Niekonwencjonalne metody rozwiązywania zadań

W sklepie było $16$ klientów. Gdy wyszło kilku klientów, w sklepie zostało jeszcze $4$ klientów. Ile klientów wyszło ze sklepu?
Szukana liczba klientów, którzy wyszli ze sklepu.

$\text{I}$ sposób
Sporządzamy odpowiedni rysunek – jedna kratka obrazuje jednego klienta.

R1DhVuCHfjCGO

W górnej części grafiki znajduje się szesnaście kwadracików w kolorze żółtym, ułożonych poziomo obok siebie. Znajdują się na nich liczby od 1 do 16, rosnące w prawą stronę. Nad kwadracikami znajduje się linia obejmująca wszystkie szesnaście kwadratów, a nad nią zamieszczony jest tekst: "Tylu klientów było początkowo w sklepie". W dolnej części grafiki znajduje się szesnaście kwadracików ułożonych poziomo obok siebie. Pierwsze cztery od lewej strony są w kolorze żółtym i znajdują się na nich liczby od 1 do 4, rosnące w prawą stronę. Kolejne dwanaście kwadracików jest w kolorze zielonym i znajdują się na nich liczby od 12 do 1, malejące w prawą stronę. Nad kwadracikami znajduje się linia obejmująca wszystkie szesnaście kwadratów, a nad nią zamieszczony jest tekst: "Tylu klientów było początkowo w sklepie". Pod czterema żółtymi kwadratami znajduje się linia z tekstem: "Tylu klientów zostało". Pod dwunastoma zielonymi kwadratami znajduje się linia z tekstem: "Tylu klientów wyszło".

Z rysunku odczytujemy, że wyszło $12$ klientów.

$\text{II}$ sposób
Rysujemy graf i korzystamy z metody działań odwrotnych. Jednak, aby skorzystać z tej metody, musimy wiedzieć, że $4+12=16$.

R1eu7IIv9mwqZ

Na grafice ukazany jest graf matematyczny. W pomarańczowym okręgu z lewej strony znajduje się liczba 16. W takim samym okręgu z prawej strony znajduje się liczba 4. Górą, pomiędzy okręgami poprowadzono łuk o ramionach skierowanych w dół, ze zwrotem w lewą stronę. Nad krzywą łuku znajduje się napis "+12". Dołem, pomiędzy okręgami poprowadzono łuk o ramionach skierowanych w górę, ze zwrotem w prawą stronę. Nad krzywą łuku znajduje się napis "-12".

Z grafu odczytujemy, że wyszło $12$ klientów.

$\text{III}$ sposób
Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Oznaczamy przez $x$ liczbę klientów, którzy wyszli.

Wyszło $12$ klientów.

Tasiemkę długości $12 \mathrm{cm}$ przecięto na dwie części w stosunku $2:4$. Jaką długość ma każda z tak otrzymanych części?
Szukane: długości części, na które podzielono tasiemkę.

$\text{I}$ sposób – metoda graficzna
Najpierw tasiemkę dzielimy na $12$ równych części – każda z tych części ma $1 \mathrm{cm}$ długości. To jest nasz rysunek pomocniczy.

RRywt8gQoL7kB

Ilustracja przedstawia dwanaście kwadratów w kolorze niebieskim, ułożonych poziomo obok siebie. Nad pojedynczym kwadratem znajduje się napis: "1 cm".

Wiemy, że tasiemkę podzielono w stosunku $2:4$.
Zatem na rysunku dokonujemy kolejnego podziału – tym razem na $2+4=6$ równych części.
Na rysunku widać, że każda z części będzie miała $2 \mathrm{cm}$ długości.

RBLcBaq5Hhdru

Ilustracja przedstawia dwanaście kwadratów w kolorze niebieskim, ułożonych poziomo obok siebie. Nad pojedynczym kwadratem znajduje się napis: "1 cm". Kwadraty podzielone są po dwa za pomocą linii w kolorze granatowym. Pod dwoma sąsiednimi kwadratami znajduje się napis: "2 cm".

Teraz ustalamy długość dwóch i czterech z uzyskanych części.

