Mnożenie dwumianu przez dwumian

R1Lc9xyOBdqTY

Rlux06xKGqBgY1

Ilustracja prezentuje monolityczny posąg mitycznego stworzenia (Sfinksa), znajdujący się na terenie kompleksu piramid w Gizie pod Kairem. — Źródło: dostępny w internecie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Strażnikiem wrót prowadzących do pewnej piramidy jest sfinks. Jeśli chcesz wejść do piramidy, musisz rozwiązać zagadkę, którą zada ci sfinks. W przeciwnym razie może zamienić cię w kamień.

Zagadka sfinksa.

Suma dwóch liczb jest równa siedem, a ich różnica jest równa trzynaście. Ile jest równa różnica kwadratów tych liczb?

Czy potrafisz rozwiązać zagadkę sfinksa?

Jeśli nie – zapoznaj się z poniższym materiałem, a znajdziesz tam odpowiedź. Jeśli zagadka została przez Ciebie rozwiązana – również zajrzyj do poniższego materiału, aby rozszerzyć swoje umiejętności.

Bowiem w tym materiale zajmiemy się mnożeniem dwumianów, czy wyrażeń algebraicznych, będących sumą dwóch jednomianów.

Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
Ilustracja interaktywnaIlustracja interaktywna
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik

Twoje cele

Pomnożysz dwa dwumiany.
Zapiszesz w prostszej postaci wyrażenie wymagające mnożenia dwumianów.
Wykorzystasz interpretację geometryczną wyrażeń algebraicznych w obliczeniach.

Prostokąt przedstawiony na rysunku podzielono na mniejsze prostokąty.

RVBiwLmgeGw1Q

Na grafice ukazany jest niebieski prostokąt. Przez prostokąt poprowadzona jest linia pozioma, który dzieli jego wysokość na dwie części. Część dłuższa ma wartość 5, natomiast część krótsza oznaczona jest literą y. Przez prostokąt poprowadzona jest także linia pionowa, która dzieli długość jego boku na dwie części. Część dłuższa oznaczona jest literą x, a część krótsza ma wartość 2. Poprowadzone linie podzieliły prostokąt na cztery mniejsze. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Pole tego prostokąta opisują wyrażenia $(x + 2) (5 + y)$ oraz $5 x + x y + 10 + 2 y$ .

RCVBTXBoEkUc7

Możemy więc zapisać:
$(x + 2) (5 + y) = 5 x + x y + 10 + 2 y$
Zatem wyrażenie zapisane po prawej stronie równości otrzymujmy, mnożąc sumy algebraicznemnożenie sum algebraicznychmnożąc sumy algebraiczne $x + 2$ i $5 + y$ .
Chcąc w inny sposób wykonać to mnożenie, stosujemy prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

(x + 2) (5 + y) = x \cdot (5 + y) + 2 \cdot (5 + y) = 5 x + x y + 10 + 2 y

Wykonać mnożenie możemy też w prostszej wersji – mnożąc od razu każdy wyraz pierwszego dwumianu, przez każdy wyraz drugiego dwumianu.

(x + 2) (5 + y) = x \cdot 5 + x \cdot y + 2 \cdot 5 + 2 \cdot y = 5 x + x y + 10 + 2 y

Korzystając z powyższego przykładu, podamy sposób mnożenia sum algebraicznychmnożenie sum algebraicznychmnożenia sum algebraicznych.

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, należy każdy wyraz pierwszej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane jednomiany dodać.

Przykład 1

Zapiszemy iloczyn $(2 x - 1) (- 5 x + 2)$ w postaci sumy.

Mnożenie	Obliczenia pomocnicze
$(2 x - 1) (- 5 x + 2) =$	$-$
$2 x \cdot (- 5 x) + 2 x \cdot 2 - 1 \cdot (- 5 x) - 1 \cdot 2 =$	$2 x \cdot (- 5 x) = - 10 x^{2}$ $2 x \cdot 2 = 4 x$ $- 1 \cdot (- 5 x) = 5 x$ $- 1 \cdot 2 = - 2$
$- 10 x^{2} + 4 x + 5 x - 2 =$	$4 x + 5 x = 9 x$
$- 10 x^{2} + 9 x - 2$	$-$

Mnożenie sum algebraicznych wykorzystamy do zapisania kwadratu dwumianu w postaci sumy.

Przykład 2

Zapiszemy wyrażenie ${(4 + x)}^{2}$ w postaci sumy.

Aby wykonać potęgowanie, zapisujemy kwadrat danego wyrażenia w postaci iloczynu, a następnie mnożymy.

