Scenariusz lekcji: Graficzna ilustracja układów równań (lekcja I)

Uczeń:

1. zna pojęcie graficznego rozwiązania układu równań liniowych,

2. zna pojęcie funkcji liniowej.

Uczeń:

1. umie rozwiązać algebraicznie i graficznie układ oznaczony,

2. umie obsługiwać tryb graficzny kalkulatora graficznego Casio.

Metoda i forma pracy

Pokaz, obserwacja, dyskusja.

3. 3. kalkulatory graficzne Casio wraz z panelem projekcyjnym,

   4. rzutnik,

   5. karty pracy,

   6. prezentacja multimedialna,

   7. przybory geometryczne (linijka, ołówek, gumka).

Poprzednie lekcje dotyczyły wprowadzenia pojęcia funkcji liniowej i jej własności. Poznane wiadomości będą nam potrzebne do omówienia następnego zagadnienia jakim jest graficzna interpretacja układów równań. Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań takie, jak metoda podstawiania, czy metoda przeciwnych współczynników znane są już wam z klasy drugiej. Dziś kolejna – graficzna interpretacja.

Faza realizacyjna

Rozwiąż dowolną metodą algebraiczną następujący układ równań:

$\begin{array}{c}\hfill \{x+y=3|\hfill \end{array}$

Rozwiązując układ metodą przeciwnych współczynników otrzymamy:

• $\begin{array}{c}\hfill \{x+y=3|\hfill \end{array}$

2x = 4 /:2

x = 2

Wstawiwszy do pierwszego równania w miejsce x liczbę 2 otrzymamy:

2 + y= 3

y = 3 – 2

y = 1

Odp. $\begin{array}{c}\hfill \{x=2|\hfill \end{array}$

Gdybyśmy jednak każde równanie przekształcili wyznaczając z każdego y, wówczas otrzymamy:

$\begin{array}{c}\hfill \{y=-x+3|\hfill \end{array}$

Zapisane w ten sposób równania są wzorami pewnych funkcji liniowych. Narysujmy ich wykresy korzystając z kalkulatora graficznego:

R14uM1P42V1Lx

Współrzędne punktów leżących na każdej z prostych spełniają równania tych prostych. Punkt przecięcia się prostych należy do obu prostych, więc jego współrzędne spełniają oba równania – są rozwiązaniem podanego układu równań.

Nie zawsze można przekształcić równanie do postaci wzoru funkcji liniowej, np.:

$\begin{array}{c}\hfill \{x+y=y+1|\hfill \end{array}$

Z pierwszego równania mamy x = 1, to równanie zilustruje nam prosta równoległa do osi OY, nie będąca wykresem funkcji liniowej. Możemy jednak oba równania zilustrować w układzie współrzędnych:

$\begin{array}{c}\hfill \{x=1|\hfill \end{array}$

RmXYLoaoTZlOa

Rozwiązaniem powyższego układu równań jest para:

$\begin{array}{c}\hfill \{x=1|\hfill \end{array}$

Sprawdzamy poprzez podstawienie otrzymanych wyników do obu równań:

1 + 2 = 2 + 1

2 – 1 = 1

Zadanie 1.

Odczytaj rozwiązania układów równań na podstawie podanych rysunków, a następnie dopasuj układ do rysunku:

1. $\begin{array}{c}\hfill \{y-x=2|\hfill \end{array}$

2. $\begin{array}{c}\hfill \{y+0,5x=0|\hfill \end{array}$

3. $\begin{array}{c}\hfill \{x-y+1=0|\hfill \end{array}$

a)

R1UwRcxeysedw

b)

R1F5cYmhrOzeM

c)

R1RsQlafhWOXA

Rozwiązanie:

Rysunek a) x = 2, y = –1 układ numer 2.

Po przekształceniu układ przyjmuje postać:

$\begin{array}{c}\hfill \{y=-0,5x|\hfill \end{array}$

Rysunek b) x = 0, y = 2 układ numer 1.

Po przekształceniu układ przyjmuje postać:

$\begin{array}{c}\hfill \{y=x+2|\hfill \end{array}$

Rysunek c) x = 0,5, y = 1,5 układ numer 3.

Po przekształceniu układ przyjmuje postać:

$\begin{array}{c}\hfill \{y=x+1|\hfill \end{array}$

Zadanie 2.

Rozwiąż graficznie układy równań:

1. $\begin{array}{c}\hfill \{y+2x=4|\hfill \end{array}$

2. $\begin{array}{c}\hfill \{y=x|\hfill \end{array}$

3. $\begin{array}{c}\hfill \{y-x-1=0|\hfill \end{array}$

Rozwiązanie:

Przykład a)

$\begin{array}{c}\hfill \{y+2x=4|\hfill \end{array}$

Podany układ równań przekształcamy do postaci wzorów funkcji liniowej:

Rd49Q7EDseO60

$\begin{array}{c}\hfill \{y=-2x+4|\hfill \end{array}$

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

$\begin{array}{c}\hfill \{x=2|\hfill \end{array}$

Przykład b)

$\begin{array}{c}\hfill \{y=x|\hfill \end{array}$

Podany układ równań przekształcamy do postaci wzorów funkcji liniowej

R1aaulIbi5tVf

$\begin{array}{c}\hfill \{y=x|\hfill \end{array}$

Rozwiązaniem układu jest para liczb

$\begin{array}{c}\hfill \{x=1|\hfill \end{array}$

Przykład c)

$\begin{array}{c}\hfill \{y-x-1=0|\hfill \end{array}$

Podany układ równań przekształcamy do postaci wzorów funkcji liniowej

R1VObOkqjwws1

$\begin{array}{c}\hfill \{y=x+1|\hfill \end{array}$

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

$\begin{array}{c}\hfill \{x=0|\hfill \end{array}$

Faza podsumowująca

Zebranie i podsumowanie wiadomości dotyczących graficznego rozwiązywania układów równań:

Jakie znasz metody rozwiązywania układów równań? Omów je.

Odp.: Algebraiczna i graficzna, algebraicznie można rozwiązać za pomocą metody podstawiania lub metody przeciwnych współczynników, graficznie rysując wykresy poszczególnych równań układu. Aby narysować wykres równania należy je najpierw przekształcić do postaci wzoru funkcji liniowej y = ax + b.

Na dzisiejszej lekcji zajmowaliśmy się jedynie układami oznaczonymi, tj. takimi, które mają dokładnie jedno rozwiązanie. Wykresy tych równań przecinały się w jednym punkcie, którego współrzędne są rozwiązaniem układu (punkt należy do obu prostych).

Następne zajęcia poświęcimy układom o różnej liczbie rozwiązań.

5. 11. Matematyka z plusem dla klasy III gimnazjum – podręcznik wyd. GWO

Zadanie nr 3a,b,g str. 68 podr. do matematyki dla klasy III gimnazjum wyd. GWO