Działania pisemne na liczbach naturalnych

Dodawanie i odejmowanie

Przypomnijmy, jak wykonujemy dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych sposobem pisemnym.

Dodawanie

Już wiesz

RPZXiknoHsXXu1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z grafiką prezentującą przykład dodawania sposobem pisemnym.

Rhh56zN9d0IB51

Na kartce w kratkę przedstawiono dwa działania dodawania wykonane sposobem pisemnym. Po lewej stronie zapisano liczbę dwa tysiące pięćset trzydzieści cztery tak, że każda cyfra znajduje się w oddzielnym kwadratowym polu. Pod nią zapisaną liczbę sto sześćdziesiąt dwa, tak, że każda cyfra znajduje się w oddzielnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry setek, dziesiątek i jedności znajdują się jedna pod drugą, czyli odpowiednio cyfra pięć znajduje się nad cyfra jeden, cyfra trzy znajduje się nad cyfrą sześć oraz cyfra cztery znajduje się nad cyfrą dwa. Oddzielamy dwie liczby poziomą kreską pod którą zapiszemy wynik. Dokonujemy dodawania w każdej kolumnie zaczynając od prawej strony w następujący sposób: Jeden kolumna jedności: cztery plus dwa daje w sumie sześć i liczbę tę wpisujemy jako cyfrę jedności szukanego wyniku. Dwa kolumna dziesiątek: trzy dodać sześć daje w sumie dziewięć co zapisujemy jako cyfrę dziesiątek szukanego wyniku. Trzy kolumna setek: pięć plus jeden daje w sumie sześć do zapisujemy jako cyfrę setek szukanego wyniku. Cztery kolumna tysięcy. w niej znajduje się jedynie cyfra dwa więc przepisujemy ją jako cyfrę tysięcy szukanego wyniku. Wówczas wynik to dwa tysiące sześćset dziewięćdziesiąt sześć. Każda z cyfr zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Po prawej stronie zapisano liczbę piętnaście tysięcy sto dwadzieścia dziewięć tak, że każda cyfra znajduje się w oddzielnym kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę czterysta czterdzieści trzy tak, że każda cyfra znajduje się w oddzielnym kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę tysiąc dwieście dziewięćdziesiąt dwa i tak samo każda cyfra znajduje się w oddzielnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry tysięcy, setek, dziesiątek i jedności znajdują się jedna pod drugą, czyli odpowiednie pod piątką znajduje się jedynka należąca do trzeciej liczby, pod jedynką znajduje się czwórka, a jeszcze niżej dwójka, pod dwójką znajduje się czwórka a jeszcze niżej dziewiątka, pod dziewiątką znajduje się trójka, a jeszcze niżej dwójka. Oddzielamy trzy liczby poziomą kreską, pod którą zapiszemy wynik. Dokonujemy dodawania w każdej kolumnie zaczynając od prawej strony w następujący sposób: Jeden kolumna jedności: dziewięć plus trzy plus dwa daje w sumie czternaście, cyfrę jedności liczby czternaście zapisujemy jako cyfrę jedności szukanego wyniku a liczbę dziesiątek czyli jeden zapisujemy nad kolumną cyfr dziesiątek. Dwa kolumna dziesiątek: jeden plus dwa plus cztery plus dziewięć daje w sumie szesnaście. Cyfra jedności liczby szesnaście jest cyfrą dziesiątek szukanego wyniku, liczba dziesiątek, czyli jeden zapisujemy na kolumna liczby setek. Trzy. kolumna cyfr setek, jeden plus jeden plus cztery plus dwa daje w sumie osiem co zapisujemy jako cyfrę setek szukanego wyniku. Cztery kolumna tysięcy pięć plus jeden daje w sumie sześć co zapisujemy jako cyfrę tysięcy szukanego wyniku. pięć kolumna dziesiątek tysięcy w niej znajduje się jedynie cyfra jeden która jest przepisana jako cyfra dziesiątek tysięcy w szukanym wyniku. Wówczas wynik to szesnaście tysięcy osiemset sześćdziesiąt cztery . każda z cyfr zapisana jest osobny kwadratowym polu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Już wiesz

RacOm6QEOJtYL1

Zapoznaj się z grafiką prezentującą przykład odejmowania sposobem pisemnym.

