Kąt środkowy, kąt wpisany
W tym materiale zawarte są wiadomości na temat kąta wpisanego i kąta środkowego okręgu. Poznasz podstawowe definicje, przykłady ilustrujące zależności między tymi kątami oraz twierdzenia związane z tym tematem.
Kątem środkowym okręgu nazywamy kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu.
Mówimy, że kąt środkowy jest oparty na łuku , mając na myśli łuk zaznaczony na rysunku.
w przypadku kątów mniejszych niż , kąt środkowy jest oparty na krótszym z łuków ,
w przypadku kątów większych niż , kąt środkowy oparty jest na dłuższym z łuków ,
w przypadku kąta równego , kąt środkowy oparty jest na półokręgu.
Rozpatrzymy teraz sytuację, w której kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu.
Zapoznaj się z apletem i sprawdź, jaki jest związek kąta środkowego z kątem wpisanym.
przypadek
Środek okręgu leży wewnątrz kąta wpisanego.
Na okręgu o środku w punkcie i promieniu zaznaczmy punkty , i . Niech będzie kątem środkowym opartym na łuku , a niech będzie kątem wpisanym opartym na tym samym łuku .
Oznaczmy oraz . Poprowadźmy z punktu promień okręgu. Utworzone w ten sposób trójkąty oraz są równoramienne. Zatem w każdym z tych trójkątów miary kątów przy podstawie są równe.
Zatem i .
Wtedy:
Suma miar kątów , , jest równa
Czyli
ale
więc
przypadek
Środek okręgu leży na ramieniu kąta wpisanego.
Trójkąt jest równoramienny, stąd . Zatem
Z drugiej strony .
Zatem , więc w tym przypadku także
przypadek
Środek okręgu leży na zewnątrz kąta wpisanego.
Narysujmy średnicę okręgu przechodzącą przez punkt .
Oznaczmy przez kąt pomiędzy narysowaną średnicą a ramieniem kąta wpisanego, jak na rysunku.
Zauważmy, że kąt jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt i jest to sytuacja opisana w przypadku . Zatem
Kąt jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy i jest to sytuacja opisana w przypadku . Zatem
Stąd ponownie otrzymujemy
Udowodniliśmy w ten sposób twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym.
Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.
Z tego twierdzenia wynikają wprost twierdzenia zapisane poniżej.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku okręgu mają równe miary.