Infografika. Zadanie. Rozwiążemy równanie: $\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{{\displaystyle \sqrt{x}}}{{\displaystyle {\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}+\dots =\sqrt{2x-3}$. Rozwiązanie. Założenia: Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne. Wyznaczymy dziedzinę x. $x\ge 0, \sqrt{2x-3}\ge 0$, czyli $x\in ⟨\frac{3}{2}\infty )$. Szereg jest zbieżny wtedy, gdy pierwszy wyraz $\sqrt{x}=0$ lub gdy zachodzi $\left|\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right|<1$ dla każdego $x\in \left.⟨\frac{1}{2},+\infty \right):a_1\ne 0$ i $\left|\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right|<1$. Wyznaczamy sumę szeregu geometrycznego z lewej strony równania. $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}<1+\frac{{\displaystyle \sqrt{x}}}{{\displaystyle {\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}+\dots =\frac{\sqrt{x}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}+1}}=\sqrt{x}+1$ Przekształcamy równanie, korzystając z wyznaczonej sumy szeregu. $\sqrt{x}+1=\sqrt{2x-3}$ Podnosimy obie strony do kwadratu, otrzymując $x+2\sqrt{x}+1=2x-3$. Przyrównujemy obie strony do zera i redukujemy wyrazy podobne. $x-2\sqrt{x}-4=0$ Teraz przeanalizujemy równanie pomocnicze. Przekształcimy to równanie do równania kwadratowego. $t=\sqrt{x}, t>0$ Podstawiamy t do naszego równania, otrzymując równanie kwadratowe. $t^2-2t-4=0$ Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby: $t=1-\sqrt{5}$ oraz $t=1+\sqrt{5}$. Szukamy liczby nieujemnej, zatem bierzemy pod uwagę tylko dodatni pierwiastek. Wracamy do naszego równania i zapisujemy, że $\sqrt{x}=1+\sqrt{5}$. Zatem jedyne rozwiązanie równania to: $x=6+2\sqrt{5}$.