RfUxlga9Al9Eg1

Na kartce w kratkę przedstawiono dwa działania odejmowania wykonane sposobem pisemnym. Po lewej strony zapisano liczbę trzy tysiące sześćset czterdzieści siedem tak, ze każda z jej cyfr znajduje się w osobny kwadratowym polu. Poniżej zapisano liczbę dwieście czterdzieści pięć tak, że każda cyfra znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry setek, dziesiątek oraz jedności znajdują się jedna pod drugą, czyli odpowiednio pod szóstką znajduje się dwójka, pod czwórką czwórka oraz pod siódemką piątka. Obie liczby oddzielono poziomą kreską, pod którą zapiszemy wynik odejmowania. Dokonujemy odejmowania w każdej kolumnie zaczynając od prawej strony w następujący sposób: Jeden kolumna jedności. wynikiem odejmowania siedem i pięć jest cyfra dwa, która jest cyfrą jedności szukanego wyniku. Dwa kolumna dziesiątek. wynikiem odejmowania cztery i cztery jest liczba zero która jest cyfrą dziesiątek szukanego wyniku. Trzy kolumna setek. wynikiem odejmowania sześć i dwa jest liczba cztery, która jest cyfrą setek w szukanym wynikiem. cztery kolumna tysięcy. w tej kolumnie znajduje się tylko liczba trzy którą przepisujemy jako cyfrę tysięcy szukanego wyniku. Wówczas wynikiem jest liczba trzy tysiące czterysta dwa. Każda cyfra wyniku jest zapisana w osobnym kwadratowym polu. Po prawej stronie znajduje się liczba pięćdziesiąt tysięcy dwieście sześćdziesiąt tak, że każda z jej cyfr znajduje się w osobny kwadratowym polu. Pod nią znajduje się liczba siedemdziesiąt trzy czterdzieści osiem, której każda cyfra znajduje się z osobnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry tysięcy, setek, dziesiątek oraz jedności znajdują się jedna pod drugą, czyli odpowiednio pod zerem znajduje się siedem, pod dwójką znajduje się trojka pod szóstką znajduje się czwórka oraz pod zerem znajduje się ósemka. Obie liczby oddzielono poziomą kreską, pod którą zapiszemy wynik odejmowania. Dokonujemy odejmowania w każdej kolumnie zaczynając od prawej strony w następujący sposób: Jeden kolumna jedności. Nie możemy odjąć od zera ósemki, dlatego pożyczamy dziesięć jedności czy jedną dziesiątkę z kolumny dziesiątek. Wówczas w kolumnie cyfr jedności odejmujemy od dziesięciu osiem i otrzymujemy dwa co jest cyfrą jedności szukanego wyniku. W kolumnie cyfr dziesiątek dla pierwszej liczby zapisujmy zamiast szóstki piątkę. Dwa kolumna dziesiątek. Odejmujemy od pięciu cztery i dostajemy jeden co zapisujemy jako cyfrę dziesiątek szukanego wyniku. Trzy kolumna setek. Nie możemy odjąć od dwójki trójki, dlatego powinniśmy pożyczyć dziesięć setek czyli jeden tysiąc z kolumny tysięcy. natomiast cyfra tysięcy w pierwszej liczbie wynosi zero, dlatego pożyczamy dziesięć tysięcy, czyli jedną dziesiątkę tysięcy z ostatniej kolumny wówczas liczba dziesiątek tysięcy w pierwszej liczbie zmniejsza się o jeden i wynosi cztery, a liczba tysięcy wynosi dziesieć. Ponownie powracamy do pożyczenia dziesięciu setek czyli jednego tysiąca z kolumny tysięcy. Wówczas w kolumnie cyfr setek mamy dwanaście odjąć trzy co daje dziewięć i zapisujemy to jako cyfrę setek w szukanym wyniku. W kolumnie tysięcy pozostaje dziewięć. Cztery kolumna tysięcy. Dziewięć odjąć siedem daje nam dwa co jest cyfrą tysięcy w szukanym wyniku. Pięć kolumna dziesiątek tysięcy. W tej kolumnie znajduje się jedynie czwórka którą przepisujemy do wyniku jako cyfrę dziesiątek tysięcy. Wówczas wynik to czterdzieści dwa tysiące dziewięćset dwanaście. każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby dodać lub odjąć liczby sposobem pisemnym, należy zapisać je tak, by jedności znajdowały się pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd. Dodawanie (lub odejmowanie) rozpoczynamy od prawej strony, czyli od rzędu jedności.

RAcHeEcV18Peh1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R42sDLrQmzPT31

Ćwiczenie 2

Oblicz. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz prawidłowy wynik działania.

7000 - (3120 + 1658) =

3214

, 2.

3 705

, 3.

2222

, 4.

3666

, 5.

3656

, 6.

3715

, 7.

3314

(9073 - 1845) - (1204 + 2358) =

3214

, 2.

3 705

, 3.

2222

, 4.

3666

, 5.

3656

, 6.

3715

, 7.

3314

5102 - (6020 - 4623) =

3214

, 2.

3 705

, 3.

2222

, 4.

