Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

W tym materiale zawarte są wiadomości na temat kąta wpisanego i kąta środkowego okręgu. Poznasz podstawowe definicje, przykłady ilustrujące zależności między tymi kątami oraz twierdzenia związane z tym tematem.

 Kąt środkowy okręgu
Definicja:  Kąt środkowy okręgu

Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.

RQ774EiCk0EzS1
RMRvMXhKFZlQz1

Mówimy, że kąt środkowy α jest oparty na łuku AC, mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku.

  • w przypadku kątów mniejszych niż 180°, kąt środkowy jest oparty na krótszym z łuków AC,

  • w przypadku kątów większych niż 180°, kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków AC,

  • w przypadku kąta równego 180°, kąt środkowy oparty jest na półokręgu.

Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.

1
Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem i sprawdź, jaki jest związek kąta środkowego z kątem wpisanym.

R2cQseaYkODTp
Aplet pokazuje związek kąta środkowego A S B równego beta z kątem wpisanym A C B równym alfa, opartych na tym samym łuku AB okręgu o środku w punkcie S. Można stwierdzić, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
G5_aplet1_zaleznosci_miedzy_katem_srodkowym_wpisanym
  • I przypadek

Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.

R9O0RWCJHu1TJ1

Na okręgu o środku w punkcie S i promieniu r zaznaczmy punkty A, BC. Niech α będzie kątem środkowym opartym na łuku AB, a β niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku AB.

Oznaczmy γ=CAS oraz δ=SBC. Poprowadźmy z punktu C promień okręgu. Utworzone w ten sposób trójkąty ACS oraz BCS są równoramienne. Zatem w każdym z  tych trójkątów miary kątów przy podstawie są równe.

Rs7iFxThVlguO1

Zatem ACS=CAS=γBCS=CBS=δ.

Wtedy:

ASC=180°-2γ, BSC=180°-2δ.

Suma miar kątów ASC, BSC, ASB jest równa 360°

ASC+BSC+ASB=360°.

Czyli

180°-2γ+180°-2δ+α=360°
α=2γ+2δ=2γ+δ,

ale

γ + δ = β ,

więc

α=2β.
  • II przypadek

Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.

RG6UetkKQSThS1

Trójkąt BCS jest równoramienny, stąd SBC=β. Zatem

BSC=180°-2β.

Z drugiej strony BSC+α=180°.

Zatem 180°-2β+α=180°, więc w tym przypadku także

α=2β.
  • III przypadek

Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.

R1X95vuebQGL81

Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt C.

R1QN0qLVzTdNr1

Oznaczmy przez γ kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem AC kąta wpisanego, jak na rysunku.

Zauważmy, że kąt ASD jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt γ i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

ASD=2γ.
RY5wB5BWBENVd1

Kąt γ+β jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy 2γ+α i jest to sytuacja opisana w przypadku II. Zatem

2γ+β=2γ+α.

Stąd ponownie otrzymujemy

α=2β.

Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.

o kącie środkowym i wpisanym
Twierdzenie: o kącie środkowym i wpisanym

Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.

o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu
Twierdzenie: o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku okręgu

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.

RvrZTym0QbqZ81
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida