Inne przekształcenia izometryczne

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Zapoznanie uczniów z pojęciem przekształcenia tożsamościowego oraz symetrii z poślizgiem w ujęciu klasycznym oraz częściowo analitycznym, zapoznanie z własnościami tych przekształceń.

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi konstruować obrazy niektórych figur w przekształceniu tożsamościowym oraz w symetrii z poślizgiem.

2. Uczeń potrafi obliczać współrzędne obrazów punktów w przekształceniu tożsamościowym oraz w symetrii z poślizgiem z określonymi parametrami.

3. Badanie przekształceń izometrycznych na podstawie wzoru analitycznego.

4. Uczeń poszukuje argumentacji matematycznej w oparciu o poznaną definicję i wcześniejsze wiadomości.

2. Metoda i forma pracy

Praca indywidualna, praca zespołowa.

3. Środki dydaktyczne

1. Komputer z rzutnikiem multimedialnym.

2. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego.

4. Przebieg lekcji

Zapoznanie uczniów z definicjami dwóch przekształceń: przekształcenia tożsamościowego oraz symetrii z poślizgiem (wypowiedź słowna, wprowadzenie nazewnictwa):

Przekształceniem tożsamościowym nazywamy takie przekształcenie, w którym obrazem dowolnego punktu X jest ten sam punkt, tzn. .

, gdzie .

Następnie uczniowie samodzielnie, w oparciu o podane definicje, konstruują obraz punktu w obu przekształceniach (najpierw w przekształceniu tożsamościowym, potem w symetrii z poślizgiem). Jeden z uczniów charakteryzuje przekształcenie tożsamościowe zgodnie z następującymi poleceniami (jednakowymi dla obu przekształceń):

• Czy przekształcenie tożsamościowe i symetria z poślizgiem są przekształceniami geometrycznymi?

• Znajdź punkty stałe obu przekształceń.

• Wyznacz zbiór wartości obu przekształceń.

• Scharakteryzuj odcinki XX’, przy wszelkich położeniach punktu X dla przekształcenia tożsamościowego i symetrii z poślizgiem.

• Co może być obrazem prostej, okręgu, trójkąta w obu przekształceniach?

• Czy można wskazać takie dwa punkty X i Y, aby w obu przekształceniach?

• Jakie jest przekształcenie odwrotne do przekształcenia tożsamościowego i do symetrii z poślizgiem?

Odpowiedzi na powyższe pytania powinny być poparte jakąś argumentacją.

W wyniku pracy zostaje wypracowana następująca charakterystyka przekształcenia tożsamościowego:

• Jest to przekształcenie geometryczne.

• Każdy punkt płaszczyzny jest punktem stałym..

• Zbiorem wartości jest cała płaszczyzna.

• Odcinki XX’ (przy wszelkich położeniach punktu X) są zawsze odcinkami zerowymi.
  

  RMKZN3wd6BCJU

  

• Obrazem prostej jest ta sama prosta. Obrazem okręgu jest ten sam okrąg. Obrazem dowolnej figury jest zawsze ta sama figura.

• Przekształcenie tożsamościowe jest przekształceniem izometrycznym.

• Przekształceniem odwrotnym do przekształcenie tożsamościowego jest to samo przekształcenie.

Następnie przechodzimy do pracy nad symetrią z poślizgiem. Nauczyciel wykonuje konstrukcje „na oczach” uczniów na komputerze (wystarcza program CABRI 1) wyjaśniając dobór elementów koniecznych do zaistnienia przekształcenia (tzn. prostej i wektora do niej równoległego) oraz na czym polega złożenie i jak się je wykonuje. Następnie porusza punktem X – uczniowie obserwują obraz X’. Dodatkowo uczący zaznacza odcinek XX’.