3666

, 5.

3656

, 6.

3715

, 7.

3314

(5146 - 863) - (1826 - 857) =

3214

, 2.

3 705

, 3.

2222

, 4.

3666

, 5.

3656

, 6.

3715

, 7.

3314

Przeciągnij i upuść.

$3 656$ , $3 666$ , $3 715$ , $3 705$ , $2 222$ , $3 214$ , $3 314$

a) $7 000 - (3 120 + 1 658) =$ ............
b) $(9 073 - 1 845) - (1 204 + 2 358) =$ ............
c) $5 102 - (6 020 - 4 623) =$ ............
d) $(5 146 - 863) - (1 826 - 857) =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSH5XJ75MGv5a1

Ćwiczenie 3

Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym, a następnie przeciągnij i upuść.

$8 190$ , $19 014$ , $19 104$ , $8 086$

a) do sumy liczb $4 095$ i $948$ dodaj ich różnicę ................
b) od sumy liczb $13 261$ i $9 507$ odejmij ich różnicę ................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1H8ehcMW0rDn1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

W tabeli podano odległości drogowe w kilometrach między wybranymi miastami Europy.

	Berlin	Paryż	Madryt	Praga	Warszawa
Warszawa	$573$	$1585$	$2848$	$687$	$\dots$
Berlin	$\dots$	$1052$	$2300$	$351$	$573$
Paryż	$1052$	$\dots$	$1270$	$1030$	$1585$

R1OqRHVAgg7qt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie

Przypomnijmy, jak mnożyć liczby naturalne sposobem pisemnym.

Już wiesz

R1cP3AU9RLx1w1

Zapoznaj się z grafiką prezentującą przykład mnożenia sposobem pisemnym.

