Scenariusz lekcji: Nierówności kwadratowe

1. Cele lekcji

a) Wiadomości

Uczniowie poznają sposób rozwiązywania nierówności kwadratowej.

b) Umiejętności

Uczniowie potrafią rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe. Tworzą wykresy funkcji w programie FNGraph i odczytują z nich rozwiązania nierówności kwadratowych.

2. Metoda i forma pracy

Metody aktywizujące; praca w dwuosobowych grupach przy komputerze.

3. Środki dydaktyczne

• Komputer z zainstalowanym pakietem Microsoft Office

• Program do tworzenia wykresów funkcji, np. FNGraph

• Plik tekstowy „Wykresy” zawierający 2 wykresy funkcji kwadratowych

• Karty pracy

4. Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

Uczniowie pracują w grupach dwuosobowych przy komputerach. Po włączeniu komputerów otwierają plik tekstowy „Wykresy”, w którym umieszczone są 2 wykresy funkcji kwadratowych podpisane wzorami. Również miejsca zerowe są zaznaczone na wykresach i podpisane. Zadaniem uczniów jest udzielenie odpowiedzi na pytanie: „Dla jakich argumentów funkcje przyjmują wartości dodatnie?” oraz podanie zbiorów rozwiązań nierówności zapisanych pod rysunkami (xIndeks górny 2² + 5x + 6 > 0; xIndeks górny 2² + 5x + 6 ≤ 0). Po zakończeniu pracy jeden z uczniów odczytuje na głos swoje odpowiedzi; pozostali sprawdzają poprawność swoich rozwiązań.

b) Faza realizacyjna

1. Nauczyciel: Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy znaleźć zbiór liczb, które ją spełniają. Każdą nierówność kwadratową można zapisać tak, by po jej prawej stronie znajdowało się 0. Rozwiązanie nierówności kwadratowej można odczytać z wykresu odpowiedniej funkcji kwadratowej. Wykres nie musi być bardzo dokładny, wystarczy znać miejsca zerowe funkcji (jeśli istnieją) oraz wiedzieć, jak skierowane są ramiona paraboli.
   Do tworzenia wykresów funkcji wykorzystamy program FNGraph. Aby narysować wykres funkcji, należy wybrać opcję View/Graphs, w otwartym oknie wybrać Add i wpisać wzór funkcji. Po zatwierdzeniu klawiszem Enter otrzymamy żądany wykres. Spróbujcie narysować wykres funkcji y = xIndeks górny 2² – 8x – 20 oraz odczytać z niego zbiór rozwiązań równania xIndeks górny 2² – 8x – 20 < 0.
   Uczniowie tworzą wykres funkcji, według wskazówek nauczyciela. Po zakończeniu pracy wybrany uczeń odczytuje głośno swoje rozwiązania, pozostali sprawdzają poprawność swoich odpowiedzi.

2. Uczniowie rozwiązują nierówność: xIndeks górny 2² + 5x < –9(x + 1). Aby to wykonać, najpierw należy przekształcić tak ten wzór, aby otrzymać z prawej strony 0, następnie narysować wykres funkcji. Ponieważ trudno jest dokładnie odczytać miejsca zerowe, uczniowie muszą rozwiązać równanie na kartkach.

3. Nauczyciel: W programie FNGraph można na jednym wykresie umieścić kilka funkcji. Możemy to wykorzystać do rozwiązywania zadań, w których należy podać, dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze lub większe od danej liczby a. W tym celu należy narysować wykres funkcji kwadratowej oraz wykres funkcji liniowej y = a; a następnie odczytać rozwiązanie.
   Uczniowie rozwiązują zadanie 3, 4 i 5 z karty pracy. Po zakończeniu jeden z uczniów odczytuje swoje wyniki, pozostali sprawdzają.

c) Faza podsumowująca

Uczniowie odpowiadają na pytania:

1. Czego nauczyliście się na dzisiejszej lekcji?

2. Co zapamiętacie po dzisiejszej lekcji?

5. Bibliografia

1. Karpiński M., Dobrowolska M., Braun M., Lech J., Matematyka I, podręcznik dla liceum i technikum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 2002.

2. Pawłowski H., Matematyka 1. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON, Rumia 2002.

3. Zakrzewski M., Żak T., Matematyka przyjemna i pożyteczna, Podręcznik, klasa 1, szkoły ponadgimnazjalne, Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2002.

6. Załączniki

a) Karta pracy ucznia

Zadanie 1.

Narysuj wykres funkcji y = xIndeks górny 2² – 8x – 20 oraz odczytaj z niego zbiór rozwiązań równania xIndeks górny 2² – 8x – 20 < 0 oraz xIndeks górny 2² – 8x – 20 ≥ 0.

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność: xIndeks górny 2² + 5x < –9(x + 1).

Zadanie 3.

Dla jakich argumentów wartości funkcji y = xIndeks górny 2² + 3x – 20 są mniejsze od 20?

Zadanie 4.

Dla jakich argumentów wartości funkcji y = –xIndeks górny 2² + 8x – 9 są większe od –2 i mniejsze od 3?

Zadanie 5.

Dla jakich argumentów wartości funkcji f(x) = xIndeks górny 2² – x + 1 są większe od wartości funkcji g(x) = 2x + 1

b) Zadanie domowe

Zadanie z podręcznika polegające na rozwiązaniu nierówności kwadratowej.

7. Czas trwania lekcji

45 minut

8. Uwagi do scenariusza

Lekcję należy przeprowadzić w pracowni komputerowej.