Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

Krawędź sześcianu jest równa $6\mathrm{ cm}$. Obliczymy długość przekątnej sześcianu.

RrEG7lqwoySIP1

Animacja pokazuje sześcian o krawędzi równej 6 cm i przekątnej sześcianu równej d. Przekątna podstawy równa jest d indeks dolny p i jest ona przekątną kwadratu o boku 6, zatem d indeks dolny p =6 pierwiastków z dwóch. Przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną w trójkącie, w którym przyprostokątne są równe 6 i 6 pierwiastków z dwóch. Zatem d do kwadratu = 6 do kwadratu + (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu. Otrzymujemy przekątną bryły d = 6 pierwiastków z trzech centymetrów.

Animacja pokazuje sześcian o krawędzi równej 6 cm i przekątnej sześcianu równej d. Przekątna podstawy równa jest d indeks dolny p i jest ona przekątną kwadratu o boku 6, zatem d indeks dolny p =6 pierwiastków z dwóch. Przekątna sześcianu jest przeciwprostokątną w trójkącie, w którym przyprostokątne są równe 6 i 6 pierwiastków z dwóch. Zatem d do kwadratu = 6 do kwadratu + (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu. Otrzymujemy przekątną bryły d = 6 pierwiastków z trzech centymetrów.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Punkty $M$ i $K$ są środkami krawędzi sześcianu. Obliczymy pole powierzchni czworokąta $\mathrm{ABKM}$.

RIb8DJiuL82c81

Rysunek sześcianu o krawędzi równej 10 oraz zaznaczoną płaszczyzną przekroju - czworokątem A B K M, gdzie punkty A, B są wierzchołkami dolnej podstawy, a punkty K, M środkami górnych krawędzi podstawy sześcianu.

Odcinki $\mathrm{AB}$ i $\mathrm{MK}$leżą na płaszczyznach równoległych i są sobie równe. Podobnie odcinki $\mathrm{AM}\parallel \mathrm{BK}$ oraz $\left|\mathrm{AM}\right|=\left|\mathrm{BK}\right|$. Ponadto odcinek $\mathrm{BK}$ leży na płaszczyźnie prostopadłej do podstawy sześcianu i jest prostopadły do krawędzi $\mathrm{AB}$. Wynika z tego, że czworokąt $\mathrm{ABKM}$ jest prostokątem. Obliczymy długości boków prostokąta $\mathrm{ABKM}$.

R9IOPORJyl2Wu1

Animacja pokazuje obliczanie pola przekroju sześcianu. Dany jest sześcian o krawędzi równej 10 oraz zaznaczonym czworokątem A B K M, gdzie punkty A, B są wierzchołkami dolnej podstawy, a punkty K, M środkami górnych krawędzi podstawy sześcianu. Odcinki AB i KM są równoległe ponieważ leżą na płaszczyznach zawierających podstawy sześcianu. Odcinki AM i BK są równoległe ponieważ leżą na przeciwległych ścianach bocznych sześcianu. Czworokąt A B K M jest prostokątem ponieważ odcinki AB i BK są prostopadłe, leżą na prostopadłych do siebie ścianach sześcianu. Bok AB i MK jest równy długości krawędzi sześcianu – 10. Bok BK =AM jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych 5 i 10. Zatem BK =AM =5 pierwiastków z pięciu. Pole prostokąta A B K M = 10 razy 5 pierwiastków z pięciu =50 pierwiastków z pięciu.