R15qfjf5n4efe1

Na kartce w kratkę przedstawiono trzy przykłady mnożenia dwóch liczb sposobem pisemny. W górnym lewym rogu występuje pierwszy przykład. Zapisano liczbę trzy tysiące sto dwadzieścia cztery tak, że każda z cyfr znajduje się osobny kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę dwa. Dodatkowo cyfry jedności obu liczb znajdują się jedna pod drugą. Obie liczby oddzielono poziomą kreską pod którą zapisujemy wynik Dokonujemy mnożenia tak, że każdą cyfrę pierwszej liczby przemnażamy przez dwa. Jeden kolumna jedności. dwa razy cztery daje osiem co stanowi cyfrę jedności szukanego wyniku. Dwa kolumna dziesiątek dwa razy dwa daje cztery co stanowi cyfrę dziesiątek szukanego wyniku. Trzy kolumna setek dwa razy jeden daje dwa co jest cyfrą setek szukanego wyniku. Cztery kolumna tysięcy dwa razy trzy daje nam sześć co stanowi liczbę tysięcy szukanego wyniku. Wówczas wynikiem jest liczba sześć tysięcy dwieście czterdzieści osiem. każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. W lewym dolnym rogu znajduje się przykład drugim. Zapisano liczbę trzynaście tysięcy sto dwadzieścia dziewięć tak, że każda cyfra znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Pod spodem zapisano liczbę cztery. Dodatkowo cyfra cztery znajduje się pod cyfrą jedności pierwszej liczby. Obie liczby oddzielono poziomą kreską pod którą zapisujemy wynik. Dokonujemy mnożenia tak, że każdą cyfrę pierwszej liczby przemnażamy przez cztery. Jeden kolumna jedności. dziewięć razy cztery daje trzydzieści sześc. Cyfrę jedności liczby trzydzieści sześć zapisujemy jako cyfrę jedności szukanego wyniku, natomiast liczbę dziesiątek piszemy nad kolumną cyfr dziesiątek. Dwa Kolumna dziesiątek. cztery razy dwa to osiem. Dodajemy nadpisaną trójkę i otrzymujemy jedenaście. Cyfrę jedności liczby jedenaście zapisujemy jako cyfrę dziesiątek szukanego wyniku, cyfrę dziesiątek liczby jedenaście piszemy nad kolumną setek. Trzecia kolumna setek. Cztery razy jeden daje nam cztery. Dodajemy to wyniku jeden i otrzymujemy pięć co stanowi cyfrę setek szukanego wyniku. Cztery kolumna tysięcy. Cztery razy trzy daje nam dwanaście, cyfrę jedności liczby dwanaście zapisujemy jako cyfrę tysięcy szukanego wyniku, cyfrę dziesiątek liczby dwanaście zapisujemy nad kolumną dziesiątek tysięcy. Kolumna dziesiątek tysięcy. Cztery razy jeden daje nam cztery, dodajemy nadpisane jeden i dostajemy pięć czyli liczbę dziesiątek tysięcy szukanego wyniku. Wówczas wynik to pięćdziesiąt dwa pięćset szesnaście . Każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Po prawo znajduje się ostatni przykład. Zapiano liczbę pięć tysięcy trzysta dwadzieścia cztery tak, że każda cyfra znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę dwanaście tak, że każda cyfra znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry dziesiątek i jedności obu liczb znajdują się pod sobą czyli odpowiednią pod dwójką jest jedynka, a pod czwórką dwójka. Oddzielamy obie liczby poziomą kreską po którą będziemy zapisywać dalsze etapy mnożenia. Zaczynamy od mnożenia pierwszej liczby przez cyfrę jedności drugiej liczby czyli dwa. Zatem jeden kolumna jedności dwa razy cztery daje nam osiem co zapisujemy pod kreską po kolumna jedności. Dwa kolumna dziesiątek. dwa razy dwa daje nam cztery co zapisujemy pod kreską pod kolumną dziesiątek. Trzy kolumna setek. dwa razy trzy daje nam sześć co zapisujemy pod kreską pod kolumną setek. cztery kolumna tysięcy dwa razy pięć daje nam dziesięć co zapisujemy pod kreską tak, że zero znajduje się pod kolumną tysięcy a jedynka przed zerem. Otrzymaliśmy w ten sposób liczbę dziesięć tysięcy sześćset czterdzieści osiem. Dokonamy teraz mnożenia pierwszej liczby przez cyfrę dziesiątek drugiej liczby czyli jeden. Każdy wynik będziemy zapisywać z przesunięciem o jedno miejsce w lewo pod liczbą otrzymaną z pierwszego etapu mnożenia. Zatem jeden kolumna jedności. jeden razy cztery to cztery co zapisujemy pod czwórką. Dwa kolumna dziesiątek. Jeden razy dwa równa się dwa co zapisujemy szóstką. Trzy kolumna setek. jeden razy trzy równa się trzy i zapisujemy to pod zerem. Czwarta kolumna jeden razy pięć równa się pięć co zapisujemy pod jedynką. Otrzymaliśmy w ten sposób liczbę pięć tysięcy trzysta dwadzieścia cztery. Oddzielamy dwie liczby od siebie i dodajemy sposobem pisemnym. Pod cyfra jedności pierwszej cyfry nie znajduje się nic, zatem osiem stanowi cyfrę jedności szukanego wyniku. następnie cztery plus cztery to osiem co stanowi cyfrę dziesiątek szukanego wyniku, dalej sześć plus dwa daje nam osiem do stanowi cyfrę setek szukanego wyniku, potem zero dodać trzy daje nam trzy co stanowi cyfrę tysięcy szukanego wyniku oraz jeden dodać pięć to razem sześć co stanowi cyfrę dziesiątek tysięcy szukanego wyniku. Wówczas wynik to sześćdziesiąt trzy tysiące osiemset osiemdziesiąt osiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Aby pomnożyć sposobem pisemnym dwie liczby, należy zapisać je tak, by jedności znajdowały się pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami itd.
Mnożąc daną liczbę (np. $5324$ w przykładzie powyżej) przez liczbę wielocyfrową (np. $12$ ), mnożymy daną liczbę przez kolejne cyfry liczby wielocyfrowej. Mnożenie rozpoczynamy od prawej strony (najpierw mnożymy $5324$ przez $2$ , a następnie przez $1$ ). Pamiętajmy, żeby iloczyn przez kolejną cyfrę dolnej liczby ( $12$ ) zapisać w odpowiednim miejscu. Na koniec dodajemy obliczone iloczyny.
Jeżeli mnożymy liczby zakończone zerami, to najpierw mnożymy je, pomijając końcowe zera, następnie do otrzymanego iloczynu dopisujemy na końcu tyle zer, ile miały razem oba czynniki.
Rt3QLNtZLHXAJ1
Na kartce w kratkę zapisano liczbę osiem tysięcy czterysta tak, że każda cyfra znajduje się w osobny kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę sześćdziesiąt tak, że każda cyfra znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Poprowadzono pionową prostą oddzielającą zera od innych cyfr naturalnych. Wówczas pod czwórką znajduje się szóstka. Oddzielono dwie liczby poziomą kreską pod którą zapisujemy wynik. W części z samymi zerami zapisano trzy zera pod kreską wynikową, ponieważ nad nią znajdowały się dwa zera pierwszej liczby i jedno drugiej liczby, czyli w sumie było ich trzy. W drugiej części dokonano mnożenia pisemnego mnożą cyfry osiem i cztery przez sześć. Zatem sześć razy cztery równa się dwadzieścia cztery. Cyfrę jedności tej liczby zapisujemy po kreską wynikową po komuną zawierającą czwórkę i szóstkę, a cyfrę dziesiątek liczby dwadzieścia cztery piszemy na ósemką. Następnie mnożymy sześć razy osiem daje nam czterdzieści osiem plus sześć równa się pięćdziesiąt co zapisujemy pod kreską wynikową. Wówczas wynikiem jest liczba pięćset cztery tysiące. Każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBYF1lcIiEc2i2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