{(4 + x)}^{2} = (4 + x) (4 + x)

(4 + x) (4 + x) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot x + 4 \cdot x + x \cdot x = 16 + 4 x + 4 x + x^{2}

Redukujemy wyrazy podobne.

{(4 + x)}^{2} = 16 + 8 x + x^{2}

Mnożenie dwumianów czasem wykonujemy sposobem pisemnym, podobnie jak mnożymy liczby naturalne.

Przykład 3

Pomnożymy pisemnie $(3 x - 2)$ i $(x + 1)$ .
Krok $1$
Zapisujemy jeden dwumian pod drugim.

R1UUxBOgtZAep

Na grafice ukazana biała kartka z notatnika. Zapisane jest na niej mnożenie pisemne dwumianu 3x‑2 oraz x+1. Dwumiany zapisane są jeden pod drugim. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Krok $2$
Mnożymy pierwszy dwumian przez $1$ .

R1ZvtvzQxUQKz

Na grafice ukazana biała kartka z notatnika. Zapisane jest na niej mnożenie pisemne dwumianu 3x‑2 oraz x+1. Dwumiany zapisane są jeden pod drugim. Pod kreską zapisano wynik mnożenia dwumianu 3x‑2 przez 1. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Krok $3$
Mnożymy pierwszy dwumian przez $x$ .

R1A5mhCMCgsxr

Krok $4$
Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.

RrcuHUPaav9Ia

$(3 x - 2) \cdot (x + 1) = 3 x^{2} + x - 2$

Poznane sposoby mnożenia można zastosować do mnożenia wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 4

Zapiszemy w prostszej postaci wyrażenie $W = (\sqrt{2} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{5} + \sqrt{2})$ .

W = \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}

Zauważmy, że: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$ i $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 5}$ .

W = 2 \sqrt{10} + \sqrt{4} + 2 \sqrt{25} - \sqrt{10}

W = 2 \sqrt{10} + 2 + 2 \cdot 5 - \sqrt{10}

Redukujemy wyrazy podobne.

W = 12 + \sqrt{10}

Przykład 5

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości $2 x - 3$ i $1 + 3 x$ , gdzie $x > 1, 5$ . Wysokość tego prostopadłościanu jest równa $4$ . Zapiszemy wzór, który pozwoli na obliczenie objętości tego prostopadłościanu.

Rxp6uswSliD9y1

Prostopadłościan, którego podstawą jest prostokąt o bokach 1+3x oraz 2x‑3. Wysokość prostopadłościanu to 4. Bryła wypełniona jest kolorem niebieskim. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć objętość prostopadłościanu, mnożymy wysokość prostopadłościanu przez pole podstawy tego prostopadłościanu.
$V = 4 (2 x - 3) (1 + 3 x)$

W tym przypadku mnożymy najpierw pierwszą sumę przez $4$ , a następnie tak otrzymane wyrażenie mnożymy przez $1 + 3 x$ .
$V = (8 x - 12) (1 + 3 x)$
$V = 8 x + 8 x \cdot 3 x - 12 - 12 \cdot 3 x$
$V = 8 x + 24 x^{2} - 12 - 36 x$
$V = 24 x^{2} - 28 x - 12$

Notatki

RkdkI8F9hr2z3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ilustracja interaktywna

Polecenie 1

Obejrzyj materiał ilustrujący różne sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę.

RBjmVbz0cgFkz1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zapoznaj się z materiałem opisującym sposoby zamiany iloczynu dwumianów na sumę. Różne sposoby mnożenia dwumianów $7 x - 5 y$ i $2 x + 3 y$ .

Sposób pierwszy:

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x (2 x + 3 y) - 5 y (2 x + 3 y)$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 7 x \cdot 2 x + 7 x \cdot 3 y - 5 y \cdot 2 x - 5 y \cdot 3 y$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Drugi sposób:

Korzystamy z interpretacji graficznej.

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$7 x \cdot 2 x$	$- 5 y \cdot 2 x$
$3 y$	$7 x \cdot 3 y$	$- 5 y \cdot 3 y$

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$7 x$	$- 5 y$
$2 x$	$14 x^{2}$	$- 10 x y$
$3 y$	$21 x y$	$- 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Trzeci sposób:

Pomnożymy dwumiany pisemnie.

Mnożenie sposobem pisemnym: $7 x - 5 y$ oraz $2 x + 3 y$ .

Pod kreską zapisano: $21 x y - 15 y^{2}$ .

Pod spodem z jednym przesunięciem w lewą stronę zapisano: $14 x^{2} - 10 x y$ .

