Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadania

Pokaż ćwiczenia:

Ta lekcja poświęcona jest zadaniom związanym z obliczaniem wartości funkcji trygonometrycznych w trójkątach prostokątnych. Jeżeli chcesz sobie przypomnieć podstawowe wiadomości o funkcji trygonometrycznych, zajrzyj do lekcji Sinus, cosinus i tangens kąta ostregoDtTIRqwDISinus, cosinus i tangens kąta ostrego.

Ćwiczenie 1

Na rysunku podano długości boków i zaznaczono kąt ostry $α$ trójkąta prostokątnego.

R1VhgIO5S9YI31

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 8 i 15 oraz przeciwprostokątnej długości 17. Kąt ostry alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtIZiZNTQjMvZ

$tgα = \frac{8}{17}$
$tgα = \frac{15}{17}$
$tgα = \frac{8}{15}$
$tgα = \frac{15}{8}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Na rysunku podano długości dwóch boków i zaznaczono kąt ostry trójkąta prostokątnego.

R1Ua5hxaQDmvn1

Rysunek trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych ma długość 5, a przeciwprostokątna ma długość 10. Kąt ostry alfa leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ra75l6WllQHXy

$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{5}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{4}{5}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{4}$
$\sin (90 ° - α) = \frac{2}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że trzeci kąt tego trójkąta prostokątnego ma miarę $90 ° - α$ .

Ćwiczenie 3

Na rysunku zaznaczono długości boków trójkąta prostokątnego. Jeden z kątów ostrych tego trójkąta ma miarę $α$ .

RKNEuPChDwWpi1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i 12 oraz przeciwprostokątnej długości 13. Kąt ostry alfa leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTU0USX7exlcU

$sinα = \frac{5}{13}$
$13 cosα = 12$
$tgα > 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Na rysunku podane są długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, którego jeden z kątów ostrych jest równy $α$ .

RaGWlZ6MlTlLZ1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 5 i dwa pierwiastki z pięciu. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej długości dwa pierwiastki z pięciu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQnCNhHGJSmnb

$sinα = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$sinα = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{\sqrt{5}}{3}$
$sinα = \frac{3}{2 \sqrt{5}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że przeciwprostokątna tego trójkata ma długość $3 \sqrt{5}$ .

RjEVgoVKBoChU1

Ćwiczenie 5

$\sin α + sinβ = \frac{3}{4}$
$cosα \cdot cosβ = \frac{\sqrt{6}}{4}$
$\sqrt{3} \cdot tgα = tgβ$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

R1N647bYo0FaT2

$cosα = \frac{7}{\sqrt{65}}$
$\cos (90 ° - α) = \frac{4}{11}$
$tg (90 ° - α) < 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R8JTqiaNNkY10

$tgα > 1$
$sinα > \frac{1}{2}$
$cosα > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przypomnij sobie, jakie są wartości odpowiednich funkcji trygonometrycznych dla kąta o mierze $45 °$ , a następnie zastanów się, które z nierówności są prawdziwe dla kąta $α$ . Możesz także skorzystać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

Ćwiczenie 8

RPYCZv96N8did2

$\cos 51 ° = \sin 59 °$
$\sin 12 ° = \cos 78 °$
$tg 65 ° \cdot tg 25 ° = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj tożsamości trygonometryczne. Pamiętaj, że $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ćwiczenie 9

R7KsJcAIfvhUV1

$cosα > 0,9$
$tgα < \frac{1}{11}$
$tgα \cdot cosα < 0,1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RvqACtsRUT36y

$sinα = \cos 38 °$
$α > 60 °$
$tg α > 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $\cos α = \sin (90 ° - α)$ .

Ćwiczenie 11

RKNugkgPKsHIb

$\sin α > tg β$
$\cos α + \sin β < 1$
$\sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $α + β = 90 °$ .

Ćwiczenie 12

RVAmF3POQcsdl

$cosα = 0,6$
$sinβ = 0,96$
$tgα \cdot tgβ = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RCzzVIWG0OJAE

tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy $\frac{2}{5}$
miara kąta ostrego tego trapezu jest równa $45 °$
kąt rozwarty tego trapezu ma miarę mniejszą od $150 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R25cFGF8GBlG73

Ćwiczenie 14

$\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{2}$
$6 \sqrt{3}$
$3 \sqrt{6}$
$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R1Y0KRjUkVwqx

$α < 45 °$
$α = 45 °$
$α = 60 °$
$α < 60 °$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1Pb31K0DXXM5

$2$
$- 2$
$1$
$- 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że $α + β = 90 °$ .