Dziesiątkowy system pozycyjny

Materiał zawiera przykłady sposobów budowania liczb z wykorzystaniem cyfr w dziesiątkowym układzie pozycyjnym. Rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia, wykorzystasz zdobytą wiedzę np. określając pozycję cyfry w liczbie czy tworząc liczby o danych własnościach.

Przykład 1

Klient chce pobrać z konta bankowego $930 zł$ . Zażyczył sobie, aby kwotę tę wypłacono mu takimi banknotami, żeby było jak najwięcej banknotów stuzłotowych. Ile i jakie banknoty otrzymał?

Ry4Q71DyYOae61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że oprócz dziewięciu banknotów stuzłotowych klient mógł otrzymać jeden banknot dwudziestozłotowy i jeden dziesięciozłotowy.

Już wiecie, że do zapisywania liczb używamy dziesięciu cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ .

Pozycja cyfry w liczbie, czyli miejsce, jakie ona zajmuje w zapisie liczby, jest bardzo ważna.

Przykład 2

Za pomocą cyfr $1$ i $2$ tworzymy takie liczby dwucyfrowe, w których cyfry się nie powtarzają. Są to liczby $12$ i $21$ .

W obu liczbach cyfra $2$ oznacza co innego.

R1JNVJtFl4gSk1

Liczba 12. Zaznaczona cyfra jedności 2. Liczba 21. Zaznaczona cyfra dziesiątek 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W liczbie $12$ cyfra $2$ oznacza $2$ jedności. Natomiast w liczbie $21$ ta sama cyfra oznacza $2$ dziesiątki, czyli $20$ .

R14knRvhQ4uc51

Na rysunku przedstawione są dwie liczby jedna pod drugą. Liczba 12 =1 razy 10 +2 razy 1 =10 +2. Liczba 21 =2 razy 10 +1 razy 1 = 20 +1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znaczenie cyfry w liczbie zależy od pozycji, jaką w tej liczbie zajmuje. Dlatego nasz system zapisywania liczb nazywamy pozycyjnym.

Przykład 3

Spójrz, co oznaczają kolejne cyfry w liczbie osiem tysięcy trzysta czterdzieści pięć.

RKsfEN4qAHcvo1

Liczba 8345. Cyfra 8 to cyfra tysięcy, 3 to cyfra setek, 4 to cyfra dziesiątek, a 5 to cyfra jedności. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CSYn0GPryIT1

Na rysunku przedstawione są dwie liczby jedna pod drugą. Liczba 8345 =8 razy 1000 +3 razy 100 +4 razy 10 +5 razy 1. Liczba 8345 =8000 +300 +40 +5 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1KGN7vQSsweE1

Przykład 4

Janek rozmienił banknot o nominale $10$ euro na monety o nominale $1$ euro.

Otrzymał $10$ monet.

R1VZFdyNMAlyg1

Przykład 5

Kacper rozmienił banknot o nominale $100$ euro na banknoty o nominale $10$ euro.

Otrzymał $10$ banknotów.

RpwpZcN71dfBq1

Ważne!

W naszym systemie liczenia

$1$ dziesiątka to $10$ jedności,
$1$ setka to $10$ dziesiątek,
$1$ tysiąc to $10$ setek,
$1$ dziesiątka tysięcy to $10$ tysięcy.

Możemy zatem powiedzieć, że dziesięć jednostek rzędu niższego tworzy jedną jednostkę rzędu następującego po nim. Z tego powodu nasz system zapisywania liczb nazywamy dziesiątkowym.

Dziesiątkowy pozycyjny system zapisywania liczb jest obecnie na świecie podstawowym systemem używanym niemal we wszystkich krajach. Od $XVI$ wieku stosowany jest powszechnie obok systemu rzymskiego. Czasami używa się też nazw

system dziesiętny,
system decymalny,
system arabski.

RGP0w8Vv4qdfR1

Ćwiczenie 1

Co oznacza cyfra

5

w każdej z tych liczb?

Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku.

51

- cyfra

5

to cyfra 1. setek, 2. jedności, 3. jedności, 4. tysięcy, 5. jedności, 6. jedności, 7. dziesiątek, 8. tysięcy, 9. setek, 10. dziesiątek, 11. tysięcy, 12. tysięcy, 13. dziesiątek, 14. dziesiątek, 15. setek, 16. setek.

145

- cyfra

5

578

- cyfra

5

5908

- cyfra

5

Co oznacza cyfra 5 w każdej z tych liczb?

Wybierz.

jedności, setek, tysięcy, jedności, setek, tysięcy, dziesiątek, dziesiątek, setek, dziesiątek, tysięcy, jedności, dziesiątek, setek, jedności, tysięcy

a) 51 - cyfra 5 to cyfra ......................
b) 145 - cyfra 5 to cyfra ......................
c) 578 - cyfra 5 to cyfra ......................
d) 5908 - cyfra 5 to cyfra ......................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyrGI32Hvv54Z1

Ćwiczenie 2

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby dwucyfrowe

a) w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
b) w których cyfra jedności jest 3 razy większa od cyfry dziesiątek
............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1XRrgn2HWaip2

Ćwiczenie 3

Znajdź liczbę, w której cyfra dziesiątek jest trzy razy większa od cyfry jedności, a cyfra setek jest trzy razy większa od cyfry dziesiątek.

............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8243pTrqiodr2

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SCBupFAC3w32

Ćwiczenie 5

Podaj największą liczbę

a) jednocyfrową ............
b) dwucyfrową ............
c) trzycyfrową ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R17ldklcpeijj2

Ćwiczenie 6

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr: 4, 5 i 0. Cyfry mogą się powtarzać.

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W matematyce na ogół nie zapisujemy liczb wielocyfrowych z zerem na początku.

Nie stosujemy zapisów $045$ , $055$ itp.

Jednak czasami używamy zera na początku w takich zapisach, jak

$16.08.15$ dla oznaczenia miesiąca w dacie,
$17 : 04$ , gdy zapisujemy godzinę,
wpisując $0468$ jako kod do domofonu,
kodując swój numer z dziennika lekcyjnego, np. $B 05$ .

RDVPYzrDqAdS43

Ćwiczenie 7

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr:

2

3

8

.

Uzupełnij luki, wpisując poprawne wartości. Cyfry nie mogą się powtarzać.
Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnijCyfry mogą się powtarzać.
Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij

Wpisz w kolejności rosnącej wszystkie liczby trzycyfrowe, używając cyfr: 2, 3 i 8.

a) cyfry nie mogą się powtarzać
............ ............ ............ ............ ............ ............
b) cyfry mogą się powtarzać
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............
............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Zapisz pięć czterocyfrowych liczb, w których suma cyfr wynosi $5$ .

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Do zapisywania liczb używamy dziesięciu cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ . Przykładem czterocyfrowej liczby, w której suma cyfr wynosi $5$ jest $4100$ , ponieważ $4 + 1 + 0 + 0 = 5$ .

Przykładowe liczby: $1121$ , $2111$ , $3200$ , $2300$ , $2030$ .

Ważne!

Już wiesz, że nasz system zapisywania liczb jest pozycyjny, gdyż znaczenie cyfry w liczbie zależy od położenia (miejsca, pozycji), które zajmuje w liczbie.

RcmgLfau2WhUS3

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bPchOpxQUjO3

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.