RyrstA4iq8hwm

Ilustracja przedstawia dwanaście kwadratów ułożonych poziomo obok siebie. Cztery pierwsze od lewej strony są w kolorze zielonym, a kolejne osiem jest w kolorze żółtym. Nad pojedynczym kwadratem znajduje się napis: "1 cm". Kwadraty podzielone są po dwa za pomocą linii w kolorze granatowym. Pod czterema zielonymi kwadratami znajduje się linia z tekstem: "4 cm". Pod ośmioma żółtymi kwadratami znajduje się linia z tekstem: "8 cm".

Z rysunku odczytujemy, że tasiemkę przecięto na części długości $4 \mathrm{cm}$ i $8 \mathrm{cm}$.

$\text{II}$ sposób – metoda dedukcyjna
Zapisujemy stosunek określający podział tasiemki za pomocą ułamka zwykłego i skracamy.

Wnioskujemy, że jedna z części musi być dwa razy większa od drugiej, a $12:3=4$. Zatem krótsza część ma $4 \mathrm{cm}$ długości, a dłuższa $12 \mathrm{cm}-4 \mathrm{cm}=8 \mathrm{cm}$.

$\text{III}$ sposób – metoda prób i błędów
Sporządzamy odpowiednią tabelkę, którą wypełniamy tak długo, aż znajdziemy właściwy stosunek.
Ta metoda dobrze sprawdza się , gdy jest mało możliwości do rozpatrzenia, a wielkości szukane i dane wyrażają się liczbami całkowitymi. Nie gwarantuje jednak znalezienia wszystkich rozwiązań. Chyba, że rozpatrzymy wszystkie możliwości.

Z tabelki odczytujemy odpowiedź – tasiemkę przecięto na części długości $4 \mathrm{cm}$ i $8 \mathrm{cm}$.

Pani Ewa ma ogród w kształcie prostokąta o bokach długości $60 \mathrm{m}$ i $50 \mathrm{m}$. Ile metrów bieżących siatki potrzebuje na ogrodzenie ogrodu, jeśli do ogrodu ma prowadzić brama wjazdowa o szerokości $10 \mathrm{m}$?
Szukana: liczba metrów bieżących siatki.
Zadanie daje się łatwo rozwiązać, jeżeli znamy wzór na obwód prostokąta. A jeśli nie znamy takiego wzoru?
Możemy wtedy sporządzić odpowiedni rysunek „na kracie”. Zakładamy, że długość jednej kratki to $10 \mathrm{m}$.

R44F8X3tf1O9G

Ilustracja po lewej stronie przedstawia obrys prostokąta. Ma on pięć kratek wysokości i sześć kratek szerokości. Trzecia kratka od lewej strony w dolnej, poziomej linii to brama wjazdowa. Oznaczona jest niebieską strzałką o kierunku pionowym ze zwrotem w górę. Po prawej stronie grafiki ukazany jest taki sam rysunek, ale dodatkowo znajdują się na nim oznaczenia liczbowe. Po prawej stronie od bramy wjazdowej znajdują się kolejno liczby 1,2,3. Dalej, na pionowej linii po prawej stronie znajdują się liczby od 4 do 8. Następnie na poziomej, górnej linii umieszczone są liczby od 9 do 14. Na pionowej, lewej linii są liczby od 15 do 19, a na poziomej linii, po lewej stronie bramy wjazdowej, znajdują się liczby 20, 21.

Na podstawie rysunku stwierdzamy, że długość narysowanej przez nas łamanej (obrazującej siatkę ogrodzeniową) jest równa $21$.
Ale $1$ kratka ma długość $10 \mathrm{m}$, zatem na ogrodzenie pani Ewa potrzebuje
$21·10=210$ metrów siatki.

Do składnicy opału przywieziono węgiel sześcioma ciężarówkami, każda o ładowności $4 \mathrm{t}$. Dostarczony węgiel popakowano do jednakowych worków, zawierających po $20 \mathrm{kg}$ węgla.
Pan Jakub kupił $120$ worków węgla, pani Krystyna $180$. Ile worków węgla zostało jeszcze w składnicy?
Szukana: pozostała w składnicy liczba worków węgla.

$\text{I}$ – metoda łańcuchowa
Rozkładamy treść zadania na kawałki i wyznaczamy wartości liczbowe kolejnych wielkości.

