus trzy kilometry, kolejną część "a" minus osiem kilometrów. Pod ostatnią częścią znajduje się znak zapytania.

Pierwszego i drugiego dnia Krystian przejechał łącznie $\left[\left(2a-3\right)+\left(a-8\right)\right] \mathrm{km}$.

Zatem do przejechania zostało mu

$\left\{60-\left[\left(2a-3\right)+\left(a-8\right)\right]\right\} \mathrm{km}$.

Zapiszemy otrzymane wyrażenie w najprostszej postaci. Najpierw wykonujemy działania w nawiasie kwadratowym.

Przed nawiasem stoi znak minus – opuszczając nawias, zmieniamy znaki w nawiasie na przeciwne.

Odpowiedź:
Krystian trzeciego dnia przejechał $\left(71-3a\right) \mathrm{km}$.

sumą algebraiczną nazywamy sumę jednomianów.

wyrażenie będące iloczynem liczb i liter (może być też sama liczba lub sama litera).