Działania na potęgach - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są wiadomości na temat działań na potęgach. Poznasz podstawowe definicje oraz twierdzenia związane z tym tematem.

R106eE1N7iRjU1

Ilustracja przedstawia zapis: a do potęgi n, gdzie a to podstawa potęgi, n wykładnik potęgi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przypomnijmy:

Potęgą $a^{n}$ o wykładniku naturalnym $(n > 1)$ nazywamy iloczyn $n$ czynników, z których każdy jest równy $a$ .
$a^{n} = \underset{n czynników}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}$ .

Przyjmujemy, że $a^{0} = 1$ dla $a \neq 0$ oraz $a^{1} = a$ .

Dla każdej liczby naturalnej $n$ i dla dowolnej liczby $a \neq 0$ przyjmujemy $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość:
$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ .
R1Z1tjwk482bF
Animacja przedstawia w jaki sposób mnożymy potęgi o takich samych podstawach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1Z1tjwk482bF
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób mnożymy potęgi o takich samych podstawach.

Iloraz potęg o tych samych podstawach
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość:
$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$ .
R1HUeWq4VRmFi
Animacja przedstawia w jaki sposób dzielimy potęgi o takich samych podstawach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1HUeWq4VRmFi
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób dzielimy potęgi o takich samych podstawach.

Potęga potęgi
Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość:
${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}$ .
RDBoa22Rshi5M
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy potęgę.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RDBoa22Rshi5M
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy potęgę.

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość:
$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$ .
RGkqhPYvk1uXR
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloczyn liczb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RGkqhPYvk1uXR
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloczyn liczb.

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach
Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość:
$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$ .
RS6b7c3hacr1S
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloraz liczb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/RS6b7c3hacr1S
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób potęgujemy iloraz liczb.