W części pierwszej filmu, Grawitacja Newtona, zwróciliśmy szczególną uwagę na problem unifikacji sposobu myślenia o zjawiskach tak odległych, jak spadek kamienia i ruch Księżyca wokół Ziemi. Już trzy wieki po tamtych sukcesach wiedzieliśmy znacznie więcej; te konteksty stały się sobie bardzo bliskie.
To nie paradoks, to zwyczajny rozwój nauki. Niejakim bonusem okazało się odkrycie kontekstów, w których grawitacja jest zupełnie niepodobna do tej dobrze rozpoznanej i - wydawałoby się - ujarzmionej w końcu XVII wieku. Wejdź na chwilkę w przedsionek świata ogólnej teorii względności, w którym nie ma czasu bez przestrzeni, czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a jej właściwości zależą od grawitacji, a światło porusza się po liniach krzywych, choć w jakimś sensie najprostszych - geodezyjnych.
Dla zainteresowanych
W drugiej części samouczka zapoznaj się z podstawami koncepcji Einsteina połączenia grawitacji z geometrią czasoprzestrzeni.
R15Yp6sSbSVMS
Zapoznaj się z alternatywną ścieżką lektorską.
Zapoznaj się z alternatywną ścieżką lektorską.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.
Zapoznaj się z alternatywną ścieżką lektorską.
Polecenie 1
Całkiem przekonującym argumentem przeciwko globalnej równoważności układu nieinercjalnego i pola grawitacyjnego jest opis efektów bezwładnościowych w układzie obracającym się. Spróbuj przeprowadzić takie rozumowanie.
Prawdą jest, że w układzie obracającym się możemy - lokalnie - odczuwać efekty podobne do ciążenia, choć dziwne jest, że gdy zbliżamy się do osi obrotu (czyli podążamy „pionowo do góry”), to owo fikcyjne ciążenie słabnie i na odwrót. (Innymi słowy: siła odśrodkowa przy ustalonej prędkości kątowej rośnie wraz ze wzrostem odległości od osi obrotu.) Grawitacja, której źródłem jest masa skupiona na przestrzennie ograniczonym obszarze, nie powinna tak się zachowywać. Więcej: dla stwierdzenia braku równoważności układu przyspieszającego i obecności pola grawitacyjnego wystarczy, że nie jest tak w przybliżeniu newtonowskim. Kolejną możliwą drogą rozróżnienia między realnym ciążeniem a sztucznym, wytworzonym przez układ obracający się, może być występowanie siły Coriolisa. (Por.: J. Zajdel, Paradyzja.)
Polecenie 2
Geometria Schwarzschilda ma pewną ciekawą powierzchnię, opisywaną zwykle jako ta, spod której światło nie może wyjść. Dla masy źródła jest to sfera o promieniu . Sprawdź, że jednostką tej wielkości jest metr oraz wyznacz promień Schwarzschilda dla Ziemi (tj. promień kuli, w której należałoby skupić masę Ziemi, aby wytworzyć czarną dziurę).
Masa Ziemi to ok. , więc bezpośrednim rachunkiem uzyskujemy
Polecenie 3
Zwykle równania Einsteina zapisuje się jako , gdzie ma wymiar przestrzennej gęstości energii. Jaka jest jednostka (tensora Ricciego, pochodzącego od krzywizny czasoprzestrzeni)? Jakich jednostek podstawowych układu SI nie powinien zawierać ?
Jeśli ma to być wielkość czysto geometryczna, zdecydowanie nie powinno tam być żadnych jednostek poza jednostką długości. Jednostki czasu tłumaczą się na jednostki długości z pomocą uniwersalnej stałej, jaką jest prędkość światła w próżni.
Skoro , to
Polecenie 4
W geometrii ważne są tzw. linie geodezyjne, czyli najkrótsze. W geometrii płaskiej, np. na płaszczyźnie dwuwymiarowej, taką linią jest prosta. Jak skonstruować geodezyjne na (a) sferze, (b) powierzchni bocznej stożka?
