Dowody geometryczne

Slajd pierwszy:

Lektor mówi: Zapoznaj się z dowodami kilku prostych związków miarowych w wielokątach oraz w znanych ci figurach przestrzennych.

Na filmie pokazana jest animacja figur przesuwających się po planszy.

Slajd drugi:

Lektor mówi: Przykład pierwszy. Udowodnimy teraz ciekawą własność trójkąta, która wynika bezpośrednio z warunku wiążącego długości boków trójkąta.

Na filmie pokazana jest treść zadania: Na boku $AC$ trójkąta $ABC$ zaznaczono punkt $D$. Udowodnimy, że $\left|AB\right|+\left|BC\right|-\left|AC\right|<2\left|BD\right|$.

Lektor mówi: Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Na filmie pojawia się trójkąt $ABC$. Na boku trójkąta $AC$ zaznaczono punkt $D$. Odrębnym kolorem zaznaczony jest trójkąt $ABD$.

Lektor mówi: Skorzystamy z warunku budowy trójkąta. Rozpatrujemy trójkąt $ABD$.

Na filmie pojawia się napis: Boki trójkąta $ABD$ spełniają nierówność: $\left|AB\right|<\left|AD\right|+\left|BD\right|$.

Lektor mówi: Rozpatrujemy trójkąt $BCD$.

Na filmie na wcześniej narysowanym trójkącie podświetlają się boki $CB$, $BD$, $DC$ tworząc trójkąt $BCD$.

Lektor mówi: Dodajemy stronami zapisane nierówności.

Na filmie pokazane jest dodawanie pod kreską. Dodawane są dwie nierówności $\left|AB\right|<\left|AD\right|+\left|BD\right|$ oraz $\left|BC\right|<\left|DC\right|+\left|BD\right|$. Otrzymany wynik, to $\left|AB\right|+\left|BC\right|<\left|AD\right|+\left|BD\right|+\left|DC\right|+\left|BD\right|$.

Lektor mówi: Zauważmy, że suma odcinków $AD$ i $DC$ jest równa odcinkowi $AC$.

Na filmie pojawiają się obliczenia: $\left|AB\right|+\left|BC\right|<\left|AD\right|+\left|DC\right|+2\left|BD\right|$ stąd $\left|AB\right|+\left|BC\right|<\left|AC\right|+2\left|BD\right|$.

Lektor mówi: Od obu stron nierówności odejmujemy $AC$ i otrzymujemy dowodzoną nierówność. Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Na filmie pojawia się nierówność $\left|AB\right|+\left|BC\right|-\left|AC\right|<2\left|BD\right|$.

Slajd trzeci:

Lektor mówi: Przykład drugi. Udowodnimy teraz własność trójkąta równoramiennego, którą z reguły przyjmujesz jako oczywistą.

Na grafice interaktywnej pokazana jest treść zadania: Udowodnimy, że w trójkącie równoramiennym $ABC$ dwusieczne $AD$ i $BE$ kątów przy podstawie są równe. Pod treścią zadania jest narysowany trójkąt $ABC$. Na bokach trójkąta $AC$ i $BC$ są zaznaczone odpowiednio punkty $E$ oraz $D$ tworząc dwusieczne $AD$ i $BE$. Na grafice są dodane cztery punkty interaktywne, w których są ukyte treści.

Punkt pierwszy. Rozpatrujemy trójkąty $ABE$ i $ABD$. Mają one wspólny bok $AB$. Dodana jest grafika trójkąta $ABC$ z wyróżnioną innym kolorem podstawą $AB$.

Punkt drugi. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Dodana jest grafika trójkąta $ABC$ z zaznaczonymi przy podstawie $AB$ równymi kątami. Zapisana jest równość $\left|\angle EAB\right|=\left|\angle ABD\right|$.

Punkt trzeci. Kąt $ABE$ jest połową kąta $ABD$. Kąt $BAD$ to połowa kąta $EAD$. Połowy kątów równych są równe. Dodana jest grafika trójkąta $ABC$ z zaznaczonymi przy podstawie $AB$ kątami. Zapisana jest równość $\left|\angle ABE\right|=\left|\angle BAD\right|$.