Animacja pokazuje obliczanie pola przekroju sześcianu. Dany jest sześcian o krawędzi równej 10 oraz zaznaczonym czworokątem A B K M, gdzie punkty A, B są wierzchołkami dolnej podstawy, a punkty K, M środkami górnych krawędzi podstawy sześcianu. Odcinki AB i KM są równoległe ponieważ leżą na płaszczyznach zawierających podstawy sześcianu. Odcinki AM i BK są równoległe ponieważ leżą na przeciwległych ścianach bocznych sześcianu. Czworokąt A B K M jest prostokątem ponieważ odcinki AB i BK są prostopadłe, leżą na prostopadłych do siebie ścianach sześcianu. Bok AB i MK jest równy długości krawędzi sześcianu – 10. Bok BK =AM jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych 5 i 10. Zatem BK =AM =5 pierwiastków z pięciu. Pole prostokąta A B K M = 10 razy 5 pierwiastków z pięciu =50 pierwiastków z pięciu.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Przekątna podstawy sześcianu ma długość $12$. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

R2kLBW2ApvL3o1

Rysunek sześcianu o krawędzi równej a i przekątnej podstawy równej 12.

Przekątna kwadratu jest równa $a\sqrt{2}$, zatem otrzymujemy równanie $a\sqrt{2}=12$, czyli $a=6\sqrt{2}$.
Wynika z tego, że objętość sześcianu jest równa

a pole powierzchni całkowitej

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość $6\mathrm{ cm}$, a przekątna ściany bocznej $10\mathrm{ cm}$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

RaWTmosPg3Ro91

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Przekątna podstawy ma długość 6 cm, przekątna ściany bocznej 10 cm. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa P indeks dolny c =2 P indeks dolny p +P indeks dolny b. Zatem P indeks dolny c =2a do kwadratu +4a razy H. Przekątna podstawy, to przekątna kwadratu o boku a, czyli d indeks dolny p = a razy pierwiastek z dwóch. Zatem krawędź podstawy a =3 pierwiastki z dwóch. Przekątna ściany bocznej równa 10 jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i a. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H = pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch. Pole podstawy P indeks dolny p = (trzy pierwiastki z dwóch) do kwadratu =18 cm kwadratowych. Zatem pole całkowite graniastosłupa P indeks dolny c =2 razy 18 +4 razy 3 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch =36 +24 pierwiastki z czterdziestu jeden centymetrów kwadratowych.

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Przekątna podstawy ma długość 6 cm, przekątna ściany bocznej 10 cm. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa P indeks dolny c =2 P indeks dolny p +P indeks dolny b. Zatem P indeks dolny c =2a do kwadratu +4a razy H. Przekątna podstawy, to przekątna kwadratu o boku a, czyli d indeks dolny p = a razy pierwiastek z dwóch. Zatem krawędź podstawy a =3 pierwiastki z dwóch. Przekątna ściany bocznej równa 10 jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i a. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H = pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch. Pole podstawy P indeks dolny p = (trzy pierwiastki z dwóch) do kwadratu =18 cm kwadratowych. Zatem pole całkowite graniastosłupa P indeks dolny c =2 razy 18 +4 razy 3 pierwiastki z dwóch razy pierwiastek z osiemdziesięciu dwóch =36 +24 pierwiastki z czterdziestu jeden centymetrów kwadratowych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość $6\sqrt{2}$ cm, a przekątna graniastosłupa jest $2$ razy dłuższa od przekątnej podstawy.

RztBYvNYXpwLk1

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Krawędź podstawy ma długość 6 pierwiastek z dwóch cm, a przekątna graniastosłupa jest 2 razy dłuższa niż przekątna podstawy. Pole podstawy P indeks dolny p = (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu =72 centymetry kwadratowe. Przekątna podstawy =12 cm, bo jest to przekątna kwadratu o boku 6 pierwiastków z dwóch. Przekątna bryły jest dwa razy dłuższa niż przekątna podstawy =24 cm i jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych H i przekątnej podstawy =12. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H =12 pierwiastków z trzech. Zatem P indeks dolny c =2 razy 72 +4 razy 6 pierwiastków z dwóch razy 12 pierwiastków z 3 = 144 +288 pierwiastków z sześciu centymetrów kwadratowych.

