Infografika. Zadanie: Rozwiążemy równanie: $1-x^2={\left(4x^2-3x\right)}^2$. Rozwiązanie: Zauważmy, że x jest z przedziału obustronnie domkniętego od minus jeden do jeden. Ponieważ ${\left(4x^3-3x\right)}^2\ge 0$, zatem $1-x^2\ge 0$. Możemy przyjąć, że $x=\cos \alpha$, gdzie $\alpha \in ⟨0,\pi ⟩$. Zapiszmy więc równanie po podstawieniu. $1-{\left(\cos \alpha \right)}^2={\left(4{\left(\cos \alpha \right)}^2-3\cos \alpha \right)}^2$ Korzystamy ze wzoru: $\cos 3\alpha =4{\left(\cos \alpha \right)}^3-3\cos \alpha$. ${\left(\cos 3\alpha \right)}^2+{\left(\cos \alpha \right)}^2=1$ Korzystamy ze wzoru: ${\left(\cos x\right)}^2=\frac{\cos 2x+1}{2}$. $\frac{1+\cos \left(6\alpha \right)}{2}+\frac{{\displaystyle 1+\cos \left(2\alpha \right)}}{{\displaystyle 2}}=1$ Upraszczamy równanie. $\cos \left(6\alpha \right)+\cos \left(2\alpha \right)=0$ Korzystamy ze wzoru $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$. $2\cos \left(4\alpha \right)\cos \left(2\alpha \right)=0$ Mamy więc $\cos \left(4\alpha \right)=0$ lub $\cos \left(2\alpha \right)=0$. Rozwiązujemy równanie: $\cos \left(4\alpha \right)=0$. Mamy stąd $4\alpha =\frac{\pi }{2}$ lub $4\alpha =\frac{3\pi }{2}$ lub $4\alpha =\frac{5\pi }{2}$ lub $4\alpha =\frac{7\pi }{2}$. Następnie rozwiązujemy równanie: $\cos \left(2\alpha \right)=0$. Mamy następujące rozwiązania: $2\alpha =\frac{\pi }{2}$ lub $2\alpha =\frac{3\pi }{2}$. Zatem mamy następujące rozwiązania: $\alpha =\frac{\pi }{4}$ lub $\alpha =\frac{3\pi }{4}$ lub $\alpha =\frac{\pi }{8}$ lub $\alpha =\frac{3\pi }{8}$ lub $\alpha =\frac{5\pi }{8}$ lub $\alpha =\frac{7\pi }{8}$. Podajemy wartości $\cos \frac{\pi }{4}$ lub $\cos \frac{3\pi }{4}$ lub $\cos \frac{\pi }{8}$ lub $\cos \frac{3\pi }{8}$ lub $\cos \frac{5\pi }{8}$ lub $\cos \frac{7\pi }{8}$ jako rozwiązania równania z zadania. Odpowiedź: $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ lub $x=\sqrt{\frac{{\displaystyle 2}{\displaystyle +}\sqrt{2}}{2}}$ lub $x=\sqrt{\frac{{\displaystyle 2}{\displaystyle -}\sqrt{2}}{2}}$ lub $x=-\sqrt{\frac{{\displaystyle 2}{\displaystyle +}\sqrt{2}}{2}}$ lub $x=-\sqrt{\frac{{\displaystyle 2}{\displaystyle -}\sqrt{2}}{2}}$. Podajemy wartości $\cos \frac{\pi }{4}$ lub $\cos \frac{3\pi }{4}$ lub $\cos \frac{\pi }{8}$ lub $\cos \frac{3\pi }{8}$ lub $\cos \frac{5\pi }{8}$ lub $\cos \frac{7\pi }{8}$ jako rozwiązania równania z zadania.