RxD1aqDIDAbAF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rb06QajaCUNre

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JQdBDynqFyP2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RGfIT8yHRZrNr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Jbhu7nwdMj0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QKFVWqZC45J2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RRS7OAZ2IUiwS2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R13YvyKr2mtGi2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Tqttu1Ic8Ue2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie

Teraz przypomnimy, jak wykonujemy pisemne dzielenie liczb naturalnych.

Już wiesz

R1ZupmyzhsrGw1

Ważne!

Przy dzieleniu sposobem pisemnym bardzo ważny jest sposób zapisywania liczb otrzymanych podczas dzielenia. Dzielenie rozpoczynamy od lewej strony dzielnej.

Przykład 1

Przeanalizuj kolejne przykłady dzielenia i odpowiadające im sprawdzenie poprawności obliczeń.

RDqlD9z9STiTT1

Na kartce w kratkę przedstawiono dzielnie dwóch liczb sposobem pisemnym. Zapisano liczbę trzysta dwanaście tak, że każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Obok zapisano znak dzielenia oraz dalej liczbę trzy. Nad dzielną narysowano poziomą kreską na której zapisujemy wynik dzielenia. Zaczynamy od cyfry setek liczby trzysta dwanaście. Dzielimy ją na trzy i zapisujemy wynik równy jeden na kresce wynikowej nad trójką. Następnie pod trójką zapisujemy wynik mnożenia jeden razy trzy czyli trzy i oddzielamy te dwie liczby kreską poziomą po czym dokonujemy odejmowania. Wówczas pod kreską pojawiają się liczba dwanaście. Na kresce wynikowej nad jedynką znajduje się zero, ponieważ w jedynce nie mieści się żadna trójką, a nad dwójką jest cztery. Wówczas pod dwunastką pojawia się wynik mnożenia liczb cztery i trzy, czyli dwanaście i ponownie oddzielamy te liczby od siebie, po czym dokonujemy odejmowania. Pod kreską znajdują się dwie poziome kreseczki oznaczające brak reszty z dzielenia. Zatem wynik znajdujący się na głównej kresce to sto cztery. Po prawo dokonano sprawdzenia, czyli zapisano sto cztery tak, że każda liczba znajduje się w osobnym kwadratowym polu i następnie pod nią zapisano liczbę trzy tak, że znajduje się ona pod cyfra jedności pierwszej liczby. Następnie dokonano mnożenia. Zatem jeden kolumna jedności trzy razy cztery daje nam dwanaście zapisujemy liczbę jedności cyfry dwanaście jako cyfrę jedności szukanego wyniku a cyfra dziesiątek liczby dwanaście zapisywania jest nad kolumną dziesiątek. Dwa kolumna dziesiątek trzy razy zero daje zero plus jeden daje jeden co oznacza cyfrę dziesiątek szukanego wyniku. Trzy kolumna setek. trzy razy jeden to trzy co oznacza cyfrę setek szukanego wyniku. Wówczas wynikiem jest liczba trzysta dwanaście tak, że każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Pod dzieleniem i mnożenie zapisano trzysta dwanaście podzielić na trzy to sto cztery. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EetcZmflOPJ1