RZurxkcKBxvYq

Na niebieskim tle umieszczono tekst: "Do składnicy opału przywieziono węgiel sześcioma ciężarówkami, każda o ładowności 4 t".

Obliczamy, ile kilogramów węgla przywieziono.
$1 \mathrm{t}=1000 \mathrm{kg}$
$4 \mathrm{t}=4000 \mathrm{kg}$
$6·4000 \mathrm{kg}=24000 \mathrm{kg}$

R1cGQZLZf6lVz

Na niebieskim tle umieszczono tekst: "Dostarczony węgiel popakowano do jednakowych worków, zawierających po 20 kg węgla".

Obliczamy, ile worków węgla otrzymano.
$24000 \mathrm{kg}:20 \mathrm{kg}=1200$

RbhNHAILEfKtt

Na niebieskim tle umieszczono tekst: "Pan Jakub kupił 120 worków węgla, pani Krystyna 180. Obliczmy, ile worków węgla sprzedano". Poniżej, na białym tle znajduje się zapis: "120+180=300". W dolnej części grafiki, na niebieskim tle umieszczono tekst: "Ile worków węgla zostało jeszcze w składnicy?".

Obliczamy, ile zostało worków.

Odpowiedź: w składnicy zostało jeszcze $900$ worków węgla.

$\text{II}$ – metoda działań arytmetycznych
Układamy odpowiednie działanie arytmetyczne i wykonujemy obliczenia.

Odpowiedź: w składnicy zostało jeszcze $900$ worków węgla.

Na wycieczkę do Lublina wybrali się uczniowie z klasy $\text{VI}$ A i z klasy $\text{VI}$ B. Chłopców zakwaterowano w pokojach czteroosobowych, a dziewczęta w pokojach trzyosobowych. Przy czym pokoi trzyosobowych było dwa razy więcej niż czteroosobowych. Czy na tę wycieczkę mogło pojechać $46$ wszystkich uczniów?

$\text{I}$ sposób
Analiza zadania
$x$ – liczba pokoi czteroosobowych,
$2x$ – liczba pokoi trzyosobowych,
$4x$ – liczba chłopców, którzy pojechali na wycieczką,
$3·2x$ – liczba dziewcząt, które pojechały na wycieczkę.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Liczba pokoi musi wyrażać się liczbą naturalną. Zatem na wycieczkę nie mogło pojechać $46$ uczniów.

$\text{II}$ sposób
Rozwiązanie zadania będzie przebiegało podobnie jak poprzednio, ale teraz za $x$ przyjmiemy inną wielkość.
Analiza zadania
$x$ – liczba pokoi trzyosobowych,
$\frac{1}{2}x$ – liczba pokoi czteroosobowych,
$3x$ – liczba dziewcząt, które pojechały na wycieczkę,
$4·\frac{1}{2}x$ – liczba chłopców, którzy pojechali na wycieczkę.

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Liczba pokoi musi wyrażać się liczbą naturalną. Zatem na wycieczkę nie mogło pojechać $46$ uczniów.

$\text{III}$ sposób

Ponieważ zarówno ilość osób, jak i ilość pokoi muszą wyrażać się liczbami naturalnymi, zatem możemy sporządzić pomocniczą tabelkę i poszukać możliwego rozwiązania.

Wyciągamy wniosek taki, jak poprzednio: na wycieczkę nie mogło pojechać $46$ uczniów.

$\text{IV}$ sposób

Zauważmy, że z treści zadania wynika, że był zajęty co najmniej jeden pokój czteroosobowy i co najmniej dwa pokoje trzyosobowe. Zatem wszystkich uczniów było najmniej $4+6=10$. Otrzymujemy, że liczba uczniów musi być wielokrotnością liczby $10$, czyli na wycieczką nie mogło pojechać $46$ uczniów.

zadanie którego rozwiązanie wymaga znalezienia jednej wielkości lub dwóch wielkości tego samego rodzaju.

zadanie, które można rozłożyć na ciąg zadań prostych tak, że liczba znaleziona jako wartość niewiadomej jednego zadania prostego wchodzi jako dana do następnego zadania w łańcuchu.