Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby udostępnić materiał Dodaj całą stronę do teczki

Wzór na objętość walca

Przykład 1

Wyobraź sobie, że pojemnik w kształcie walca o wysokości H>1 wypełniamy jednakowymi krążkami o wysokości 1 i promieniu podstawy równym promieniowi podstawy pojemnika.

Ile takich krążków zmieści się w pojemniku?

Jeśli przyjmiemy, że objętość takiego krążka jest równa V, to ile wynosi objętość pojemnika?

Jeśli teraz zwiększymy promień podstawy pojemnika i analogicznie promień podstawy krążków, to czy objętość pojemnika zmieni się?

Objętość walca zależy od jego wysokości i pola podstawy. Obliczamy ją podobnie jak objętość graniastosłupa.

Ważne!

Objętość V walca o promieniu podstawy r jest równa iloczynowi pola podstawy Pp walca przez jego wysokość H.

R1DnZ822vRcyA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
V=PpH
V=πr2·H.
Przykład 2

Ile litrów wody mieści się w pojemniku o wysokości 2,5 m i średnicy podstawy 2,8 m? Przyjmij π=227.

R1OcdpRc7JXT81
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy pojemnika wynosi 2,8 m:2=1,4 m. Obliczamy objętość walca.

V=πr2H
V=2271,422,5
V=227141014102510
V=2210711010=775
V=15,4 m3.

Wiadomo, że 1 m3=1000 l, stąd 15,4 m3 to 15,4·1000 l=15400 l.

W pojemniku mieści się 15 400 l wody.

Przykład 3

Objętość walca przedstawionego na rysunku jest równa 89,2 cm3.

RDsk6XbR3jk1u1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz promień podstawy tego walca. Przyjmij π=31071.

Korzystamy ze wzoru na objętość walca.

V=πr2·H
89,2=31071·r2·7,1
89210=223717110r2
892=223r2
r2=4
r=2,

bo

r>0
r=2 cm.

Promień podstawy walca wynosi 2 cm.

Obliczanie objętości walca

Przykład 4
R1ciChtfETRvi1
W animacji przedstawiono sposób rozwiązania pewnego zadania tekstowego z wykorzystaniem wzoru na objętość walca.
Przykład 5

Oblicz objętość walca, którego siatkę przedstawia rysunek. Przyjmij π=3.

R6jZGD7whWcjm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem, którego długość jest równa obwodowi koła, będącego podstawą walca.

Obliczamy promień r tego koła.

2πr=15
23r=15
r=2,5.

Wysokość H walca jest równa szerokości prostokąta, czyli H=6.

R117CpRRVBSAc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy objętość walca.

V=πr2H
V=3·2,52·6=112,5.

Objętość walca jest równa 112,5.

Przykład 6

Element przedstawiony na rysunku wykonany jest ze stali o gęstości 7,5 kgdm3.

R1SHAwnrL8AgY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz masę elementu.

Element jest w kształcie sześciennej kostki z wydrążonym otworem w kształcie walca.

Obliczamy najpierw objętość V elementu. Jest ona równa różnicy objętości sześcianu i objętości walca o wysokości 4 dm i promieniu podstawy 2 dm:2=1 dm.

V=43-π124
V=64-4πdm3.

Masa m ciała jest równa iloczynowi objętości tego ciała przez jego gęstość.

m=V·7,5
m64-4·3,14·7,5=385,8
m385,8 kg.

Masa elementu wynosi około 385,8 kg.

Przykład 7

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym jeden z boków, równy wysokości walca, jest dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Pole powierzchni walca jest równe 250π cm2. Oblicz objętość walca.

R9q0u6vMUp6wf1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

  • x – promień podstawy walca w cm,

  • 4x - wysokość walca w cm, gdzie x>0.

Wtedy pole P powierzchni walca jest równe;

P=2πx2+2πx4x
P=2πx2+8πx2=10πx2

Jednocześnie wiemy, że pole to jest równe 250π cm2.

10πx2=250π
x2=25
x=5 cm
4x=20 cm.

Promień podstawy walca jest więc równy 5 cm, a jego wysokość 20 cm. Obliczamy objętość walca.

V=π5220=500π
V=500π cm3.

Objętość walca jest równa 500π cm3.

1
Ćwiczenie 1

Kartkę papieru w kształcie prostokąta o wymiarach a cm na b cm można zwinąć na dwa sposoby, uzyskując za każdym razem powierzchnię boczną walca. Jeden z nich będzie niższy i grubszy, drugi wyższy i chudszy. Który z tych walców ma większą objętość?

Poniższy rysunek ilustruje w przybliżeniu kartkę papieru i dwa uzyskane walce.

Przyjmując za a dłuższy bok kartki i b krótszy bok kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

R1e47xSjQtp4m1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Re9xo8eNzT1JF

Przyjmując za a dłuższy bok kartki i b krótszy bok kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

R8bGlCF1JMJsr
(Uzupełnij).
R18fXsVHxEvzj1
Ćwiczenie 2
Rysunki trzech szklanek w kształcie walców. Pierwsza szklanka ma wysokość równą 10 cm i średnicę podstawy 6 cm. Druga szklanka ma wysokość równą 8 cm i średnicę podstawy 8 cm. Trzecia szklanka ma wysokość równą 14 cm i średnicę podstawy 4 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
1
Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższą tabelą przedstawiającą parametry techniczne butli gazowej.