Na kartce w kratkę przedstawiono dzielnie dwóch liczb sposobem pisemnym. Zapisano liczbę osiemset trzynaście tak, że każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Obok zapisano znak dzielenia oraz dalej liczbę czterdzieści pięć. Nad dzielną narysowano poziomą kreską na której zapisujemy wynik dzielenia. Zaczynamy od dwóch pierwszych cyfry liczby osiemset trzynaście, czyli osiemdziesięciu jeden, ponieważ liczba czterdzieści pięć nie mieści się ani razu w liczbie osiem. Dzielimy zatem osiemdziesiąt jeden na czterdzieści pięć i zapisujemy wynik równy jeden na kresce wynikowej nad jedynką. Następnie pod osiemdziesiąt jeden zapisujemy wynik mnożenia jeden razy czterdzieści pięć, czyli czterdzieści pięć i oddzielamy te dwie liczby kreską poziomą po czym dokonujemy odejmowania. Wynikiem tego odejmowania jest liczba trzydzieści sześć, ale dopisujemy liczbę trzy i wówczas pod kreską pojawiają się liczba trzysta sześćdziesiąt trzy. Na kresce wynikowej nad trójką znajduje się osiem, ponieważ w trzystu sześćdziesięciu trzech, czterdzieści pięć mieści się osiem razy. Wówczas pod trzysta sześćdziesiąt trzy pojawia się wynik mnożenia liczb osiem i czterdzieści pięć, czyli trzysta sześćdziesiąt i ponownie oddzielamy te liczby od siebie, po czym dokonujemy odejmowania. Pod kreską zapisujemy wynik równy trzy, który oznacza resztę z tego dzielenia. Zatem wynik znajdujący się na głównej kresce to osiemnaście. Po prawo dokonano sprawdzenia, czyli zapisano czterdzieści pięć tak, że każda liczba znajduje się w osobnym kwadratowym polu i następnie pod nią zapisano liczbę osiemnaście tak, że każda liczba znajduje się w osobnym kwadratowym polu. Dodatkowo cyfry dziesiątek i jedności obu liczb znajdują się jedna pod drugą. Oddzielamy obie liczby poziomą kreska. Następnie dokonano mnożenia. Na początku mnożymy liczbę czterdzieści pięć przez cyfrę jedności drugiej liczby czyli osiem. Wówczas jeden kolumna jedności. pięć razy osiem równa się czterdzieści, cyfrę jedności tej liczby zapisujemy pod kreską wynikową pod ósemką, cyfrę dziesiątek liczby czterdzieści piszemy nad kolumną dziesiątek. Dwa kolumna dziesiątek. osiem razy cztery to trzydzieści dwa plus cztery równa się trzydzieści sześć i zapisujemy tą pełną liczbę pod kreską wynikową na lewo od ósemki. Otrzymujemy w ten sposób pierwszą liczbę pod kreską wynikową równą trzysta sześćdziesiąt. Dokonujemy mnożenia liczby czterdzieści pięć przez cyfrę dziesiątek liczby osiemnaście. Wówczas kolejne wyniki będziemy zapisywać z przesunięciem o jedno miejsce w lewo pod liczbą trzysta sześćdziesiąt. Jeden kolumna jedności. jeden razy pięć równa się pięć, zapisujemy otrzymaną liczbę pod szóstką. dwa kolumna dziesiątek jeden razy cztery równa się cztery, zapisujemy otrzymaną liczbę pod trójką. otrzymaliśmy liczbę czterdzieści pięć. Obie liczby oddzielamy poziomą kreską i dodajemy do siebie zaczynając od prawej strony. jeden kolumna jedności. w tej kolumnie znajduje się tylko zero zatem jest to cyfra jedności szukanego wyniku. dwa kolumna dziesiątek. sześć plus pięć równa się jedenaście, cyfra jedności liczby jedenaście stanowi cyfrę dzieciątek szukanego wyniku, cyfra dziesiątek liczby jedenaście zostaje zapisana nad kolumną setek. trzy kolumna setek. jeden plus trzy plus cztery równa się osiem co stanowi cyfrę setek szukanego wyniku. Wówczas wynik to osiemset dziesięć, a jej cyfry zapisane są w osobnym kwadratowym polu. Po prawo dokonujemy dodawania sposobem pisemnych. Zapisano liczbę osiemset dziesięć tak, że każda cyfra znajduje się w osobny kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę trzy, dokładnie pod zerem. Oddzielono dwie liczby poziomą kreską i dodano je .Wówczas jeden kolumna jedności. zero w sumie z trójką daje trzy co stanowi cyfrę jedności szukanego wyniku. dwa kolumna dziesiątek, w tej kolumnie znajduje się jedynie jedynka, a więc zostaje przepisana pod kreskę wynikową i stanowi cyfrę dziesiątek szukanego wyniku. trzy kolumna setek. W tej kolumnie znajduje się jedynie cyfra osiem, która zostaje przepisana pod kreskę wynikowa i stanowi cyfrę setek w szukanym wyniku. Otrzymaliśmy wówczas osiemset trzynaście. Każda cyfra wyniku zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Pod obliczeniami pisemnymi zapisano osiemset trzynaście podzielić na czterdzieści pięć równa się osiemnaście reszty trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Jeśli dzielna i dzielnik są zakończone zerami, to można skreślić w dzielnej i dzielniku tę samą liczbę zer, wynik będzie taki sam.

R1QzPgaKLizMT1

Na kartce w kratkę przedstawiono dzielnie dwóch liczb sposobem pisemnym. Zapisano liczbę sto dwadzieścia dwa tysiące dziewięćset tak, że każda cyfra zapisana jest w osobnym kwadratowym polu. Obok zapisano znak dzielenia oraz dalej liczbę pięć tysięcy sto. Nad dzielną narysowano poziomą kreską na której zapisujemy wynik dzielenia. Zauważmy, że dzielna i dzielnik zawierają po dwa zera na końcu, a więc można je skreślić na początku dzielenia. Wówczas zajmujemy się dzieleniem jedynie liczby tysiąc dwieście dwadzieścia dziewięć przez pięćdziesiąt jeden. Zaczynamy od trzech pierwszych cyfry liczby tysiąc dwieście dwadzieścia dziewięć, czyli stu dwudziestu dwóch, ponieważ liczba pięćdziesiąt nie mieści się ani razu w liczbie jeden ani w liczbie dwanaście. Dzielimy zatem sto dwadzieścia dwa na pięćdziesiąt jeden i zapisujemy wynik równy dwa na kresce wynikowej nad drugą dwójką. Następnie pod stu dwudziestoma dwoma zapisujemy wynik mnożenia dwa razy pięćdziesiąt jeden czyli sto dwa i oddzielamy te dwie liczby kreską poziomą po czym dokonujemy odejmowania. Wynikiem tego odejmowania jest liczba dwadzieścia, ale dopisujemy liczbę dziewięć i wówczas pod kreską pojawiają się liczba dwieście dziewięć. Na kresce wynikowej nad dziewiątką znajduje się cztery, ponieważ w dwustu dziewięciu, pięćdziesiąt jeden mieści się cztery razy. Wówczas pod dwieście dziewięć pojawia się wynik mnożenia liczb cztery i pięćdziesięciu jeden, czyli dwieście cztery i ponownie oddzielamy te liczby od siebie, po czym dokonujemy odejmowania. Pod kreską zapisujemy wynik równy pięć, który oznacza resztę z tego dzielenia. Zatem wynik znajdujący się na głównej kresce to dwadzieścia cztery. Po prawo dokonano sprawdzenia, czyli zapisano dwadzieścia cztery tak, że każda liczba znajduje się w osobnym kwadratowym polu i następnie pod nią zapisano liczbę pięć tysięcy sto tak, że każda liczba znajduje się w osobnym kwadratowym polu oraz cyfra setek znajduje się pod cyfrą jedności pierwszej liczby oraz cyfra tysięcy znajduje się pod cyfrą dziesiątek pierwszej liczby. Wówczas nad zerami liczby pięć tysięcy sto nie stoi nic i nie biorą udziału w mnożeniu. Oddzielamy obie liczby poziomą kreska. Następnie dokonano mnożenia liczb dwadzieścia cztery oraz pięćdziesięciu jeden. Na początku mnożymy liczbę dwadzieścia cztery przez cyfrę jedności drugiej liczby czyli jeden. Wówczas jeden razy cztery równa się cztery co zapisujemy pod kreską wynikową pod jedynką. Następnie mnożymy jedynkę przez dwa i otrzymujemy dwa, co zapisujemy pod kreską wynikową pod piątką. Otrzymujemy w ten sposób pierwszą liczbę pod kreską wynikową równą dwadzieścia cztery. Dokonujemy mnożenia liczby dwadzieścia cztery przez cyfrę dziesiątek liczby pięćdziesiąt jeden. Wówczas kolejne wyniki mnożenia będziemy zapisywać z przesunięciem o jedno miejsce w lewo pod liczbą dwadzieścia cztery. Wówczas pięć razy cztery równa się dwadzieścia. zapisujemy cyfrę jedności otrzymanego wyniku pod dwójką cyfrę dziesiątek nadpisujemy na kolumną dziesiątek w działaniu. Następnie mnożymy pięć razy dwa, co równa się dziesięć plus dwa daje nam dwanaście, zapisujemy otrzymaną liczbę na lewo od zera w drugim rzędzie wyniku. otrzymaliśmy liczbę sto dwadzieścia. Obie liczby oddzielamy poziomą kreską i dodajemy do siebie zaczynając od prawej strony. Na początku przepisujemy dwa zera liczby pięć tysięcy sto, które zostały oddzielone na początku mnożenia. Następnie przepisujemy liczbę cztery która stanowi cyfrę setek szukanego wyniku, następnie sumujemy dwa i zero, co daje dwa, czyli cyfrę tysięcy szukanego wyniku, dalej przepisujemy kolejno dwa i jeden co odpowiednio stanowi cyfrę dziesiątek i setek tysięcy. Wówczas otrzymany wynik to sto dwadzieścia tysięcy czterysta. Poniżej dokonujemy dodawania sposobem pisemnych. Zapisano liczbę sto dwadzieścia dwa tysiące czterysta tak, że każda cyfra znajduje się w osobny kwadratowym polu. Pod nią zapisano liczbę pięćset, tak, że zera znajdują się pod zerami a piątka pod czwórką. Oddzielono dwie liczby poziomą kreską i dodano. Wówczas jeden kolumna jedności. zero plus zero, daje zero co stanowi cyfrę jedności szukanego wyniku. dwa kolumna dziesiątek zero dodać zero daje zero co stanowi cyfrę dziesiątak szukanego wyniku, trzy kolumna setek. cztery plus pięć daje dziewięć co daje cyfrę setek w szukanym wyniku. cztery kolumna tysięcy. w tej kolumnie znajduje się jedynie dwójka która zostaje przepisana do wyniku jako cyfra tysięcy, podobnie w kolumnie dziesiątek i setek tysięcy znajdują się odpowiednio liczby dwa i jeden które zostają przepisane do wyniku jako cyfry dziesiątek i setek tysięcy. Wówczas wynikiem tego dodawania jest liczba sto dwadzieścia dwa tysiące dziewięćset. Każda z cyfr została zapisana w osobnym kwadratowym polu. Pod obliczeniami pisemnymi zapisano sto dwadzieścia dwa tysiące dziewięćset podzielić na pięć tysięcy sto równa się dwadzieścia cztery reszty pięćset. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtvjynIvQGxnK2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Riqxj7vtpfDHE2

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1FeGglcImrUu2

Oblicz sposobem pisemnym. Następnie kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz odpowiednią liczbę. Aby otrzymać

78585,

trzeba liczbę

65

pomnożyć przez 1.

1259

, 2.

555

, 3.

5165

, 4.

6170

, 5.

1209

, 6.

2005

, 7.

303

.Aby otrzymać

22,

trzeba liczbę

6666

podzielić przez 1.

1259

, 2.

555

, 3.

5165

, 4.

6170

, 5.

1209

, 6.

2005

, 7.

303

. Liczba

456580

jest 1.

1259

, 2.

555

, 3.

5165

, 4.

6170

, 5.

1209

, 6.

2005

, 7.

303

razy większa od liczby

74 .

Liczba

111

jest 1.

1259

, 2.

555

, 3.

5165

, 4.

6170

, 5.

1209

, 6.

2005

, 7.

303

razy mniejsza od liczby

61605 .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $78585$ i $65$ .
Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $6666$ i $22$ .
Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $456580$ i $74$ .
Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $61605$ i $111$ .

Ćwiczenie 17

R1dsdq9eKpmz52

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $888$ i $24$ .

Ćwiczenie 18

R1NsrGGdMla9x2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz sposobem pisemnym iloraz liczb $18270$ i $42$ .

R1aFywDdB7Lfc3

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Wyprawa Magellana w $XVI w.$ zapoczątkowała liczne podróże dookoła świata. Jego statki pokonały trasę przedstawioną na mapie.

R1Tx8lzU78VXD1

Odległości kolejnych etapów podróży przedstawia tabela.

Odległość etapów podróży Ferdynanda Magellana
Etap wyprawy	Odległość w milach morskich
Sewilla (Hiszpania, Europa) – Cieśnina Magellana (Ameryka Południowa)	$6769$
Cieśnina Magellana – Filipiny (Azja)	$6458$
Filipiny – Przylądek Igielny (Afryka)	$7280$
Przylądek Igielny – Wyspy Zielonego Przylądka (Afryka)	$3589$
Wyspy Zielonego Przylądka – Sewilla	$2832$

RcC7axr2I6Umq

Wykorzystaj dane z tabeli i uzupełnij zdania. Wszystkie potrzebne obliczenia wykonaj sposobem pisemnym w zeszycie. Cała trasa wyprawy Magellana miała długość Tu uzupełnij mil morskich. Żaglowce w

XVI w.

mogły w ciągu jednego dnia przepłynąć odległość

280

mil morskich. Trasę z Filipin do Przylądka Igielnego mogły pokonać w ciągu Tu uzupełnij dni. Nowoczesne żaglowce

XVI w.

pokonują

51

mil morskich w ciągu godziny. W ciągu doby mogą przepłynąć odległość Tu uzupełnij mil morskich. Trasę wyprawy Magellana mogłyby przepłynąć w ciągu Tu uzupełnij dni. Jedna mila morska ma długość około

1850 m

. Trasa wyprawy Magellana miała długość Tu uzupełnij metrów, czyli Tu uzupełnij

km

{}

m

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Przyjrzyj się mnożonym liczbom i otrzymanym wynikom.
$34 \cdot 101 = 3434$
$58 \cdot 101 = 5858$
$63 \cdot 10101 = 636363$
$92 \cdot 1010101 = 92929292$

Rg69bfAhttaxT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.