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości a i wysokości H. Krawędź podstawy ma długość 6 pierwiastek z dwóch cm, a przekątna graniastosłupa jest 2 razy dłuższa niż przekątna podstawy. Pole podstawy P indeks dolny p = (6 pierwiastków z dwóch) do kwadratu =72 centymetry kwadratowe. Przekątna podstawy =12 cm, bo jest to przekątna kwadratu o boku 6 pierwiastków z dwóch. Przekątna bryły jest dwa razy dłuższa niż przekątna podstawy =24 cm i jest ona przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych H i przekątnej podstawy =12. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy H =12 pierwiastków z trzech. Zatem P indeks dolny c =2 razy 72 +4 razy 6 pierwiastków z dwóch razy 12 pierwiastków z 3 = 144 +288 pierwiastków z sześciu centymetrów kwadratowych.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Przekątna prostopadłościanu ma długość $6\mathrm{ cm}$ i jest nachylona do podstawy pod kątem $30°$. Pole podstawy prostopadłościanu jest równe $24 c{m}^2$ . Oblicz objętość bryły.

R1EjSFuw1pMc51

Animacja pokazuje obliczanie objętości prostopadłościanu o przekątnej równej 6 cm, która jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Pole podstawy bryły jest równe 24 centymetry kwadratowe. Kąt 30 stopni jest zawarty między przekątną bryły i przekątną podstawy. Przekątna bryły jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i d indeks dolny p. Z definicji funkcji sinus otrzymujemy sinus 30 stopni = H dzielone przez 6, czyli jedna druga = H dzielone przez 6. Zatem H =3. Objętość prostopadłościanu V = P indeks dolny p razy H = 24 razy 3 =72 centymetry sześcienne.

Animacja pokazuje obliczanie objętości prostopadłościanu o przekątnej równej 6 cm, która jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni. Pole podstawy bryły jest równe 24 centymetry kwadratowe. Kąt 30 stopni jest zawarty między przekątną bryły i przekątną podstawy. Przekątna bryły jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych H i d indeks dolny p. Z definicji funkcji sinus otrzymujemy sinus 30 stopni = H dzielone przez 6, czyli jedna druga = H dzielone przez 6. Zatem H =3. Objętość prostopadłościanu V = P indeks dolny p razy H = 24 razy 3 =72 centymetry sześcienne.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o polu $12\sqrt{3}$ . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem $60°$. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.

R1BrFhi86SWJ01

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podstawie trójkąta równobocznego. Pole podstawy jest równe 12 pierwiastków z trzech. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60 stopni. Pole trójkąta równobocznego jest równe P indeks dolny p = początek ułamka, licznik a kwadrat razy pierwiastek z trzech, kreska ułamkowa mianownik 4 koniec ułamka. Po podstawieniu a = 4 pierwiastki z trzech. Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem, którego przekątna jest nachylona do boku pod kątem 60 stopni. Z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego mamy tangens 60 stopni = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech, czyli pierwiastek z trzech = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech. Zatem wysokość H =12. Wobec tego pole ściany bocznej jest równe P indeks dolny śb = a razy H = 4 pierwiastki z trzech razy 123 = 48 pierwiastków z trzech. Pole powierzchni całkowitej jest równe p indeks dolny c = 2 razy P indeks dolny p + 3 razy P indeks dolny śb, czyli P indeks dolny c =2 razy 12 pierwiastków z trzech +3 razy 48pierwiastków z trzech =168 pierwiastków z trzech.

Animacja pokazuje obliczanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa podstawie trójkąta równobocznego. Pole podstawy jest równe 12 pierwiastków z trzech. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60 stopni. Pole trójkąta równobocznego jest równe P indeks dolny p = początek ułamka, licznik a kwadrat razy pierwiastek z trzech, kreska ułamkowa mianownik 4 koniec ułamka. Po podstawieniu a = 4 pierwiastki z trzech. Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem, którego przekątna jest nachylona do boku pod kątem 60 stopni. Z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego mamy tangens 60 stopni = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech, czyli pierwiastek z trzech = H dzielone przez 4 pierwiastki z trzech. Zatem wysokość H =12. Wobec tego pole ściany bocznej jest równe P indeks dolny śb = a razy H = 4 pierwiastki z trzech razy 123 = 48 pierwiastków z trzech. Pole powierzchni całkowitej jest równe p indeks dolny c = 2 razy P indeks dolny p + 3 razy P indeks dolny śb, czyli P indeks dolny c =2 razy 12 pierwiastków z trzech +3 razy 48pierwiastków z trzech =168 pierwiastków z trzech.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA

Objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu jest równa $72\sqrt{3}$. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30°$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

RibK3Z4PDuxPI1

Rysunek graniastosłupa o podstawie kwadratu. Zaznaczona przekątna A indeks dolny 1 B nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30 stopni. Przekątna jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych równych a i H.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $P_c={2a}^2+4\mathrm{aH}$ - zatem do jego obliczenia będzie potrzebna długość krawędzi podstawy i wysokość bryły.
W trójkącie prostokątnym $\mathrm{AB}{A}_1$ mamy:

zatem

czyli

Objętość graniastosłupa jest równa $V=a^2\bullet H$, czyli $72\sqrt{3}=a^2\bullet H$ .
Wstawiając wyznaczoną wcześniej wartość $H$, otrzymamy
$72\sqrt{3}=a^3\frac{\sqrt{3}}{3}$, czyli $a^3=216$ .Wynika z tego, że $a=6$ oraz

Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe:

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $75\mathrm{ d}{m}^3$ . Przekątna podstawy graniastosłupa ma długość $5\mathrm{ dm}$. Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

RiffnSO50570r1

Animacja pokazuje obliczanie sinusa kąta nachylenia przekątnej płaszczyzny graniastosłupa do płaszczyzny. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a, wysokości H i przekątnej d. Objętość graniastosłupa jest równa 75 decymetrów sześciennych, a przekątna podstawy ma długość 5 dm. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy jest zawarta między tą przekątną i przekątną podstawy. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i H oraz przeciwprostokątnej d. Z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy sinus alfa = H podzielone przez d. Przekątna podstawy d =5 dm to przekątna kwadratu, zatem pole podstawy = jedna druga razy 5 do kwadratu =12,5 decymetrów kwadratowych. Z objętości graniastosłupa V =75 decymetrów sześciennych obliczamy wysokość H. V = P indeks dolny p razy H, więc 75 =12, 5 razy H, zatem H =6. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy d do kwadratu = 5 do kwadratu +6 do kwadratu, czyli przekątna bryły d = pierwiastek z sześćdziesięciu jeden. Wynika z tego, że sinus alfa = H dzielone przez d = 6 dzielone przez pierwiastek z sześćdziesięciu jeden = 6 pierwiastków z sześćdziesięciu jeden dzielone przez sześćdziesiąt jeden.

Animacja pokazuje obliczanie sinusa kąta nachylenia przekątnej płaszczyzny graniastosłupa do płaszczyzny. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a, wysokości H i przekątnej d. Objętość graniastosłupa jest równa 75 decymetrów sześciennych, a przekątna podstawy ma długość 5 dm. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy jest zawarta między tą przekątną i przekątną podstawy. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 i H oraz przeciwprostokątnej d. Z definicji funkcji trygonometrycznych otrzymujemy sinus alfa = H podzielone przez d. Przekątna podstawy d =5 dm to przekątna kwadratu, zatem pole podstawy = jedna druga razy 5 do kwadratu =12,5 decymetrów kwadratowych. Z objętości graniastosłupa V =75 decymetrów sześciennych obliczamy wysokość H. V = P indeks dolny p razy H, więc 75 =12, 5 razy H, zatem H =6. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy d do kwadratu = 5 do kwadratu +6 do kwadratu, czyli przekątna bryły d = pierwiastek z sześćdziesięciu jeden. Wynika z tego, że sinus alfa = H dzielone przez d = 6 dzielone przez pierwiastek z sześćdziesięciu jeden = 6 pierwiastków z sześćdziesięciu jeden dzielone przez sześćdziesiąt jeden.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DnBY88PtA