Wysokość zewnętrzna bez zaworu

Masa butli

Średnica zewnętrzna

Średnica wewnętrzna

590 mm
10,2 kg
300 mm
260 mm
R1ITWkybR0P1s
Przyjmując, że butla gazowa ma kształt walca oraz π=3,14, można obliczyć, że ma ona pojemność: Możliwe odpowiedzi: 1. 31308,94 cm2, 2. 22310,65 cm2, 3. 28455,25 cm2, 4. 32505,95 cm2
RghYnGasK7GY62
Ćwiczenie 4
Rysunek rurki o grubości ściany 2 cm, długości równej 4 dm i średnicy podstawy 2 dm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rm3yOWnctj9W22
Ćwiczenie 5
Rysunek bryły zbudowanej z sześcianu o krawędzi równej 15 mm oraz walca o wysokości 20 mm i średnicy podstawy 10 mm. Walec jest doklejony do ściany bocznej sześcianu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RJSPPX6TPyXXJ2
Ćwiczenie 6
Pojemnik z sokiem jest prostopadłościanem o wymiarach 25 cm x 12,5 cm x 8 cm. Sok rozlano do szklanek w kształcie walca o średnicy podstawy 5 cm  i wysokości 10 cm . Ile szklanek napełniono sokiem? W obliczeniach przyjmij π=3,14. Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 12 szklanek, 2. 10 szklanek, 3. 15 szklanek, 4. 13 szklanek
R1C8YTubwfUWl2
Ćwiczenie 7
Która z brył ma większą objętość – sześcian o krawędzi 6 cm, czy walec o promieniu 3 cm i wysokości 10 cm? W obliczeniach przyjmij π=3,14. Przeciągnij poprawne słowo w puste pole. Odpowiedź: Większą objętość ma 1. walec, 2. sześcian.
RZyJaaJk2qC0O2
Ćwiczenie 8
Głównymi składnikami powietrza są azot i tlen. Zawartość procentowa azotu wynosi 78%, a tlenu 21%. Jeden 1 dm3 powietrza ma masę 0,66 g. Jaka jest masa azotu, a jaka tlenu w butli w kształcie walca o średnicy dna 40 cm i wysokości 150 cm? W obliczeniach przyjmij π=3,14. Możliwe odpowiedzi: 1. masa azotu 96,99 g, masa tlenu 27,36 g, 2. masa azotu 86,89 g, masa tlenu 24,51 g, 3. masa azotu 92,45 g, masa tlenu 26,08 g, 4. masa azotu 89,98 g, masa tlenu 25,38 g
R11Ppw0lz7GZK2
Ćwiczenie 9
Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości 4 cm8 cm dookoła krótszego boku. Uzupełnij zdanie o szukaną liczbę. Odpowiedź: Objętość tego walca wynosi Tu uzupełnijπ.
RDdGEcTf6ihSA2
Ćwiczenie 10
Długości boków prostokąta pozostają w stosunku 1:2. Prostokąt obraca się raz wokół dłuższego boku, a raz wokół krótszego boku. Który z tak powstałych walców będzie miał większą objętość i ile razy, a który będzie miał większe pole powierzchni całkowitej i ile razy? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. Walec powstały w wyniku obrotu prostokąta wokół jego krótszego boku będzie miał objętość i pole powierzchni całkowitej dwukrotnie większe., 2. Walec powstały w wyniku obrotu prostokąta wokół jego dłuższego boku będzie miał objętość i pole powierzchni całkowitej dwukrotnie większe., 3. Walec powstały w wyniku obrotu prostokąta wokół jego krótszego boku będzie miał objętość dwukrotnie większą i takie samo pole powierzchni całkowitej., 4. Walec powstały w wyniku obrotu prostokąta wokół jego dłuższego boku będzie miał objętość i pole powierzchni całkowitej czterokrotnie większe.
R9r6faOfI9jQr2
Ćwiczenie 11
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu równym 144 cm2. Uzupełnij zdanie o szukane liczby. Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi Tu uzupełnijπ cm2, natomiast jego objętość Tu uzupełnijπ cm3.
RFqCSo18WCumt2
Ćwiczenie 12
Objętość walca jest równa 81π cm3. Wysokość walca jest 3 razy większa od promienia podstawy. Uzupełnij zdanie o szukane liczby. Odpowiedź: Promień podstawy tego walca wynosi Tu uzupełnij cm, natomiast jego wysokość Tu uzupełnij cm.
R1MDjv7xrtTjR2
Ćwiczenie 13
Dwa walce W1 oraz W2 mają jednakowe objętości. Długość promienia podstawy walca W1 jest dziesięciokrotnie mniejsza od długości promienia podstawy walca W2. Ile razy wysokość walca W1 jest większa od wysokości walca W2? Wskaż odpowiedź zawierającą prawidłowe rozwiązanie. Możliwe odpowiedzi: 1. 100 razy, 2. 10 razy, 3. 1000 razy, 4. 20 razy
R1FcHgAzPkUJi3
Ćwiczenie 14
Wysokość walca jest równa promieniowi podstawy tego walca. Objętość walca jest równa 343π cm3. Ile wynosi pole podstawy tego walca? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 49π cm2, 2. 63π cm2, 3. 58π cm2, 4. 45π cm2
RMrToQKgHFupO3
Ćwiczenie 15
Jaką pojemność ma naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy 24 cm i wysokości 15 cm? Możliwe odpowiedzi: 1. 2160π cm2, 2. 4320π cm2, 3. 1350π cm2, 4. 3250π cm2
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida