Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

W poniższej tabeli zapisane są wartości funkcji $f\left(x\right)=x^2$ dla kilku przykładowych argumentów.

Odczytujemy stąd, że $f\left(2\right)=f\left(-2\right)=4$. Uzasadnimy, że tylko dla tych dwóch argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość $4$.

Argument $x$, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość $4$, spełnia równanie $x^2=4$, które jest równoważne równaniu

czyli

Otrzymany iloczyn $\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego czynników jest równy zero.

Wobec tego $x-2=0$ lub $x+2=0$.

Stąd $f\left(x\right)=4$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=2$ lub $x=-2$.

Z tabeli z Przykładu 1 odczytujemy, że $f\left(0\right)=0$, $f\left(1\right)=1$, $f\left(2\right)=4$, $f\left(3\right)=9$, więc $f\left(0\right)<f\left(1\right)<f\left(2\right)<f\left(3\right)$.

Zauważmy też, że $f\left(1\right)-f\left(0\right)=1$, $f\left(1\right)-f\left(0\right)=1$, $f\left(3\right)-f\left(2\right)=5$.
Uzasadnimy, że:

1. dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest nierówność $f\left(n+1\right)>f\left(n\right)$,

2. wraz ze wzrostem $n$ różnica $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)$ rośnie.

Ad 1. Weźmy pewną liczbę całkowitą nieujemną $n$. Wówczas $f\left(n\right)=n^2$ i $f\left(n+1\right)={\left(n+1\right)}^2=n^2+2n+1$, więc $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=n^2+2n+1-n^2=2n+1>0$, bo liczba $n$ jest nieujemna.

Ad 2. Ponieważ $f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=2n+1$, więc wraz ze wzrostem $n$ rośnie wartość $2n+1$.

Pokażemy, że jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2$ z osią $X$ jest punkt $\left(0, 0\right)$, a pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi $X$.

Funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne, ponieważ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ jest $x^2\ge 0$.

Ponadto $x^2=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=0$.

Zatem:

• punkt $\left(0,0\right)$ jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji $f$ z osią $X$,

• pozostałe punkty wykresu tej funkcji leżą powyżej osi $X$.

Uzasadnimy, że prosta określona równaniem $x=0$ jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Na wykresie funkcji $f$ możemy wskazać pary punktów symetrycznych względem osi $Y$. Np. $\left(1, 1\right)$ oraz $\left(-1, 1\right)$, a także $\left(-2, 4\right)$ i $\left(2, 4\right)$.

Jak wcześniej wykazaliśmy, funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość dla takich dwóch argumentów, które są liczbami przeciwnymi.

Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość
$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, a to oznacza, że oś $Y$ (czyli prosta o równaniu $x=0$) jest osią symetrii wykresu funkcji $f$.

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest nierówność $f\left(n+1\right)>f\left(n\right)$.

Wykażemy, że dla dowolnych liczb nieujemnych $x_1$, $x_2$, takich że $x_1<x_2$, prawdziwa jest nierówność $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$.

Weźmy takie dwie liczby nieujemne $x_1$, $x_2$, że $x_1<x_2$. Wtedy

W otrzymanym iloczynie oba czynniki są dodatnie: $x_2-x_1>0$, bo $x_1<x_2$, natomiast $x_2+x_1>0$, gdyż $x_2+x_1$ jest sumą liczby nieujemnej $x_1$ i liczby dodatniej $x_2$.

Stąd $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0$, czyli $f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)$.

Zatem (z uwagi na symetrię wykresu funkcji $f$ względem osi $Y$).

• maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca to $\left.⟨0, \infty \right)$,

• maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest malejąca to $\left(-\infty , 0\right.⟩$.

Uzasadniliśmy wcześniej, że dla każdej pary argumentów, które są liczbami przeciwnymi, funkcja $f$ przyjmuje tę samą wartość.

Wykażemy, że dla każdej dodatniej liczby k istnieją dokładnie dwa takie argumenty funkcji $f$, że $f\left(x\right)=k$.

Przekształcamy równanie

Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $x-\sqrt{k}=0$ lub $x+\sqrt{k}=0$.

Zatem $f\left(x\right)=k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x=\sqrt{k}$ lub $x=-\sqrt{k}$.

Liczby te są różne, gdyż $-\sqrt{k}<0<\sqrt{k}$.

To oznacza, że dowolna dodatnia liczba $k$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.

Ponieważ $f\left(0\right)=0$, to możemy stwierdzić, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨0, \infty \right)$.

Narysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=2x^2$.

Ustalimy najpierw zależność między wykresem funkcji $g$, a wykresem funkcji $f\left(x\right)=x^2$.

Wartości tych funkcji dla kilku przykładowych argumentów prezentuje poniższa tabela.

Zauważmy, że $g\left(0\right)=f\left(0\right)=0$.

Dla ustalonego argumentu $x\ne 0$, $f\left(x\right)>0$ oraz równość

co oznacza, że wartość funkcji $g$ jest dwa razy większa od wartości funkcji $f$.

Wykres funkcji $g$ (krzywa o równaniu $y=2x^2$) jest parabolą, której wierzchołkiem jest punkt $O=\left(0, 0\right)$, a ramiona skierowane są w górę.

R2NFD9Wn1Tn7F1

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do dziewięciu. W podanym układzie współrzędnej zaznaczono dwie parabole ze skierowanymi ramionami do góry i wierzchołku w punkcie $(0,0)$. Pierwsza parabola przechodzi przez punkty $(-2,4), (-1,1), (0,0) (1,1), (2,4)$. Druga parabola przechodzi przez punkty $(-2,8), (-1,2), (0,0) (1,2), (2,8)$.

Wykażemy, że krzywa o równaniu $y=x^2$ to parabola, której kierownicą jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{4}$, a ogniskiem punkt $F=\left(0, \frac{1}{4}\right)$.

Spośród punktów danej krzywej, najbliżej prostej $k$ leży punkt $W=\left(0, 0\right)$, jedyny punkt tej krzywej, który leży na osi $X$.

Jego odległość zarówno od punktu $F$, jak i od prostej $k$ jest równa $\frac{1}{4}$.

Na krzywej o równaniu $y=x^2$ leżą też np. punkty $A=\left(1, 1\right)$ i $B=\left(-2, 4\right)$.

Pokażemy, że każdy z nich jest równo odległy od kierownicy $k$ i ogniska $F$.

Dla punktu $A$ odległość od kierownicy $k$ jest równa $1\frac{1}{4}$, a odległość od ogniska jest równa

czyli również $1\frac{1}{4}$.

Dla punktu $B$ odległość od kierownicy $k$ jest równa $4\frac{1}{4}$, a odległość od ogniska jest równa

zatem i te dwie odległości są równe.

Pokażemy, że każdy punkt krzywej o równaniu $y=x^2$ leży w tej samej odległości od prostej $k$ i punktu $F$.

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ punkt $P=\left(x, x^2\right)$ leży na tej krzywej.

Odległość punktu $P$ od prostej $k$ to $x^2+\frac{1}{4}$, a odległość punktu $P$ od ogniska $F$ jest równa

Zatem dla każdego $x$ odległości te są równe, więc krzywa o równaniu $y=x^2$ to parabola, której wierzchołkiem jest punkt $W=\left(0, 0\right)$, a jej osią symetrii jest prosta o równaniu $x=0$.

Narysujemy wykresy funkcji.

1. $g_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+1\right)}^2$,

2. $g_2\left(x\right)=-x^2-1$,

3. $g_3\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+3$,

4. $g_4\left(x\right)=-2{\left(x+1\right)}^2$.

Rozpatrzmy funkcję $f$ daną wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a$ jest ustaloną liczbą różną od zera.

Obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$ jest wykres takiej funkcji $g$, że $g\left(x\right)=a{x}^2+q$. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu $y=a{x}^2$, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0, q\right)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$.

Obrazem wykresu funkcji $f$ w przesunięciu o $p$ jednostek wzdłuż osi $X$ jest wykres takiej funkcji $h$, że $h\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$. Jest to więc parabola przystająca do paraboli o równaniu $y=a{x}^2$, której wierzchołkiem jest punkt $\left(p, 0\right)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=p$.

