Porównaj wzory na częstotliwość fal źródła w przypadku, gdy ono się oddala oraz zbliża.

Porównując wzory na częstotliwość fal źródła w przypadku, gdy ono się oddala oraz zbliża dostajemy

$f_2(1+\frac{v}{V})=f_1(1-\frac{v}{V})$

Z tego wzoru wyliczamy prędkość v:

$v=V\frac{f_1-f_2}{f_1+f_2}=$ 110 ${\displaystyle \frac{m}{s}}$

Sytuację z zadania przedstawiono na poniższym rysunku. Cosinus kąta $\alpha$ wynosi 0,5 co oznacza, że ma on miarę 60⁰.

RSv6xIzo4h3e3

Źródło znajduje się w lewym dolnym rogu rysunku. W prawo od niego, stycznie do powierzchni skierowany jest wektor V. Pod kątem fi do powierzchni poprowadzono od źródła odcinek o długości 50 metrów, na końcu którego znajduje się obserwator. Od obserwatora do powierzchni poprowadzono pionowy odcinek o długości 25 metrów. Kąt między odcinkami 25 oraz 50 metrów wynosi alfa.

Wynika z tego, że kąt $\phi$ musi mieć miarę 30⁰. Podstawiając te dane do równania na częstotliwość odbieraną dostajemy;

$f_{\phi }=f\frac{1}{1-\frac{vcos\phi }{V}}\cong 785\mathrm{\text{Hz}}$

Znając różnicę długości fal i długość fali emitowanej przez źródło, możemy obliczyć długość fali odbieraną przez obserwatora.

Zapiszmy wzór na różnicę x będące znaną różnicą długości fal

${\lambda }_1-\lambda =x$

Z tego dostajemy, że

${\lambda }_1=\lambda +x$

Porównując ten wzór ze wzorem wynikającym z prawa Dopplera:

${\lambda }_1=\lambda (1-\frac{v}{V})$

Możemy otrzymać wzór na prędkość źródła v:

$v=\frac{x}{\lambda }V\cong 5,23$${\displaystyle \frac{m}{s}}$

Należy zastosować dwa razy wzór na efekt Dopplera. Raz, gdy źródło znajduje się przed obserwatorem:

$f=f_1(1-\frac{v}{V})$

A drugi raz, gdy znajduje się za obserwatorem:

$f=f_2(1+\frac{v}{V})$

Z porównania tych dwóch wzorów, po kilku przekształceniach dostajemy wzór na prędkość:

$v=V\frac{f_1-f_2}{f_1+f_2}\approx 28\frac{m}{s}$

Zastosuj wzór

$f=f_1(1+\frac{v}{V})$

Pasażer stojący na peronie usłyszy dźwięk o częstotliwości:

$f=\frac{f_0}{1-\frac{v}{V}}=\frac{3800Hz}{1-\frac{35\frac{m}{s}}{340\frac{m}{s}}}\approx 4236Hz$

Częstotliwość wytwarzaną przez silnik możemy zapisać za pomocą obu zmierzonych częstotliwości. Otrzymujemy wtedy równanie:

$f_1(1-\frac{v_1}{V})=f_2(1+\frac{v_2}{V})$

Skąd dostajemy, że stosunek częstotliwości wynosi:

$\frac{f_1}{f_2}=\frac{1+\frac{v_2}{V}}{1-\frac{v_1}{V}}=\frac{V+v_2}{V-v_1}\cong 1,06$