Dwusieczna kąta

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Przypomnienie własności o dwusiecznej kąta.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi skonstruować dwusieczną kąta.

2. Uczeń potrafi rozwiązywać zadania dotyczące dwusiecznej kąta.

3. Kształtowanie umiejętności rozróżniania definicji od twierdzeń.

4. Kształtowanie umiejętności tworzenia analogii.

5. Ćwiczenie umiejętności pracy z tekstem matematycznym.

6. Ćwiczenie umiejętności pracy w grupie.

2. Metoda i forma pracy

Praca w grupach

3. Środki dydaktyczne

1. Komputer z rzutnikiem multimedialnym.

2. Podręcznik i zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.

4. Przebieg lekcji

Uczniowie, po podaniu tematu lekcji otrzymują następujące polecenia:

1. Korzystając z doświadczeń z lekcji o symetralnej odcinka, sformułuj w sposób analogiczny trzy określenia dwusiecznej kąta. Zbadaj ich równoważność.

2. Skonstruuj dwusieczną kąta. Czy każdy kąt ma dwusieczną?

Uczniowie pracują parami, potem czwórkami (dwie sąsiednie ławki). Po chwili pracy zespołowej następuje wspólne omówienie wyników. Pojawiają się następujące określenia dwusiecznych kątów:

1. Dwusieczna kąta to półprosta przechodząca przez wierzchołek kąta, dzieląca kąt na dwa kąty przystające.

2. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, zawarta w jego osi symetrii oraz w obszarze kąta.

3. Dwusieczna kąta to zbiór punktów zawartych w obszarze kata i równo oddalonych od ramion kąta.

Powyższe sformułowania są wynikiem wspólnej pracy, wymiany poglądów oraz konfrontacji z wcześniejszymi doświadczeniami (szkołą gimnazjalna), szczególnie w zakresie takich elementów dwusiecznej, jak: półprosta, jej początek i jej położenie.

Później następuje próba pokazania równoważności definicji (szczególnie pomiędzy pierwszą, a trzecią). Wypracowany (głównie na podstawie lekcji o symetralnej odcinka) schemat rozumowania przedstawia się następująco:

• Niech punkt D należy do dwusiecznej kata CAB (w myśl definicji pierwszej). Należy pokazać, że ten punkt jest równoodległy od ramion, czyli DC = DB. Wyprowadzamy odcinki DC i DB prostopadle do ramion (patrz rysunek poniżej). Zauważamy, że trójkąty: CAD i BAD są przystające (cecha: kbk – AD wspólne, kąty CAD i BAD są równe oraz kąty ACD i DBA też są równe, bo to kąty proste). Zatem zachodzi równość: CD = DB. Aby rozumowanie było pełne, należy jeszcze pokazać, że jeśli obierzemy dowolny punkt E poza dwusieczną kąta, to nie jest on równo odległy od ramion kata – to rozumowanie uczniowie przeprowadzili analogicznie jak w przypadku odpowiedniego wnioskowania dotyczącego symetralnej odcinka.

• Niech punkt D jest punktem spełniającym definicję trzecią. Należy pokazać, że półprosta AD dzieli kat CAB na dwa kąty o równej mierze, czyli kąty DAC i DAB są równe. Z założenia wynika, że DC = DB oraz kąty DCA i DBA są równe (są to kąty proste). Trójkąty ACD i ABD są prostokątne, odcinek AD jest ich wspólną przeciwprostokątną. Zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa (dla obu trójkątów), otrzymujemy, że AC = AB. Zatem oba rozważane trójkąty są przystające (cecha: bbb). Wynika stąd, że kąty DAC i DAB są równe.

R1LVpwheElmQo

Kolejnym etapem lekcji było przypomnienie konstrukcji dwusiecznej (uczący wykonuje odpowiednie elementy konstrukcji na komputerze zgodnie z instrukcjami uczniów – rysunek poniżej): wykreślenie okręgu o dowolnym promieniu AS i środku w wierzchołku kąta S, a następnie wykreśleniu symetralnej odcinka AB (punkty A i B to część wspólna okręgu i ramion kąta). Część tej symetralnej (półprosta SC) to dwusieczna.

RerQzTsDfR5T6

Uczniowie zauważają, że nawet dla kąta półpełnego powyższa konstrukcja jest prawidłowa.

Następny etap to rozwiązywanie zadań, np.:

Podaj przykład kąta, którego dwusieczną jest:

• oś rzędnych,

• oś odciętych,

• prosta o równaniu y = x.

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, VULCAN, Wrocław 1994.

4. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

5. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

1. Kilka zadań ze zbioru, np. strona 136, zadanie 9.

2. Narysuj dowolny trójkąt, skonstruuj dwusieczne jego trzech kątów wewnętrznych. Czy zauważasz jakąś ciekawą własność? Sformułuj ją i sprawdź na innych przykładach.

7. Czas trwania lekcji

1 godzina lekcyjna

8. Uwagi do scenariusza

brak