RT0lYVO4wNPyl

RMmERgJVD7Zlu

RWetMOyEivmts

Uczniowie początkowo pracują samodzielnie w poszukiwaniu odpowiedzi na postawione pytania, potem tworzą grupy czteroosobowe (dwie sąsiednie ławki) i uzgadniają wspólne stanowisko. Następnie przechodzimy do wymiany poglądów. Pojawiają się także na ekranie obrazy prostej, okręgu w symetrii z poślizgiem konstruowane na zasadzie „miejsca geometrycznego punktu”.

R7rHfK2Yk4UJZ

REhObFifWSeF4

Uzgodniona charakterystyka symetrii z poślizgiem:

• Jest to przekształcenie geometryczne.

• Nie ma punktów stałych (uczniowie zauważają, że znaczącą w tym aspekcie rolę odegrała translacja, a nie symetria osiowa).

• Zbiorem wartości jest cała płaszczyzna.

• Odcinki XX’ (przy wszelkich położeniach punktu X) są różnej długości: od długości danego wektora, do dowolnie dużej, przez środek każdego z tych odcinków przechodzi prosta a.

• Obrazem prostej jest prosta, tylko w szczególnych sytuacjach równoległa do danej (wyjściowa prosta musi być równoległą lub prostopadłą do prostej a). Obrazem okręgu jest okrąg o tym samym promieniu.

• Symetria z poślizgiem jest przekształceniem izometrycznym (uczący podaje informacyjnie: wynika to ze złożenia dwóch przekształceń izometrycznych).

• Przekształceniem odwrotnym do symetrii z poślizgiem jest symetria z poślizgiem z wektorem przeciwnym do danego.

• Dodatkowa własność: symetria z poślizgiem jest złożeniem, w którym zachodzi przemienność przekształceń, tzn.: .

Kolejny etap lekcji dotyczy obu przekształceń w układzie współrzędnych. Dla przekształcenia tożsamościowego uczniowie od razu formułują wniosek: Obrazem punktu jest ten sam punkt . W przypadku symetrii z poślizgiem uczniowie formułują wnioski w zależności od doboru parametrów związanych z prostą a w symetrii osiowej. Wówczas obrazem punktu jest:

1. Prosta a to oś rzędnych, wektor , ,

2. Prosta a to oś odciętych, wektor $\overrightarrow{w}=[p,0]$, $A\prime (x+p,-y)$,

3. Prosta a ma równanie x = k, wektor $\overrightarrow{w}=[0,q]$, $A\prime (2k-x,y+q)$,

4. Prosta a ma równanie y = k, wektor $\overrightarrow{w}=[p,0]$, $A\prime (x+p,2k-y)$,

5. Prosta a ma równanie y = x, wektor $\overrightarrow{w}=[p,p]$, $A\prime (y+p,x+p)$.

Ćwiczenie: Zbadaj czy przekształcenia zadane wzorami są izometriami?

• - to przekształcenie jest izometrią: można wykonać odpowiedni rachunek lub dobrać przekształcenia i wykonać ich złożenie (w tym wypadku, np. obrót o kąt 90Indeks górny o^o oraz translacja o wektor [3, 5]).

• - to przekształcenie nie jest izometrią: warto posłużyć się kontrprzykładem.

5. Bibliografia

1. Konior J., Repetytorium z CABRI, część II, [w:] „Matematyka i Komputery” nr 11, 2002, s. 5‑8.

2. Pająk W., Badanie przekształceń geometrycznych, [w:] „Nauczyciele i Matematyka” nr 8, 1993, s. 22‑23.

3. Pająk W., CABRI i przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, VULCAN, Wrocław 1994.

4. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A., Żylak K., Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

5. Pawlak R i H., Rychlewicz A i A, Żylak K., Matematyka krok po kroku. Zbiór zadań dla klasy pierwszej liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony, RES POLONA, Łódź 2002.

6. Załączniki

a) Zadanie domowe

1. Przykłady przekształceń zadanych wzorami: , .

2. Kilka zadań ze zbioru zadań: strona 181.

7. Czas trwania lekcji

2 godziny lekcyjne

8. Uwagi do scenariusza

brak