Pod kreską zapisano wynik: $14 x^{2} - 10 x y + 21 x y - 15 y^{2}$

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 21 x y - 10 x y - 15 y^{2}$ ,

$(7 x - 5 y) (2 x + 3 y) = 14 x^{2} + 11 x y - 15 y^{2}$ .

Polecenie 2

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $A \cdot B$ , gdy $A = 8 - w a$ i $B = - 2 a w - 3$ .
Skorzystaj z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

R1FlYoA8ib2kb

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

A \cdot B = (8 - w a) (- 2 w a - 3)

A \cdot B = - 16 w a - 24 + 2 w^{2} \cdot a^{2} + 3 w a

A \cdot B = 2 a^{2} w^{2} - 13 a w - 24

Polecenie 3

Wykonaj mnożenie: $(5 - 6 a) (7 a - 1)$ .

Skorzystaj z interpretacji graficznej mnożenia.

R7PDbG1lw3vqV

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R107PtbyO7c6e

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Kolumna pierwsza	Kolumna druga	Kolumna trzecia
$-$	$5$	$- 6 a$
$7 a$	$35 a$	$- 42 a^{2}$
$- 1$	$- 5$	$6 a$

$(5 - 6 a) (7 a - 1) = 35 a - 42 a^{2} - 5 + 6 a = - 42 a^{2} + 41 a - 5$ .

Polecenie 4

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $W = 3 (x + 1) (x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$

RJzUBtCmM8Nzx

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

$W = 3 (x + 1) (x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ , $W = 3 (x^{2} - x + x - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ ,

$W = 3 (x^{2} - 1) - 3 (x^{2} - 1)$ , $W = 0$ .

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Zaznacz prawidłowe dokończenie zdania. Wyrażenie algebraiczne opisujące pole prostokąta przedstawionego na rysunku to:

R15dDbMz8zs7G

Prostokąt o bokach równych x+2 oraz 2x‑3. Jest w kolorze zielonym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RuvVr3LYuczuR

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1UoDIvDVOI11

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RHEpAil7MoA4g

Ćwiczenie 3

Połącz w pary - iloczyn i odpowiadającą mu sumę algebraiczną.

(x - 2) (3 - x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(x + 2) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(- 2 - x) (3 + x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(x - 3) (x - 2)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

(2 - x) (3 + x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

- x^{2} - 5 x - 6

, 2.

x^{2} - 5 x + 6

, 3.

- x^{2} - x + 6

, 4.

x^{2} + 5 x + 6

, 5.

- x^{2} + 5 x - 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R9CaGrl8mUi1n

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Rnlto0i86QdWv

Ćwiczenie 5

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1bJGTLMnNYYd

Trójkąt prostokątny o bokach różnej długości. Przeciwprostokątna ma wartość a, przyprostokątna pozioma ma wartość a‑1, natomiast przyprostokątna pionowa a‑2. Trójkąt jest w kolorze zielonym. — Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1QdjTaAlElry

Łączenie par. . Aby obliczyć długości boków tego trójkąta, trzeba rozwiązać równanie

2 a^{2} - 6 a + 5 = a^{2}

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli każdą przyprostokątną tego trójkąta zwiększymy o

2

, to różnica między polem trójkąta o zwiększonych bokach i polem trójkąta przedstawionego na rysunku jest równa

2 a - 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli każdą przyprostokątną tego trójkąta zwiększymy o

2

, to różnica między polem trójkąta o zwiększonych bokach i polem trójkąta przedstawionego na rysunku jest równa

2 a - 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że liczba $K = (2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) + \sqrt{6}$ jest liczbą całkowitą.

R1NyjUS1Eh8FP

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne.
Pamiętaj, że $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ .

K = (2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) + \sqrt{6}

K = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \cdot 3 \sqrt{3} - 2 - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6}

K = 2 \sqrt{6} + 18 - 2 - 2 \sqrt{6} = 16

$16$ – liczba całkowita.

Ćwiczenie 8

Zapisz podane wyrażenie w postaci sumy i zredukuj wyrazy podobne.

(2 a - 3 b) (a + b) - 2 (a^{2} - 2 b^{2})

RkJH52gmtiBo4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

W = (2 a - 3 b) (a + b) - 2 (a^{2} - 2 b^{2})

W = 2 a^{2} + 2 a b - 3 a b - 3 b^{2} - 2 a^{2} + 4 b^{2}

W = b^{2} - a b

Słownik

mnożenie sum algebraicznych

Aby pomnożyć dwie sumy algebraiczne, należy każdy wyraz pierwszej sumy pomnożyć przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymame jednomiany dodać.

Bibliografia

Darling D., Banerjee A., (2020), Jeszcze dziwniejsza matematyka. Na granicy poznania, Gliwice: Helion.