Kąty przyległe i wierzchołkowe

Kąty przyległe

Lena i Milena miały zmierzyć za pomocą kątomierza narysowany kąt.

R1MdTxNyFgxPF1
Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty przyległe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1MdTxNyFgxPF

Katy przylegle i katy wierzcholkowe_4300
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty przyległe.

Kąty przyległe
Definicja: Kąty przyległe

Dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą, nazywamy kątami przyległymi.

R1K34ceElP4A31
Rysunek kątów przyległych alfa i beta. Kąty te mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona tworzą prostą.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem.

Zapoznaj się z opisem poniższej animacji.

R1PSqvMLG36ms1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zaznaczone kąty mają miary 75 stopni i 105 stopni. Możemy zmienić położenie punktu P w taki sposób, że zaznaczone kąty mają miary 120 stopni i 60 stopni. Zmieniając położenie punktu P zauważamy, że suma miar zaznaczonych kątów jest zawsze taka sama i wynosi 180 stopni.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PSQf0E43Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Suma miar kątów przyległych
Własność: Suma miar kątów przyległych

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

R1FpNuHKnNgvz1
Rysunek kątów przyległych alfa i beta. Zapis: alfa+beta=180 stopni.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Polecenie 2
R1XvJ7muYX0lV1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między nimi zaznaczona para kątów przyległych. Na jednej prostej leży punkt P. Zmieniając położenie prostej zauważamy, że zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PSQf0E43Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R126ZfOMlRJio1
Ćwiczenie 1
Oblicz miary drugich kątów przyległych i uzupełnij zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby. Jeden z kątów przyległych ma miarę 127°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 19°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 56°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 139°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.Jeden z kątów przyległych ma miarę 179°, więc drugi z kątów ma miarę Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTRPWPTIaYqG711
Ćwiczenie 2
Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Jeśli kąty przyległe są sobie równe, to każdy z nich ma miarę równą 1. 90°, 2. 180°, 3. 0°, 4. 45°, 5. 360°.

Przeciągnij i upuść.

45˚, 180˚, 360˚, 0˚, 90˚

Jeśli kąty przyległe są sobie równe, to każdy z nich ma miarę równą ............ stopni.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1GbbFC7hHF141
Ćwiczenie 3
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego., 2. Kąty przyległe mogą być jednocześnie kątami rozwartymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R2OK0dRxW6UD921
Ćwiczenie 4
Jeden z kątów przyległych ma miarę o 56° mniejszą od miary kąta półpełnego. Jaka jest miara drugiego z tych kątów? Uzupełnij lukę, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Drugi kąt ma miarę Tu uzupełnij°.

Jeden z kątów przyległych ma miarę o 56˚ mniejszą od miary kąta półpełnego. Jaka jest miara drugiego z tych kątów?

Odp.: Drugi kąt ma miarę ............ °.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rimyy8ek4CIii2
Ćwiczenie 5
Jeden z kątów przyległych ma miarę o 90° większą od miary drugiego z kątów. Oblicz miary obu kątów, następnie uzupełnij odpowiedź wpisując wyniki w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane kąty przyległe mają miary Tu uzupełnij° i Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Nlgr1eyP7wc2
Ćwiczenie 6
Jeden z kątów przyległych ma miarę 5 razy większą od miary drugiego z kątów. Oblicz miary obu kątów, następnie uzupełnij odpowiedź wpisując wyniki w kolejności rosnącej. Odpowiedź: Szukane kąty przyległe mają miary Tu uzupełnij° i Tu uzupełnij°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąty wierzchołkowe

R1BeKu0cUPYw11
Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty wierzchołkowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1BeKu0cUPYw1

Atrapa_animacji
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia w jaki sposób należy mierzyć kąty wierzchołkowe.

Kąty wierzchołkowe 
Definicja: Kąty wierzchołkowe 

Kąty wypukłe, których ramiona uzupełniają się do prostych, nazywamy kątami wierzchołkowymi.

R1edWsqEmcwoW1
Rysunek kątów wierzchołkowych alfa i beta, których ramiona uzupełniają się do prostych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Przykład 1
R1dBQ6GQ9dS5I1
Animacja pokazuje dwie proste przecinające się. Między prostymi zaznaczona para kątów wierzchołkowych. Każdy z zaznaczonych kątów ma miarę 105 stopni. Na jednej prostej leży punkt P. Przesuwając punkt P możemy otrzymać inne pary kątów wierzchołkowych, np. o mierze 70 stopni każdy. Zmieniając położenie punktu P, zmienia się wzajemne położenie ramion i wierzchołków zaznaczonych kątów. Zaznaczone kąty wierzchołkowe zawsze mają taką samą miarę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/PSQf0E43Q

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Kąty wierzchołkowe   
Własność: Kąty wierzchołkowe   

Kąty wierzchołkowe mają równe miary.

R1Mgu3WNGQ7QQ1
Rysunek kątów wierzchołkowych alfa i beta, których ramiona uzupełniają się do prostych. Zapis: alfa=beta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 7

Trzy proste przecinające się w jednym punkcie podzieliły płaszczyznę na sześć kątów.

R13Qef0KsdOuE1
Rysunek trzech prostych przecinających się w jednym punkcie. Między prostymi utworzyły się kąty 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FP2zyZhEXHF
Dokończ zdanie, wybierając wszystkie poprawne odpowiedzi.
Spośród kątów 1 - 6 pary kątów wierzchołkowych to: Możliwe odpowiedzi: 1. 1 i 4, 2. 2 i 5, 3. 3 i 6, 4. 1 i 6, 5. 2 i 4, 6. 3 i 5
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1WsPSdAFd7qy3
Ćwiczenie 7
Na rysunku przecięły się dwie proste. Ile w ten sposób par kątów wierzchołkowych otrzymaliśmy? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. jedną, 2. dwie, 3. trzy, 4. cztery
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 8

Rysunek przedstawia kąty ostre i rozwarte.

RX9EmgOsB0l3Q1
Rysunek trzech prostych przecinających się w punkcie O. Między prostymi utworzyły się kąty S O P, P O R, R O K, K OT, T O N.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DGJBVxvyT2d
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąty NOT i POR to kąty wierzchołkowe., 2. Kąty NOS i ROK mają taką samą miarę., 3. Kąt TON jest przyległy do kąta NOS., 4. Suma kątów POR i KOT wynosi 180°., 5. Kąty POK i NOT nie są kątami wierzchołkowymi.

  • Kąty NOT i POR to kąty wierzchołkowe.
  • Kąty NOS i ROK mają taką samą miarę.
  • Kąt TON jest przyległy do kąta NOS.
  • Suma kątów POR i KOT wynosi 180°.
  • Kąty POK i NOT nie są kątami wierzchołkowymi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HF46GHEqH1d3
Ćwiczenie 8
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąty przyległe mogą mieć równe miary., 2. Kąty wierzchołkowe mogą mieć równe miary., 3. Kąty przyległe mogą mieć różne miary., 4. Kąty wierzchołkowe mogą mieć różne miary., 5. Suma dowolnej pary kątów przyległych wynosi 180°., 6. Suma dowolnej pary kątów wierzchołkowych wynosi 180°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.