Punkt czwarty: Z trzeciej cechy przystawania trójkątów wiemy, że dwa trójkąt są przystające, jeżeli mają jeden bok równy i dwa kąty przy tym boku równe.
Trójkąty $ABE$ i $ABD$ spełniają ten warunek, więc są przystające. Dodana jest grafika trójkąta $ABC$ z zaznaczonymi przy podstawie $AB$ kątami. Dodatkowo w trójkącie wyróżnione są trójkąty $ABE$ i $ABD$. Zapisana jest tożsamość $△ABE\equiv △ABD$.

Slajd czwarty:

Lektor mówi: Trójkąty przystające mają odpowiadające sobie boki równe. Zatem długości $AD$ i $BE$ dwusiecznych kątów przy podstawie trójkąta $ABC$ są równe, co należało udowodnić.

Na grafice z poprzedniego slajdu pojawia się równość $\left|AD\right|=\left|BE\right|$.

Slajd piąty:

Lektor mówi: Przykład trzeci. Pokażemy teraz, jak znaleźć sumę kątów pięciokąta, korzystając z własności kątów trójkąta. Wykonujemy rysunek pomocniczy. Rysujemy dowolny pięciokąt.

Na grafice interaktywnej dodana jest treść zadania: Wykażemy, że suma kątów pięciokąta jest równa ${540}^{\circ }$ oraz narysowany dowolny pięciokąt. Na grafice są dodane dwa punkty interaktywne, w których są ukryte treści.

Punkt pierwszy. Dzielimy pięciokąt na trzy trójkąty. Dodana jest grafika pięciokąta, gdzie z jednego wierzchołka rozchodzą się dwa odcinki, dzieląc tą figurę na trzy trójkąty.

Punkt drugi. Suma kątów w każdym z trójkątów jest równa $180°$. Dodana jest grafika pięciokąta podzielonego na trzy trójkąty. Zaznaczone jest, że suma kątów każdego z tych trójkątów jest równa $180°$.

Slajd szósty:

Lektor mówi: Suma kątów pięciokąta jest równa sumie kątów tych trójkątów.

Na grafice z poprzedniego slajdu pojawia się działanie: ${180}^{\circ }+{180}^{\circ }+{180}^{\circ }={540}^{\circ }$.

Slajd siódmy:

Lektor mówi: Przykład czwarty. Udowodnimy teraz przydatną własność rombu, korzystając z własności trójkąta równobocznego. Spróbuj udowodnić tę własność, korzystając z własności kątów trójkąta prostokątnego.

Na filmie dodana jest treść zadania: W rombie jedna z przekątnych jest równa bokowi. Wykażemy, że kąt rozwarty tego rombu jest dwa razy większy od kąta ostrego.

Lektor mówi: Wykonujemy rysunek pomocniczy. W rombie wszystkie boki są równe. Oznaczmy przez a długość jednego boku. A wierzchołki rombu przez $A$, $B$, $C$, $D$. Zaznaczmy przekątną, która jest równa długości boku rombu.

Na filmie pojawia się romb $ABCD$ z zaznaczoną przekątną $AC$. Boki $AC$, $CD$, $DA$ są oznaczone małą literą $a$.

Lektor mówi: Przekątna $AC$ podzieliła romb na dwa trójkąty równoboczne. Każdy kąt trójkąta równobocznego ma miarę ${60}^{\circ }$.

W filmie na rysunku przedstawiającym romb pojawiają się zaznaczone kąty $\angle DAC$, $\angle ACD$,$\angle CDA$, $\angle CAB$, $\angle ABC$ oraz $\angle BCA$, każdy z nich ma miarę $60°$.

Lektor mówi: Zatem kąt ostry rombu ma miarę ${60}^{\circ }$, a kąt rozwarty ${120}^{\circ }$. Wynika z tego, że kąt rozwarty jest dwa razy większy od kąta ostrego, co należało udowodnić.

Na filmie pojawiają się trzy równości. Pierwsza $\left|\angle ADC\right|=60°$. Druga $\left|\angle DCB\right|=60°+60°=120°$. Trzecia $\left|\angle DCB\right|=2\left|\angle ADC\right|$.