Wobec powyższego:

1. Wykresem funkcji $g_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(x+3\right)}^2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(-3, 0\right)$, a jej ramiona są skierowane w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=-3$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_1$ jest rosnąca, to $\left.⟨-3, \infty \right)$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $g_1$ jest malejąca, to $\left(-\infty ,-3\right.⟩$. Zbiór wartości funkcji $g_1$ to $\left.⟨0, \infty \right)$.

   R1AE857RKXn9y1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ oraz $g_1\left(x\right)=\frac{1}{2}(x+3{)}^2$.

   

2. Wykresem funkcji $g_2\left(x\right)=2x^2+1$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0, 1\right)$, a jej ramiona skierowane są w górę. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_2$ jest rosnąca, to $\left.⟨0, \infty \right)$, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $\left(-\infty , 0\right.⟩$. Zbiór wartości funkcji $g_2$ to $\left.⟨1, \infty \right)$.

   RXKOvmI3tJjCv1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji $f\left(x\right)=2x^2$oraz $g_2\left(x\right)=2x^2+1$.

   

3. Wykresem funkcji $g_3\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(0, 3\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=0$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_3$ jest rosnąca, to $\left(-\infty , 0\right.⟩$, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $\left.⟨0, \infty \right)$. Zbiór wartości funkcji $g_2$ to $\left(-\infty , 3\right.⟩$.

   RA6dB5zem747m1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2$ oraz $g_3\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+3$.

   

4. Wykresem funkcji $g_4\left(x\right)=-{\left(x-1\right)}^2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt $\left(1, 0\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=1$. Maksymalny przedział, w którym funkcja $g_4$ jest rosnąca, to $\left(-\infty , 1\right.⟩$, a maksymalny przedział, w którym jest ona malejąca, to $\left.⟨1, \infty \right)$. Zbiór wartości funkcji $g_4$ to $\left(-\infty , 0\right.⟩$.

   RUl47UxXFIMjV1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono wykres funkcji $f\left(x\right)=-x^2$ oraz $g_4\left(x\right)=-(x-1{)}^2$.

   

Znajdziemy równania parabol, które są zaprezentowane na poniższych rysunkach.

1. R1DvHQM9TzVPX1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono parabolę której współrzędne wierzchołka są równe $W=(0,1)$. Dodatkowo wykres funkcji przechodzi przez takie punkty jak: $(-2,5)$, $(-1,2)$ oraz $(-1,2)$.

   

2. Rgk5T4gsfeleo1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do jeden. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono parabolę której współrzędne wierzchołka są równe $W=(-1,0)$. Dodatkowo wykres funkcji przechodzi przez takie punkty jak: $(-3,-4)$, $(-2,-1)$ oraz $(0,-1)$.

   

3. R7uum6y7aCPJV1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono parabolę której współrzędne wierzchołka są równe $W=(1,0)$. Dodatkowo wykres funckji przechodzi przez takie punkty jak: $(0,2)$ oraz $(2,2)$.

   

4. RGI42iKpgPpxS1

   Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. W zadanym układzie współrzędnych zaznaczono parabolę której współrzędne wierzchołka są równe $W=(0,3)$. Dodatkowo wykres funkcji przechodzi przez takie punkty jak: $(-3,0)$ oraz $(3,0)$.

   

Ad 1. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(0, 1\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{x}^2+1$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(1, 2\right)$, zatem $a·1^2+1=2$, stąd $a=1$. Wobec tego równanie tej paraboli to $y=x^2+1$.

Ad 2. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(-1, 0\right)$, zatem ma ona równanie postaci $y=a{\left(x+1\right)}^2$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(0,-1\right)$, więc $a·{\left(0+1\right)}^2=-1$, stąd $a=-1$. To znaczy, że ta parabola ma równanie $y=-{\left(x+1\right)}^2$.

Ad 3. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(1, 0\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(0, 2\right)$, zatem $a·{\left(0-1\right)}^2=2$, stąd $a=2$. To znaczy, że ta parabola ma równanie $y=2{\left(x-1\right)}^2$.

Ad 4. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(0, 3\right)$, zatem ma ona równanie postaci $y=a{x}^2+3$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(3, 0\right)$, więc $a·3^2+3=0$, stąd $a=-\frac{1}{3}$. Wobec tego równanie tej paraboli to $y=-\frac{1}{3}{x}^2+3$.