Ilustracja interaktywna. Uzasadnimy, że $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..+\frac{1}{1000}<8,2$, gdzie lewa strona jest sumą odwrotności kolejnych liczb naturalnych od jeden do tysiąca. Rozwiązanie. Prawdziwe jest następujące twierdzenie. Jeżeli $k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, to $\ln \left(\frac{k+1}{2}\right)<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{k}<\ln k$. Zatem $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1000}<\ln \left(1000\right)$, gdzie 1. $\ln \left(1000\right)=3\ln 10$, 2. $2,3<\ln \left(10\right)<2,4$. Mamy więc, że $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1000}<1+7,2=8,2$.