(a) Wybieramy dwa dowolne punkty na sferze. Razem ze środkiem sfery wyznaczają one płaszczyznę. Jeśli przetniemy sferę z tą płaszczyzną, otrzymamy jedno z kół wielkich sfery. Krótszy z odcinków łączących nasze wybrane punkty to linia geodezyjna. Jeśli punkty są antypodyczne (tj. odległość między nimi „w przestrzeni” to średnica sfery), to łuk dowolnego koła wielkiego będzie rozwiązaniem naszego problemu (zauważmy, że w tym przypadku oba punkty antypodyczne i środek sfery są współliniowe, nie wyznaczają więc płaszczyzny). (b) Rozwiązanie jest z gatunku trickowych. Wybieramy dwa punkty na stożku. Jeśli wypadły na jednej tworzącej, to z symetrii wynika, że odcinek tej tworzącej rozwiązuje nasz problem. Jeśli nie, wybieramy pewną tworzącą odpowiednio „daleko” od spodziewanego rozwiązania i rozcinamy stożek od wierzchołka do podstawy. Następnie „sprowadzamy” wierzchołek na płaszczyznę, stożek się „rozwija” od rozcięcia, a na płaszczyźnie otrzymujemy fragment koła. Między dwoma punktami na płaszczyźnie rysujemy odcinek linii prostej (jest najkrótsza), a następnie „składamy” stożek z powrotem, likwidując rozcięcie. Doświadczenie to pokazuje, że stożek jest powierzchnią lokalnie płaską. Ale nie globalnie. Aby to pokazać, wybierzmy jakikolwiek punkt na powierzchni bocznej stożka oraz jakiś wektor styczny do tej powierzchni, zaczepiony w tym punkcie. Następnie narysujmy dwie pętle, przy czym jedna z nich otacza wierzchołek stożka, a druga nie. Ponownie dokonajmy rozcięcia, tym razem wzdłuż tworzącej, na której wybraliśmy punkt, i ponownie „sprowadźmy” stożek na płaszczyznę. Nie wchodząc w szczegóły, intuicyjnie wyczuwamy, co oznacza „przenieść wektor równolegle wzdłuż krzywej na płaszczyźnie”. Po prostu w kolejnych punktach krzywej zaczepiamy ten sam wektor. Dla pętli nieotaczającej wierzchołka nie dzieje się wiele ciekawego - po jej obejściu docieramy do pierwotnego punktu z oryginalnym wektorem. Inaczej jest dla drugiej pętli - idziemy wzdłuż niej, ale docieramy z oryginalnym wektorem w inne miejsce, co jest skutkiem rozcięcia stożka i „rozwinięcia” go na płaszczyźnie. Jeśli teraz „podniesiemy” stożek i skleimy wzdłuż rozcięcia, okaże się, że transport równoległy wokół wierzchołka zmienił nasz wektor. Na regularnej zakrzywionej powierzchni (np. sferze) byłoby do demonstracją krzywizny. Na stożku jest ona - bardzo nieformalnie mówiąc - skupiona w wierzchołku i nieskończona. O takich punktach mówi się, że są osobliwe.
Polecenie 5
Jednym z klasycznych twierdzeń geometrii różniczkowej jest twierdzenie Gaussa‑Bonneta. Zastosowane w szczególnym przypadku do trójkąta na powierzchni bez brzegu mówi, że suma kątów w trójkącie to plus jego pole razy średnia krzywizna powierzchni na jego obszarze. Jak narysować trójkąt o sumie kątów na 2‑wymiarowej sferze o promieniu , tj. na powierzchni kuli? Jaka jest jej krzywizna?
Wystarczy za wierzchołki obrać jeden z biegunów i dwa punkty na równiku, różniące się „szerokością geograficzną” o . Boki tego trójkąta spotykają się we wszystkich trzech wierzchołkach pod kątem prostym, zatem suma kątów rzeczywiście wynosi Z twierdzenia Gaussa‑Bonneta wynika więc, że pole tego trójkąta razy średnia krzywizna to . Ale krzywizna sfery jest stała, zatem aby ją obliczyć, wystarczy obliczyć pole jednej ósmej powierzchni sfery. Wynosi ono , wobec tego
zatem . Intuicyjnie wydaje się rozsądne, że im większy promień sfery, tym mniejsza jej krzywizna. Uwaga: dla okręgu (sfery 1‑wymiarowej) mówi się o promieniu krzywizny (równym promieniowi okręgu) i krzywiźnie będącej jego odwrotnością. Jednak nie jest to to samo pojęcie. Krzywizna, o której mówi wspomniane twierdzenie, a także ta, którą posługujemy się w OTW, definiowalna jest dla powierzchni o wymiarze co najmniej dwa. A o gładkich krzywych (tworach jednowymiarowych) mówi się - nie bez powodu - że są prostowalne.