Slajd ósmy:

Lektor mówi: Przykład piąty. Nim rozwiążemy następne zadanie, przypomnijmy, że sześcian to prostopadłościan, w którym wszystkie krawędzie są równe. Długości krawędzi czerwonych sześcianów są podane, więc możemy obliczyć ich objętości.

Na grafice interaktywnej jest zapisana treść zadania: Dane są czerwone sześciany o krawędziach równych odpowiednio $3$, $4$, $5$. Wykażemy, że długość krawędzi zielonego sześcianu, którego objętość jest równa sumie objętości czerwonych sześcianów jest o $2$ większa od średniej arytmetycznej długości krawędzi czerwonych sześcianów. Pod treścią zadania są narysowane cztery sześciany. Trzy czerwone i jeden zielony. Każdy z nich ma inną długość krawędzi. Czerwone sześciany mają długości krawędzi $3$, $4$, $5$. Zielony sześcian ma krawędzie długości $x$. Pod każdym sześcianem jest punkt interaktywny, w którym są ukryte treści.

Pod sześcianem o krawędzi długości $3$ jest punkt interaktywny skrywający treść: $V_1=3^3=27$
objętość sześcianu o krawędzi długości $3$.

Pod sześcianem o krawędzi długości $4$ jest punkt interaktywny skrywający treść: $V_2=4^3=64$
objętość sześcianu o krawędzi długości $4$.

Pod sześcianem o krawędzi długości $5$ jest punkt interaktywny skrywający treść: $V_3=5^3=125$
objętość sześcianu o krawędzi długości $5$.

Slajd dziewiąty:

Lektor mówi: Obliczamy sumę objętości czerwonych sześcianów i długość krawędzi zielonego sześcianu. Wyznaczymy średnią arytmetyczną długości krawędzi czerwonych sześcianów i porównamy z długością krawędzi zielonego sześcianu.

Na grafice znikają sześciany, a pojawiają się następujące obliczenia: $V=V_1+V_2+V_3$, $V=27+64+125=216$, $V=x^3$, $x^3=216$, $x=6$, $śr=\frac{3+4+5}{3}=4$.

Lektor mówi: Krawędź ta jest o $2$ większa od obliczonej średniej, co należało udowodnić.

Na ekranie pojawia się równość: $6=4+2$.

Slajd dziesiąty:

Lektor mówi: Przykład szósty. Obliczymy długość przekątnej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. W tym celu rozważmy trójkąt prostokątny $ABC$, którego jedna przyprostokątna to przekątna podstawy, a druga to wysokość prostopadłościanu. Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Na grafice interaktywnej pojawia się treść zadania: Wykażemy, że przekątna $d$ prostopadłościanu o krawędziach długości $a$, $b$, $c$ wyraża się wzorem $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Pod treścią zadania są narysowane dwa identyczne prostopadłościany o długościach podstawy $a$ oraz $b$ i wysokości $c$. W pierwszym prostopadłościanie jest zaznaczona przekątna $d$. W drugim prostopadłościanie jest zaznaczony trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest przekątną $d$ o końcach w wierzchołkach $B$ oraz $C$. Kąt prosty znajduje się w wierzchołku $A$ dolnej podstawy. Na grafice znajduje się punkt interaktywny skrywający treść: Nim rozwiążemy zadanie, przypomnijmy, że w prostopadłościanie wszystkie ściany są prostokątami. Przekątna prostopadłościanu to odcinek łączący dwa wierzchołki nie leżące przy jednej ścianie.

Slajd jedenasty:

Lektor mówi: Obliczamy najpierw długość przekątnej podstawy - korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Teraz obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$, w którym przeciwprostokątna jest przekątną prostopadłościanu. Otrzymujemy, że przekątna prostopadłościanu jest równa pierwiastkowi sumy kwadratów długości krawędzi prostopadłościanu, co należało udowodnić.

Na grafice pojawiają się obliczenia: $x^2=a^2+b^2$, $d^2=c^2+x^2$, $d^2=c^2+{\sqrt{a^2+b^2}}^2$, $d^2=c^2+a^2+b^2$, $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Co należało udowodnić.